Ayaya Notes

lec 09

上次提到两个弛豫时间近似

问题在于 δf\delta f 的 ambiguity

在 relaxation time approximation 中写

collision=−δfτ,δf=f−fleq\text{collision}=-\frac{\delta f}{\tau},\qquad \delta f=f-f_{\text{leq}}

但 fleqf_{\text{leq}} 本身由局域的热力学参数决定. 如果改变 μ(x),β(x),u(x)\mu(x),\beta(x),u(x) 等参数, 一部分原来放在 δf\delta f 里的变化就可以被吸收到 fleqf_{\text{leq}} 中. 因此需要额外的条件来固定这个分解.

通常的做法是要求 δf\delta f 不携带 collision conserved quantities:

∫pQ δf=0\int_p Q\,\delta f=0

这和 relaxation time approximation 的一致性有关. 如果 QQ 是真实 collision invariant, 则精确的碰撞项应满足

∫pQ (collision)=0\int_p Q\,(\text{collision})=0

代入 −δf/τ-\delta f/\tau 后就得到上面的约束. 但是这里有一个细节: 这些守恒量是实空间局域的守恒量, 不是相空间里唯一确定的局域 current.

0=∂μJμ=∂t∫pf+∂x∫px˙EoMf=∫p(collision)0=\partial_\mu J^\mu =\partial_t\int_p f+\partial_x\int_p \dot{x}_{\text{EoM}} f =\int_p(\text{collision})

但是这个积分里面可以相差一个 pp 的全导数

对于单个 particle, 有 Noether Theorem

dQdt=0\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=0

也就是沿着相空间轨道

∂tQ+ξ˙I∂IQ=0\partial_t Q+\dot{\xi}^{I}\partial_I Q=0

同时有连续性方程

∂tρ+∂I(ξ˙Iρ)=0\partial_t\rho+\partial_I(\dot{\xi}^{I}\rho)=0

这不依赖于运动方程

得到

∂t(Qρ)+∂I(ξ˙IQρ)=0\partial_t(Q\rho)+\partial_I(\dot{\xi}^{I}Q\rho)=0

这里 ρ\rho 是相空间中的密度. 这个式子看起来像一个相空间连续性方程, 但真正进入 Boltzmann 守恒律的是对动量积分后的量.

对动量积分后, pp 方向的全导数不贡献, 因而得到实空间的守恒形式

∂t∫pQρ+∂i∫px˙iQρ=0\partial_t\int_p Q\rho+\partial_i\int_p \dot{x}^{i}Q\rho=0

虽然没有直接的相空间守恒流, 但对动量积分后的量有守恒方程

即没有一个相空间的 current , 只有一个定义在实空间的类似 current 的量

可以发现在 locality 一般只在实空间中出现

所以在使用 RTA 时, 约束 δf\delta f 的对象应该是 collision 真正保持的 QQ. 对于没有杂质、只靠粒子间碰撞的情形, 通常有粒子数、能量、动量守恒; 但对于杂质导致的 1 - 1 scattering, 动量可以交给背景, 不是电子气自身的 conserved quantity.

因此这种 local equilibrium 中没有 conserved 的 momentum

fleq=1eβ(H−μ)∓1f_{\text{leq}}=\frac{1}{e^{\beta(H-\mu)}\mp1}

考虑 1 - 1 scattering

(collision)1=∫p2(W2→1f2−W1→2f1)(\text{collision})_1 =\int_{p_2}\left(W_{2\to 1}f_2-W_{1\to 2}f_1\right)

这里的 1,21,2 标记的是同一条能带上的不同动量态. 对杂质散射来说, 背景破坏平移对称性, 所以 p1p_1 和 p2p_2 不必相等; 但如果杂质是静态的, 散射仍保持单粒子的能量.

而

∫p1ϵ11(above)=0\int_{p_1}\epsilon^1_1(\text{above})=0

这是因为碰撞概率

W1→2,W2→1∝δ(ϵ11−ϵ21)W_{1\to2},W_{2\to 1}\propto \delta(\epsilon_1^1-\epsilon_2^1)

类似地, 粒子数也守恒:

∫p1(above)=0\int_{p_1}(\text{above})=0

但一般没有

∫p1p1i(above)=0\int_{p_1}p_1^i(\text{above})=0

因为杂质或晶格可以吸收动量. 这就是为什么这里的 fleqf_{\text{leq}} 只有 β,μ\beta,\mu 这类参数, 而没有流速项 uapau^ap_a.

我们希望将 collision 用 relaxation time 替换后, 保持 collision 的性质

因此 RTA 不能任意写成 −Δf/τ-\Delta f/\tau, 而要写成对 fleqf_{\text{leq}} 的偏离, 并且配合

∫pQ δf=0\int_p Q\,\delta f=0

来保持相应的 collision invariant. 对杂质 1 - 1 scattering, QQ 至少包括粒子数和能量, 但不包括动量.

上次提到的两个 region Lec_08

1/τ≪∂t,v∂xballistic1/\tau \ll \partial_t ,v\partial_x \quad \text{ballistic} 1/τ≫∂t,v∂xhydrodynamics1/\tau \gg \partial_t ,v\partial_x\quad \text{hydrodynamics}

并且在每种情况, 右侧的两个量之间的比较也很重要

继续上次电导率的例子

σij=τq2∫p∂piH∂pjH(−∂Hfgeq)\sigma^{ij} =\tau q^2\int_p \partial_{p_i}H \partial_{p_j}H(-\partial_H f_{\text{geq}})

对于旋转对称的系统

p_ip_j \propto \frac{p^2}{d} \delta_{ij}

简单的计算得出

σij=nq2τmδij\sigma^{ij} =\frac{nq^2\tau}{m}\delta^{ij}

这样的流会给出能量 J⋅E\mathbf{J}\cdot \mathbf{E} , 温度会升高, 故不存在一个稳定的状态 ∂t=0\partial_t =0 不成立

Linear response result can be totally different from the actual solution

但是实际上的计算中揭示出这个计算和电导率的结果符合很好 一个原因是发热是高阶量 ∼E2\sim E^2 另一个原因是存在环境的耦合

实际上, 我们在 Boltzmann 方程的 set up 中, 并没有考虑环境的自由度 但在使用 linear response 中, 需要 coupling with environment 的结果才能得到真实解的结果 Anton Kapustin (2024) 有过类似的讨论

如果我们仍然要求, 在环境的 coupling 下有

∂tf=0\partial_t f=0

但我们让 local equilibrium 有坐标的依赖, μ(x)\mu(x)

pm∂xfleq+qE⋅pm∂ϵfeq=−δfτ\frac{p}{m}\partial_x f_{\text{leq}} +qE\cdot \frac{p}{m}\partial_{\epsilon} f_{\text{eq}} =-\frac{\delta f}{\tau}

得到 (替换 1 阶项的系数为 feqf_{\text{eq}})

pm⋅(∂xμ−qE)\frac{p}{m}\cdot (\partial_x\mu-qE)

出现了可以 factor out 的部分

这是必然的吗? 是也不是(

首先看看这是 factor 的含义, 当 ∂t=0\partial_t =0 时, 可以取 Coulomb gauge

∂x(μ+qϕ)\partial_x(\mu+q\phi)

得到电化学势 μ+qϕ\mu +q\phi

在这种情况下得到的电流

Ji=σij(Ej−∂jμ/q)linear responseJ^i=\sigma^{ij}(E_j-\partial_j\mu/q)\quad \text{linear response}

当 δf=0\delta f =0 时, 我们有 μ+qϕ=const.\mu+q\phi=\text{const.} , 这是一个 exact 的解

一般地

∂tf+ω−1IJ(∂JH+∂tγJ)∂If=collision\partial_t f +{\omega^{-1}}^{IJ}(\partial_J H+\partial_t\gamma_J)\partial_I f =\text{collision}

若认为 local equilibrium 存在时, 取 ∂t=0\partial_t =0 和 collision=0\text{collision}=0

一般地, 有

ω−1IJ∂JH∂If=0{\omega^{-1}}^{IJ}\partial_J H\partial_I f=0

一种解是

f=f(H)f=f(H)

在现在的例子中

H=p22m+qϕ=ϵ1(p)+qϕ  ⟹  f=f(ϵ1+qϕ)H=\frac{p^2}{2m}+q\phi=\epsilon^1(p)+q\phi \implies f=f(\epsilon^1+q\phi)

而 local equilibrium 写成

f=1eβ(ϵ1−μ)∓1f=\frac{1}{e^{\beta (\epsilon^1-\mu)}\mp 1}

这给出

μ+qϕ=const.\mu+q\phi=\text{const.}

为什么 local equilibrium 的形式长那样? 一个原因是 collision 是 local 的, 在碰撞中不出现 ϕ\phi 或者认为 ϕ\phi 作为 gauge 进入了 μ\mu