Ayaya Notes

lec 04

继续上节课, 先回顾 Lec_03 中的结论

ωIJ\omega_{IJ} has no intrinsic local information.

Locally in phase space, one can always find a coordinate system such that

ωIJ=(ωxi,  xj=0ωxi,  pj=−δi jωpi,  xj=δj iωpi,  pj=0)\omega_{IJ} = \left( \begin{array}{c|c} \omega_{x^i,\;x^j}=0 & \omega_{x^i,\;p_j}=-\delta_i^{\ j} \\[4pt] \omega_{p_i,\;x^j}=\delta_j^{\ i} & \omega_{p_i,\;p_j}=0 \end{array} \right)

这就是 “canonical” 坐标的定义

先提了一下 symplectic 2 - form 的抽象定义: 非退化, 闭的反对称 2 - form

即 ω\omega 本身没有任何局部的与坐标无关的物理信息; 它在不同坐标中的分量只是同一局域结构的不同写法

并且在所取的正则坐标下, action 一定有形式

S=∫pathPαdQα−H(P,Q,t)dtS=\int_{\text{path}}P_{\alpha}\mathrm{d}Q^{\alpha}-H(P,Q,t)\mathrm{d}t

当然也可能差一些 gauge, 不一定能一眼看出来

The Second Very Important Property of ωIJ\omega_{IJ}

Time Evolution v.s.\text{v.s.} Coordinate Reparametrization

第一种讨论 ω\omega 的 time evolution 的想法是看作 ξ\xi 和 tt 的函数

dωIJdt(ξ,t)=∂tωIJ(ξ,t)+dξKdt∂KωIJ(ξ,t)=ωIJ(ξ(t+δt),t+δt)−ωIJ(ξ,t)δt\begin{align}\frac{\mathrm{d}\omega_{IJ}}{\mathrm{d}t}(\xi,t)&=\partial_t\omega_{IJ}(\xi,t)+\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t}\partial_K\omega_{IJ}(\xi,t)\\&= \frac{\omega_{IJ}(\xi(t+\delta t),t+\delta t)-\omega_{IJ}(\xi,t)}{\delta t}\end{align}

但是 time evolution 是否有其他观点?

An infinitesimal change of variable

ξ~I(ξ,t)=ξI(t+δt)=ξI+δtdξIdt(ξ,t)\tilde{\xi}^{I}(\xi,t)=\xi^I(t+\delta t)= \xi^I +\delta t\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d} t}(\xi,t)

即把 ξ\xi 随时间的变化本身看作一种 change of variable , 现在看 ω\omega 如何变换

首先算 Jacobian (算到一阶)

∂ξI∂ξ~I~=δI~I−δt ∂I~dξIdt\frac{\partial\xi^I}{\partial\tilde{\xi}^{\tilde{I}}}=\delta_{\tilde{I}}^I-\delta t\,\partial_{\tilde{I}}\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d} t} ω~IJ(ξ~,t)−ωIJ(ξ,t)δt=−ωKJ(ξ,t)∂IdξKdt−ωIK(ξ,t)∂JdξKdt=dξKdt∂IωKJ−dξKdt∂JωKI−∂I(ωKJdξKdt)−∂J(ωIKdξKdt)\begin{align}\frac{\tilde{\omega}_{IJ}(\tilde{\xi},t)-\omega_{IJ}(\xi,t)}{\delta t}&=-\omega_{KJ}(\xi,t)\partial_I\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d} t}-\omega_{IK}(\xi,t)\partial_J\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d} t}\\&=\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t}\partial_I\omega_{KJ}-\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t}\partial_J\omega_{KI}-\partial_I(\omega_{KJ}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t})-\partial_J(\omega_{IK}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t})\end{align}

这里同样只算到一阶

现在检验两者是否相同, 将两者做差

∂tωIJ+dξKdt(∂KωIJ+∂JωKI+∂IωJK)+∂I(ωKJdξKdt)+∂J(ωIKdξKdt)\partial_t\omega_{IJ}+\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t}(\partial_K\omega_{IJ}+\partial_J\omega_{KI}+\partial_I\omega_{JK})+\partial_I(\omega_{KJ}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t})+\partial_J(\omega_{IK}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t})

即

3∂[KωIJ]dξKdt+∂tωIJ−2∂[I(ωJ]KdξKdt)3\partial_{[K}\omega_{IJ]}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t}+\partial_t\omega_{IJ}-2\partial_{[I}(\omega_{J]K}\frac{\mathrm{d}\xi^K}{\mathrm{d}t})

出现了一个 d\mathrm{d} , 这很好, 剩下的东西: 如果 EoM 是满足的, 有关系

∂tωIJ−2∂[IκJ]=0κJ=∂JH+∂tγJ\partial_t\omega_{IJ}-2\partial_{[I}\kappa_{J]}=0\quad \kappa_{J}=\partial_JH+\partial_t\gamma_J

只要符合 EoM , 剩下的两项其实就是相等的

回忆运动方程

dξIdt∣EoM=(ω−1)IJ(∂JH+∂tγJ)\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}=(\omega^{-1})^{IJ}(\partial_J H+\partial_t{\large\gamma}_J)

所以应该弄清楚到底在说什么 另外上面的计算在 Darboux 定理的时候也会用到

继续讨论: 如果一开始就使用了 canonical coordinate, 则 ωIJ\omega_{IJ} 的分量就是常数矩阵

dωIJdt=0\frac{\mathrm{d}\omega_{IJ}}{\mathrm{d}t}=0

这说明由时间演化定义的那个坐标变换在 EoM 下保持 ω\omega, 这就是

Time evolution is a canonical transformation 这个东西其实就是 Lie 导数的观点

Liouville Volume, Liouville Theorem, Collisionless Boltzmann Eq.

在坐标变换下, 一个好的 volume 是不依赖坐标的

∣det⁡ω~∣=∣det⁡ω∣∣det⁡∂ξI∂ξ~I~∣2|\det \tilde{\omega}|=|\det\omega|\left|\det\frac{\partial\xi^I}{\partial\tilde{\xi}^{\tilde{I}}}\right|^2

原先的 volume 是 d2nξd2nξ~\mathrm{d}^{2n}\xi\quad \mathrm{d}^{2n}\tilde{\xi} 相差一个 Jacobian , 所以这迫使我们构造一个坐标无关的 volume

d2nξ∣det⁡ω(ξ)∣=d2nξ~∣det⁡ω~(ξ~)∣\mathrm{d}^{2n}\xi \sqrt{|\det \omega(\xi)|}=\mathrm{d}^{2n}\tilde{\xi}\sqrt{|\det \tilde{\omega}(\tilde{\xi})|}

这就是一个 coordinate - independent volume measure 即 Liouville measure

可以看见, 对于 canonical coordinate

Liouville measure=dnQdnP\text{Liouville measure} = \mathrm{d}^nQ\mathrm{d}^nP

前面定义的 number of particle per phase space volume , 需要换一个定义

d2nξ ρ(ξ,t)=d2nξ∣det⁡ω(ξ)∣ f(ξ,t)\mathrm{d}^{2n}\xi \,\rho(\xi,t)=\mathrm{d}^{2n}\xi\sqrt{|\det\omega(\xi)|} \,f(\xi,t)

这样 f(ξ,t)f(\xi,t) 也应该是 coordinate - independent 的, 这是一个良好定义的 density

f~(ξ~,t)=f(ξ,t)\tilde{f}(\tilde{\xi},t)=f(\xi,t)

这立即导出 Liouville Theorem: 首先由于

ωIJ(ξ(t+δt),t+δt)=EoMω~IJ(ξ~(t),t)\omega_{IJ}(\xi(t+\delta t),t+\delta t)\overset{\text{EoM}}{=} \tilde{\omega}_{IJ}(\tilde{\xi}(t),t)

则可以考虑 Time evolution under EoM

ξI=ξI(t;ξ0,t0)view as coordinate transformation\xi^I=\xi^I(t;\xi_0,t_0)\quad \text{view as coordinate transformation}

这样就有

d2nξ∣det⁡ω(ξ,t)∣=d2nξ0∣det⁡ω~(ξ~=ξ0,t)∣\mathrm{d}^{2n}\xi\sqrt{|\det\omega(\xi,t)|}=\mathrm{d}^{2n}\xi_0\sqrt{|\det\tilde{\omega}(\tilde{\xi}=\xi_0,t)|}

在 EoM 下, 右边就是

d2nξ0∣det⁡ω(ξ0,t0)∣\mathrm{d}^{2n}\xi_0\sqrt{|\det \omega(\xi_0,t_0)|}

这就是 Liouville Theorem

两个等号都来自把时间演化视为坐标变换的观点: 第一个等号用的是 Liouville measure 在坐标变换下的不变性, 第二个等号用的是该坐标变换在 EoM 下保持 symplectic form

进一步就有: 沿着 EoM 生成的轨道

f(ξ(t;ξ0,t0),t)=f(ξ0,t0)f(\xi(t;\xi_0,t_0),t)=f(\xi_0,t_0)

在 EoM 下, 对时间求导就有

∂tf+dξIdt∣EoM∂If=0\partial_t f+\frac{\mathrm{d}\xi^I}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}\partial_If=0

^7870f9

这就是 Collisionless Boltzmann Eq.

回到 Lecture 1 的另一个方程

Lec_01 中对应的是

∂tρ+dxdt⋅∂xρ+dpdt⋅∂pρ=0\partial_t\rho+\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\cdot\partial_{\mathbf{x}}\rho+\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\partial_{\mathbf{p}}\rho=0

在 canonical 坐标下, 两者几乎相同, 但是必须澄清 ff 和 ρ\rho 不是同一个东西 在后续对 collision 的讨论中, 应该使用 ff ; 这才是坐标无关、也更物理的量

Q: 一般情况反而是 ρ\rho 更有物理意义

A: 后续一般是用 ff 来构建理论, 但对观测量的联系需要回到 ρ\rho 上去

接着可以讨论: Total action of an ensemble of non-interacting particles

对每个粒子 α\alpha , 则

Stotal=∑αSα[ξα]S_{\text{total}}=\sum_{\alpha} S_{\alpha}[\xi_{\alpha}]

但是求和并不方便, 可以考虑在 phase space 积分, 用每个粒子的初值条件来 label 每个粒子

Stotal=∫d2nξ0ρ(ξ0,t0)S[ξ(t;t0,ξ0)]S_{\text{total}}=\int\mathrm{d}^{2n}\xi_{0}\rho(\xi_0,t_0)S[\xi(t;t_0,\xi_0)]

现在这个东西还是废话(

Noether’s Theorem

现在做一个更一般的 Noether’s Theorem

S=∫path[γIdξI−Hdt]S=\int_{\text{path}}[\gamma_I\mathrm{d}\xi^I-H\mathrm{d}t]

做变分之后

δS=∫path[δξIωIJ(ξ,t)dξJ−δξI(∂IH(ξ,t)+∂tγI(ξ,t))dt+d(γIδξI)]\delta S = \int_{\text{path}}[\delta\xi^I\omega_{IJ}(\xi,t)\mathrm{d}\xi^J-\delta\xi^I(\partial_IH(\xi,t)+\partial_t\gamma_I(\xi,t))\mathrm{d}t+\mathrm{d}(\gamma_I\delta\xi^I)]

^e66895

回忆原先的证明过程, 需要 find dξI\mathrm{d}\xi^I 合于 δS=boundary term for any δξI\delta S= \text{boundary term for any } \delta \xi^I

反过来, 找 δξI\delta\xi^I 合于 δS=boundary term for any dξI\delta S= \text{boundary term for any } \mathrm{d}\xi^I

这个东西就和对称性有关系: 找特殊的变分 δξI\delta\xi^I , 对任意的运动过程, 仍然保持运动方程 某种意义上这也许就是对称性

首先考虑, 若变分里面只有全微分

δS=∫pathd(γIδξI)\delta S = \int_{\text{path}}\mathrm{d}(\gamma_I\delta \xi^I)

那么

δξIωIJ=0\delta\xi^I\omega_{IJ}=0

若存在非平凡的 δξI\delta\xi^I , 则必有 det⁡ω=0\det\omega=0

那么 δξI\delta\xi^I 就应该是 unphysical 的自由度

如果考虑 ω\omega 非退化, 那就只有

δS=∫pathϵ dQ(ξ,t)+d(γIδξI)\delta S=\int_{\text{path}}\epsilon\,\mathrm{d}Q(\xi,t)+\mathrm{d}(\gamma_I\delta\xi^I)

^989e17

Q(ξ,t)Q(\xi,t) 就是 Noether charge

但是这两个全微分的意义不同, 后者是 gauge dependent 的, 但是前者就不一定是 gauge dependent 的