Ayaya Notes

lec 05

! Last time:

Last time:Lec_04 问满足任意 dξI\mathrm{d}\xi^I , 使得作用量相差边界项的 δξI\delta \xi^I

考虑了连续对称性之后

由 Lec_04 中的推导, 若考虑 ω\omega 非退化, 则只有

δS=∫pathϵ dQ(ξ,t)+d(γIδξI)\delta S=\int_{\text{path}}\epsilon\,\mathrm{d}Q(\xi,t)+\mathrm{d}(\gamma_I\delta\xi^I)

Q(ξ,t)Q(\xi,t) 就是 Noether charge. 但是这两个全微分的意义不同, 后者是 gauge dependent 的, 但是前者就不一定是 gauge dependent 的.

关于 QQ 讨论什么?

  1. What is coordinate dependence of Q(ξ,t)Q(\xi,t) ?
  2. 和前面的项的关系是什么?

即

δS=∫path[δξIωIJ(ξ,t)dξJ−δξI(∂IH(ξ,t)+∂tγI(ξ,t))dt+d(γIδξI)]\delta S = \int_{\text{path}}[\delta\xi^I\omega_{IJ}(\xi,t)\mathrm{d}\xi^J-\delta\xi^I(\partial_IH(\xi,t)+\partial_t\gamma_I(\xi,t))\mathrm{d}t+\mathrm{d}(\gamma_I\delta\xi^I)]

就有

ϵdQ(ξ,t)=δξIωIJ(ξ,t)dξJ−δξI(∂IH(ξ,t)+∂tγI(ξ,t))dt\epsilon\mathrm{d}Q(\xi,t)=\delta\xi^I \omega_{IJ}(\xi,t)\mathrm{d}\xi^J-\delta\xi^I(\partial_IH(\xi,t)+\partial_t\gamma_I(\xi,t))\mathrm{d}t

这样就可以得到 QQ 对 ξ,t\xi,t 的导数

ϵ∂JQ(ξ,t)=δξIωIJ(ξ,t)ϵ∂tQ(ξ,t)=−δξI(∂IH(ξ,t)+∂tγI(ξ,t))\begin{align} &\epsilon\partial_J Q(\xi,t)=\delta\xi^I\omega_{IJ}(\xi,t)\\ &\epsilon\partial_tQ(\xi,t)=-\delta\xi^I(\partial_IH(\xi,t)+\partial_t\gamma_I(\xi,t)) \end{align}

应该做什么?

Check

∂tQ(ξ,t)=?(∂IH+∂tγI)(ω−1)IJ∂JQ\partial_t Q(\xi,t) \overset{?}{=} (\partial_I H+\partial_t \gamma_I)(\omega^{-1})^{IJ}\partial_J Q

If yes, then δξI\delta\xi^I is a continuous symmetry transformation

一种理解是 Poisson bracket

∂tQ={H,Q}If ∂tγI=0\partial_t Q=\{H,Q\}\quad \mathrm{If} \,\partial_t\gamma_I =0

另一种理解是运动方程

∂tQ+dξIdt∣EoM∂IQ=0  ⟹  dQ(ξ,t)dt∣EoM=0\partial_t Q+\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\partial_I Q=0\implies \frac{\mathrm{d}Q(\xi,t)}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}=0

^d9464c

是一个守恒量, 即 Noether charge

! 当然

当然

\delta\xi^I=-\epsilon (\omega^{-1})^{IJ}(\xi,t)\partial_J Q(\xi,t)

也是一个Poissonbracket,这在当前不依赖于canonicallanguage的情况下更明显 也是一个 Poisson bracket, 这在当前不依赖于 canonical language 的情况下更明显

Another route for Noether charge

Let

δξI=ϵ(t)ηI(ξ,t)\delta\xi^I=\epsilon(t)\eta^I(\xi,t)

使得当且仅当 ϵ\epsilon 是一个常数时, δS\delta S 是一个全微分

如果对任意 ϵ(t)\epsilon(t) 都成立, 则这就是前面的 unphysical 自由度

这表明

δS=∫pathQ(ξ,t)dϵ+d(⋯ )\delta S=\int_{\text{path}} Q(\xi,t)\mathrm{d}\epsilon+\mathrm{d}(\cdots)
! 这和上面的写法相差一个负号, 但这不重要

这和上面的写法相差一个负号, 但这不重要

在 Equation of Motion 时, 要求

δSδϵ=0\frac{\delta S}{\delta \epsilon}=0

因为 ϵ\epsilon 是变分的一部分, 在 EoM 下应该为 0 , 这给出

dQ∣EoM=0\mathrm{d}Q\Big|_{\text{EoM}}=0

然后就可以计算出 QQ

Elementary examples

Usual action of canonical (xi,pi)(x^i,p_i)

Qa=PaQ_{a}=P_{a}

Check:

δxi=−ϵδjiδaj\delta x^i=-\epsilon \delta_j^i \delta^j_a

即

∂xiH=?0\partial_{x^i}H\overset{?}{=}0

同样, 能量守恒 当

∂tγI=0Q=H\partial_t\gamma_I=0\quad Q=H

check:

∂tQ=?(ω−1)IJ∂IH∂JQ=0\partial_t Q\overset{?}{=}(\omega^{-1})^{IJ}\partial_IH\partial_JQ=0

S.H.O in polar coordinate of phase space

S=∫−ρ22(dθ+ωdt)S=\int -\frac{\rho^2}{2}(\mathrm{d}\theta+\omega \mathrm{d}t)

Let

Q=ρ22  ⟹  δθ shiftQ=\frac{\rho^2}{2}\implies \delta\theta\text{ shift}

这里不能写成 Q=ρQ=\rho ; 否则得到的是 δθ=ϵ/ρ\delta\theta=\epsilon/\rho , 并不是一个均匀的 shift

这是 trivial 的结果: particle number

The setup is particle-number conserving 这个意义来自于量子化后的结果, 连续对称性为相位的 shift

Ensemble

∑α↦∫d2nξ0ρ(ξ0,t0)=∫d2nξρ(ξ,t)\sum_{\alpha}\mapsto \int\mathrm{d}^{2n}\xi_0 \rho(\xi_0,t_0)=\int\mathrm{d}^{2n}\xi\rho(\xi,t)

那么考虑所有 粒子的 charge

∑αQα↦∫d2nξρ(ξ,t)Q(ξ,t)\sum_{\alpha} Q_{\alpha}\mapsto\int\mathrm{d}^{2n}\xi\rho(\xi,t)Q(\xi,t) ρ(ξ,t)Q(ξ,t)Some Noether charge density ?\rho(\xi,t)Q(\xi,t)\quad \text{Some Noether charge density ?}

从之前的演化方程

∂tQ+dξIdt∣EoM∂IQ=0\partial_t Q+\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\partial_I Q=0

和

∂tρ+∂I(dξIdt∣EoMρ)=0\partial_t\rho +\partial_I(\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\rho)=0

得到

∂t(ρQ)+∂I(dξIdt∣EoMρQ)=0\partial_t(\rho Q)+\partial_{I}(\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\rho Q)=0

此即 phase space conserved charge current

但一般没人用, 这是因为没有描述相互作用

particle interacting with each other

先考虑一些简单的情形 (xi,pi)(x^i,p_i)

从 collisionless Boltzmann equation Lec_01

∂tf+dxidt∂xif+dpidt∂pif=0\partial_t f+\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\partial_{x^i}f+\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\partial_{p_i}f=0

如果存在相互作用, 一个可能的 correction 为 dpi/dt\mathrm{d}p_i/\mathrm{d}t 中应该存在新的且非常复杂的力

! Boltzmann’s point of view:

Boltzmann’s point of view:

Not directly take into account the new forces

\text{details} \mapsto \text{probability}

即不具体地考虑各个粒子之间的相互作用,而是将它抽象为概率性的东西 即不具体地考虑各个粒子之间的相互作用, 而是将它抽象为概率性的东西

lec05 collision probability

引入: impact parameter (瞄准距离)

lec05 impact parameter

方程右侧的 00 变为

rate of creation of particle at ξ − rate of annihilation\text{rate of creation of particle at }\xi \, -\, \text{rate of annihilation}

^36b009

rate of creation ? Let

ξ1=ξξ2\xi_1=\xi\quad \xi_2

先考虑 1 in 1 out:

∫2C2→1−∫2C1→2\int _2C_{2\to 1}-\int_2 C_{1\to2}

进一步 2 in 2 out

∫234C34→12−∫234C12→34\int_{234}C_{34\to 12}-\int_{234}C_{12\to 34}

即只追踪方程描述的那个粒子的状态

Desired properties for CC

Locality

即

C2→1∝δd(x2−x1) or ∂(?)δd(x2−x1)C_{2\to 1}\propto \delta^d(\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)\text{ or } \partial^{(?)}\delta^d(\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)

在这里就出现一些对 coordinate transformation 的限制了, 至少为了简单( 所以我们并不能随便取 canonical coordinate

conserved charge still conserved in interactions ?

eg: C∅→1C_{\emptyset \to 1} 这种东西可以破坏粒子数守恒 eg: 能量守恒在 C1→2C_{1\to 2} 中保持, 例如取 C1→2(elastic)∝δ(H(ξ,t)−H(ξ2,t))C_{1\to2}(\text{elastic})\propto \delta(H(\xi,t)-H(\xi_2,t))

这里的 HH 是在粒子距离很远处定义的 当然还有一些 gauge 选择的问题

eg: 动量守恒 , 例如 C12→34C_{12\to 34}

ff dependence

在讨论之前, 先把 Liouville volume 无量纲化

d2nξdet⁡ω(ξ,t)(2πℏ)n\frac{\mathrm{d}^{2n}\xi\sqrt{\det\omega(\xi,t)}}{(2\pi\hbar)^n}

相应的 ff 也是无量纲的

C1→2∝f(ξ1,t),(1±f(ξ2,t))C_{1\to 2}\propto f(\xi_1,t), (1\pm f(\xi_2,t))

对于 Fermion: 1−f(ξ2,t)1-f(\xi_2,t) from Pauli exclusion, 特别地, 此时有 f∈[0,1]f\in [0,1] 对于 Boson: 1+f(ξ2,t)1+f(\xi_2,t) 对于 Classical: 11

! 可以用 Boson 的散射振幅来理解, 在相对于经典粒子的情形的意义上

可以用 Boson 的散射振幅来理解, 在相对于经典粒子的情形的意义上aa , 则当末态已经有 nn 个同种 Boson 时, 再产生一个 Boson 的概率幅会增强为 n+1 a\sqrt{n+1}\,a , 即

\langle n+1\mid n\rangle=\sqrt{n+1},a

因而对应到这里就会出现 final-state factor $1+f$ . 相关背景可参见 [[Week 3#^boson1]]
! 虽然前面发展了一套任意坐标的理论, 但是由于 interaction 的存在

虽然前面发展了一套任意坐标的理论, 但是由于 interaction 的存在