Ayaya Notes

lec 01

Office Hour

Thu 13:00 - 14:00 考核: 作业 60% , 两次随堂小测 40% (期中, 期末附近)

小测说是( 内容: 接近作业

Contents

Boltzmann 方程为主, 以及 hydrodynamics . 关于 classical 及 semi - classical 的情况 Transport Experiments , 关心一些理论框架和真实物理的联系

Flavor

Study→Research(theoretical)\text{Study} \to\text{Research(theoretical)}

Invitation

In thermodynamics

δQ≤TdSIn general\delta Q\leq T\mathrm{d}S\quad\text{In general}

为什么是 ≤\leq , 一种角度为

δQ=TdSin+TdSprod\delta Q=T\mathrm{d}S_{\text{in}}+T\mathrm{d}S_{\text{prod}}

在系统过程中还会产生熵, 并且 dSprod≥0\mathrm{d}S_{\text{prod}}\geq 0 , 这些熵产生的例子: friction , free expansion

Jarzynski 写下了一个一般情况的等式, 首先来看一个不等式: 若一个过程的自由能变化和功进行比较

ΔF≤Wprocess kept at fixed temperature\Delta F\leq W\quad \text{process kept at fixed temperature}

Intuition 是功可以全部浪费掉, ΔF\Delta F 是被系统的状态决定的, 当然可以做一些复杂的过程把中间做的功全部浪费掉 当然也可以从最初的不等式得到

dF=dE−TdS−SdT=δQ+δW−TdS−SdT≤δW\mathrm{d}F=\mathrm{d}E-T\mathrm{d}S-S\mathrm{d}T=\delta Q+\delta W-T\mathrm{d}S-S\mathrm{d}T\leq \delta W

这里 WW 是一个宏观热力学量, microscopically means W‾averaged over possible microscopie process\overline{W}\quad \text{averaged over possible microscopie process}

所以从微观的视角来写

ΔF≤W‾\Delta F\leq \overline{W}

那么这个等式来自于哪里

Jarzynski‘s Equation (very easy?)

考虑热平衡的系统, 但考虑一个任意过程

exp⁡(−ΔFT)=exp⁡(−WT)‾\exp\left({-\frac{\Delta F}{T}}\right)=\overline{\exp\left(-\frac{W}{T}\right)}

问题:

一个想法是代数去检验它, 但是可以估计指数上的数量级:

T∼energy of one particleT\sim\text{energy of one particle}

但是 typical W∝ΔF∼NTW\propto \Delta F\sim NT , 这个量太小了 这是一个 90 年代才写出的结果, 相信 100 年前也有人得到, 但它们应该并不会当回事, 只有当指数上的数量级接近时, 这个等式才有意义, 即 few body system. 即现代物理可以接触的尺度

如果并不局限于少体系统, 之前的不等式和这个等式的区别在哪? 差别在统计了所有可能的微观概率: 某些 WW 很大的微观过程贡献在平均值内部, 如果只考虑热力学极限, 比如只统计在经典过程周围的过程, 就给出了原先的不等式, 只有统计了其他极小概率的过程才能补回这个差距

理论推导可以得到一个完全严谨正确的结果, 但是对它的评价可以不同, 在一百年前这个结果并没有什么用, 但到现代我们有 nano physics了, 这个结果就有意义了.

具体推导后面再来.

Classical Mechanics with a Little Formality (some semi - classical)

回顾一下经典力学的框架

考虑相空间 (x,p)(x,p) , 一些粒子在相空间里面有一些线

这些线能不能相交? 一般的情况不会相交, 不然就不是决定性的了, 当然有摩擦力的时候可能会出现 attractor

考虑这些粒子在相空间的演化 (no interaction for now)

让 ρ(x,p,t)\rho(\mathbf{x},\mathbf{p},t) 为时间 tt 时刻, x,p\mathbf{x},\mathbf{p} 在 ddxddp\mathrm{d}^d\mathbf{x}\mathrm{d}^d\mathbf{p} 处的粒子的密度, ρ\rho 的方程

∂tρ+∂x⋅(dxdtρ)+∂p⋅(dpdtρ)=0\partial_t\rho+\partial_{\mathbf{x}}\cdot(\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\rho)+\partial_{\mathbf{p}}\cdot(\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\rho)=0

^883183

或者是

∂tρ+dxdt⋅∂xρ+dpdt⋅∂pρ=0\partial_t\rho+\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\cdot\partial_{\mathbf{x}}\rho+\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\partial_{\mathbf{p}}\rho=0

^cf00f1

哪条是对的? 第一条总是对的, 第二条在 Hamiltonian evolution 下是对的, 做差就可以验证

Δ=ρ(∂x⋅dxdt+∂p⋅dpdt)\Delta =\rho(\partial_{\mathbf{x}}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}+\partial_{\mathbf{p}}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t})

为什么第一条总是对的? 第一条有点像 current , 比如考虑均匀的 ρ\rho 但速度有区别, 可以想像粒子密度还是会变化, 因为进出速度不一样, 那么在不是 Hamiltonian evolution 时: 有摩擦力的情况, 第二条方程就不对了

也可以给一个有限时长的图像 notation: x(t;x0,p0,t0),p(t;x0,p0,t0)\mathbf{x}(t;\mathbf{x}_0,\mathbf{p}_0,t_0),\mathbf{p}(t;\mathbf{x}_0,\mathbf{p}_0,t_0) , 前面是 initial condition by definition, 可以直接得到

ddxddpρ(x,p,t)=ddx0ddp0ρ(x0,p0,t0)\mathrm{d}^d\mathbf{x}\mathrm{d}^d\mathbf{p}\rho(\mathbf{x},\mathbf{p},t)=\mathrm{d}^d\mathbf{x}_0\mathrm{d}^d\mathbf{p}_0\rho(\mathbf{x}_0,\mathbf{p}_0,t_0)

在 Hamiltonian evolution 情况, 看原先的第二条方程, 可以得到有限时间版本

ρ(x,p,t)=ρ(x0,p0,t0)\rho(\mathbf{x},\mathbf{p},t)=\rho(\mathbf{x}_0,\mathbf{p}_0,t_0)

这是因为此时有 Liouvelle theorem, 体积元是不变的 可以看到, 两个版本的差别就在于 Jacobian

∣det⁡∂(x,p)∂(x0,p0)∣=∣det⁡(1+⋯dt)∣=1+Tr(⋯ )|\det\frac{\partial(x,p)}{\partial(x_0,p_0)}|=|\det(1+\cdots\mathrm{d}t)|=1+\mathrm{Tr}(\cdots)

这个看起来像 poisson bracket

现在考虑过渡到 infinitesimal time version t=t0+dtt=t_0 +\mathrm{d}t 就得到第一个方程

Boltzmann Eq. 通常呈现为

∂tf+dxdt∂xf+dpdt∂pf=collision\partial_t f+\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\partial_{\mathbf{x}}f+\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d} t}\partial_{\mathbf{p}}f=\text{collision}

^496df0

为什么通常写成第二种形式? 在这里 ff 的含义也不太一样 ^2a2161