Ayaya Notes

lec 06

Review: 用概率性的语言描述粒子的碰撞

Lec_05 中采用 Boltzmann 的观点: 不直接追踪相互作用力的细节, 而是把

details↦probability\text{details} \mapsto \text{probability}

即不具体地考虑各个粒子之间的相互作用, 而是将它抽象为概率性的 collision rate.

lec05 collision probability

例如 1 - 1

∫p2W2→1f2(1±f1)−W1→2f1(1±f2)\int_{p_2} W_{2\to 1}f_2(1\pm f_1) - W_{1\to 2}f_1(1\pm f_2)

2 - 2

∫p2,p3,p4W34→12f3f4(1±f1)(1±f2)−W12→34f1f2(1±f3)(1±f4)\int_{p_2,p_3,p_4} W_{34\to 12}f_3f_4 (1\pm f_1)(1\pm f_2) - W_{12\to 34} f_1 f_2 (1\pm f_3)(1\pm f_4)

一些典型的结果

W2→1=(2πℏ)δ(H2−H1)×∣⟨p1∣T∣p2⟩∣2W_{2\to 1} = (2\pi\hbar)\delta(H_2-H_1)\times |\braket{p_1|T|p_2}|^2 W34→12=(2πℏ)d+1δ(H3+H4−H1−H2)δd(p3+p4−p1−p2)×∣⟨p1p2∣T∣p3p4⟩∣22!W_{34\to 12} = (2\pi\hbar)^{d+1}\delta(H_3+H_4-H_1-H_2)\delta^d(p_3+p_4-p_1-p_2)\times \frac{|\braket{p_1p_2|T|p_3p_4}|^2}{2!}

这是一种概率性的语言, 所以应该清楚, 越接近量子, 上面的结果应该用概率幅来描述。 1 - 1 散射一般没有动量守恒, 例如对于固定晶格上的散射。 2!2! 来自于 3, 4 粒子的交换效应。

一个观察是在这种语言下, x,px,p 的地位已经不再等同。

conservation currents

当不存在相互作用时, 考虑 Noether charge Q(x,p)Q(x,p)

对单粒子, 有守恒方程

∂t(ρ(x,p)Q(x,p))+∂ξI(dξIdt∣EoMρQ)=0\partial_t(\rho(x,p)Q(x,p))+\partial_{\xi^I}\left(\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\rho Q\right)=0

并且 x,px,p 是 canonical 的, 有 ρ=f\rho = f

但当存在相互作用时,

∂t(fQ)+∂I(dξIdt∣EoMfQ)=collision×Q(x,p)≠0\partial_t(fQ)+\partial_I\left(\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}fQ\right)=\text{collision}\times Q(x,p)\neq 0

例: 1 - 1 scattering

∫p2[W2→1f2(1±f1)−W1→2f1(1±f2)]Q1≠0\int_{p_2}\left[W_{2\to 1} f_2 (1\pm f_1)-W_{1\to 2}f_1 (1\pm f_2)\right]Q_1\neq 0

一般不为 0, 但可以问怎样才能让这个式子为 0。由于积分内部是一个反对称项, 一个想法是对 1 也做积分, 但是 Q1Q_1 破坏了反对称; 如果过程中 QQ 是守恒的, 也可以将它移出积分。

例如 Q1=Q2Q_1 = Q_2, Q1=1Q_1 = 1 或者 Q1=HQ_1 = H

对于 2 - 2

∫p2,p3,p4[W34→12f3f4(1±f1)(1±f2)−W12→34f1f2(1±f3)(1±f4)]Q1\int_{p_2,p_3,p_4}\left[W_{34\to 12}f_3f_4 (1\pm f_1)(1\pm f_2) - W_{12\to 34} f_1 f_2 (1\pm f_3)(1\pm f_4)\right]Q_1

同样的做法, 这里可以取

Q1+Q2=Q3+Q4  ⟹  Q1→Q1+Q2−Q3−Q44Q_1+Q_2 = Q_3 + Q_4 \implies Q_1\to \frac{Q_1+Q_2-Q_3-Q_4}{4}

即: 若 Q1Q_1 保持 WW 内部的 delta 函数的对称性时, 有

∂t(∫pfQ)+∂i(∫pdxidt∣EoMfQ)=0\partial_t\left(\int_p fQ\right)+\partial_i\left(\int_p \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}fQ\right)=0

注意这里积掉了动量的 divergence, 因为这是一个边界项。

即

∂tJQ0(x,t)+∂iJQi(x,t)=0\partial_t J_Q^0(x,t)+\partial_i J_Q^i(x,t)=0

即这是一个 real space 的守恒流, 即

∂μJQμ=0\partial_\mu J_Q^\mu = 0

但是问题是这个定义并不唯一, 考虑

JQμ→JQμ+∂νMQμν,MQμν=−MQνμJ_Q^\mu \to J_Q^\mu + \partial_\nu M_Q^{\mu\nu}, \qquad M_Q^{\mu\nu} = -M_Q^{\nu\mu}

因为 ∂μ∂νMQμν=0\partial_\mu\partial_\nu M_Q^{\mu\nu} = 0

一种想法是做了某种积分, 利用边界条件使 total current 在积分之后不变。 但是重要的想法是:

current density is not defined only by ∂μJQμ=0\partial_\mu J_Q^\mu = 0; we also need to couple it to an external gauge field.

以后会讨论这一点

Boltzmann H - theorem

忽略碰撞的细节, 从概率的角度描述它们。若从量子角度看, 这相当于在每次碰撞后都 “made an observation”; 但微观散射本身仍是 reversible 的, 因此应该存在某种 “increase of entropy” 来刻画这种描述。

如何看到这一点: 如果找到某个

∂μSμ≥0\partial_\mu S^\mu \geq 0

则积分之后, 就可能找到一个单增的函数

assume (根据前面的守恒方程)

S0=∫ph(f),Si=∫pdxidt∣EoMh(f)S^0=\int_p h(f), \qquad S^i=\int_p \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}h(f)

这个应该是关于 ff 的函数, 并且应该是空间的函数, 所以选择积掉动量。

∂μSμ=∫ph′(f)×(LHS of Boltzmann eq.)=∫ph′(f)×(collisions)\partial_\mu S^\mu = \int_p h'(f)\times (\text{LHS of Boltzmann eq.}) = \int_p h'(f)\times(\text{collisions})

首先, 当不存在 collisions 时, 这是自洽的 ∂μSμ=0\partial_\mu S^\mu = 0

先看 2 - 2 collision

∫p1,p2,p3,p4[W34→12f3f4(1±f1)(1±f2)−W12→34f1f2(1±f3)(1±f4)]h′(f1)\int_{p_1,p_2,p_3,p_4}\left[W_{34\to 12}f_3f_4 (1\pm f_1)(1\pm f_2) - W_{12\to 34} f_1 f_2 (1\pm f_3)(1\pm f_4)\right]h'(f_1)

WW 在 1↔21\leftrightarrow 2 与 3↔43\leftrightarrow 4 下对称, 而能量和动量守恒由 delta function 保证。

首先代换

h′(f1)→h′(f1)+h′(f2)−h′(f3)−h′(f4)4h'(f_1)\to \frac{h'(f_1)+h'(f_2)-h'(f_3)-h'(f_4)}{4}

Bad news: 若 WW 没有更多的约束, 则不能找到这样的 hh (Maxwell demon)

The condition we want for WW is

W34→12=W12→34W_{34\to 12} = W_{12\to 34}

这对应时间反演意义下的微观可逆性, 也就是 detailed balance。

若如此, 令

r=f1f2(1±f3)(1±f4)f3f4(1±f1)(1±f2)r = \frac{f_1f_2(1\pm f_3)(1\pm f_4)}{f_3 f_4 (1\pm f_1)(1\pm f_2)} h′=ln⁡1±ffh'=\ln\frac{1\pm f}{f}

就能满足前面的要求。此时记共同的 transition rate 为 WW。

∫p1,p2,p3,p4Wf3f4(1±f1)(1±f2)(1−r)−ln⁡r4≥0\int_{p_1,p_2,p_3,p_4} W f_3 f_4 (1\pm f_1)(1\pm f_2)(1-r)\frac{-\ln r}{4}\geq 0

则

h=−fln⁡f±(1±f)ln⁡(1±f)\boxed{h = -f\ln f\pm (1\pm f)\ln(1\pm f)}

Non-linear in ff

Boltzmann 假设了粒子的每次碰撞都做了观测, 但实际上并没有发生。实际上在大多数尺度下, 这是可以容许的。

那经典力学中少了什么? 一个想法是: 经典描述中忽略了不同碰撞之间的关联, 在这里反而考虑到了多对多的碰撞过程, 而经典力学都几乎认为这些碰撞都是独立的。问题是到底需要多长时间, 这种对关联性的影响才会体现在最终的预言中。

When does

∂μSμ=0\partial_\mu S^\mu = 0

如 r=1  ⟹  log⁡r=0r = 1 \implies \log r = 0, 即

h′(f1)+h′(f2)=h′(f3)+h′(f4)h'(f_1)+h'(f_2)=h'(f_3)+h'(f_4)

这是某种守恒量, 故 h′h' 是某个 Noether charge 的 linear combination

1±ff=exp⁡(∑αλαQα)  ⟹  f=1exp⁡(∑αλαQα)∓1\frac{1\pm f}{f} = \exp\left(\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}Q_{\alpha}\right) \implies f = \frac{1}{\exp\left(\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}Q_{\alpha}\right)\mp 1}

这是 local equilibrium, λα=λα(x,t)\lambda_{\alpha}=\lambda_{\alpha}(x,t)

问题是: 为什么 λ\lambda 可以是 local 的, 以及 local equilibrium 时, 为什么 λ\lambda 还可以继续演化? ^8fed1d