Ayaya Notes

lec 08

Relaxation time (approximation)

Boltzmann collision term 是复杂的

通常会用一些近似, 如 relaxation time approximation

collision=−δfτ\text{collision} = -\frac{\delta f}{\tau}

当忽略空间变化时, 有

∂tf=−δfτ  ⟹  δf∝e−t/τ\partial_t f =-\frac{\delta f}{\tau}\implies \delta f \propto e^{-t/\tau}

question

What does δf\delta f mean ?

δf=f−fleq\delta f=f -f_{\text{leq}}

注意 relaxation time approximation 中减去的应该是 local equilibrium, 因为 collision term 消失时应有 f=fleqf=f_{\text{leq}}.

我们总有分解

f=feq+Δf=fleq+δf  ⟹  Δf=(fleq−feq)+δff=f_{\text{eq}}+\Delta f=f_{\text{leq}}+\delta f \implies \Delta f=(f_{\text{leq}}-f_{\text{eq}})+\delta f

其中 local equilibrium 的形式为

fleq=1eβ(H−μ−uapa)∓1f_{\text{leq}}=\frac{1}{e^{\beta(H-\mu-u^{a}p_{a})}\mp1}

在这样的分解下, 改变局域的参数 β,μ,⋯\beta ,\mu,\cdots , 可以将变化吸收进 δf\delta f 中. 即 δf\delta f 和 fleqf_{\text{leq}} 的分解是 ambiguous 的

首先 feqf_{\text{eq}} 我们可以等待系统到达平衡态之后来定义, 同样, 对右侧, 我们可以用一些守恒量来约束

∫x⃗∫p⃗Q(fleq−feq)=0\int_{\vec{x}}\int_{\vec{p}} Q(f_{\text{leq}}-f_{\text{eq}})=0

类似地, 我们可以尝试使用

∫p⃗Qδf=0\int_{\vec{p}} Q\delta f=0

实际上, 这是 relaxation time approximation 的要求, collision 需要保持守恒量

∫pQ×(collision)=0\int_p Q\times(\text{collision})=0

想要将 δf,Δf\delta f,\Delta f 视作小量 (这和 relaxation time 无关)

一般地, 上面这两个要求并不是必然相关的, 通常我们会使用这两个要求

注意 #\# of ambiguity = #\# of independent QQ = #\# of collision invariants 一般不考虑角动量, 除非有 spin

首先 τ=const\tau =\text{const} 通常不是很合理, 例如我们可以有

τ=τ(∣p⃗∣)\tau =\tau(|\vec{p}|)

例如 absorber 是一个很软的物质, 动量大的粒子就直接穿过去了, 动量小的粒子才会发生相互作用

但是可以认为 τ\tau 是一个我们关心的物理过程的 typical scale, 这样使用起来是方便的

在研究问题时, 我们常常需要将一些 scale 用来对比

∂t∼ω,v∂x∼vqtime/spatial variation of our exerted force or measurements\partial_t\sim \omega,\qquad v\partial_x \sim vq \quad \text{time/spatial variation of our exerted force or measurements}

这些一般是宏观的 scale, 还有一些 scale

1/τtypical scattering rate1/\tau \quad \text{typical scattering rate} Hℏvery large\frac{H}{\hbar}\quad \text{very large}

ballistic

ballistic 的图像是, 当施加外场时, 能够看到粒子的各种运动

1/τ≪∂t,v∂x1/\tau \ll \partial_t ,v\partial_x

即在这种情况下 collision 的发生频率很低

例子是: 相互作用比较弱 (如低温的 phonon) Fermi liquid (little room in pp space for scattering)

hydrodynamic

即为相反的情况, 这是一个稠密粒子的情形, 处处很快达到 local equilibrium

1/τ≫∂t,v∂x1/\tau \gg \partial_t ,v\partial_x

“hydrodynamics” 有两种含义 最初, 这就是指的液体, 像水一样, 如粒子数, 能量, 动量守恒等 generally, study local conserved quantities 如: 导体中的电子在杂质中的散射, 此时没有动量守恒

当然, ∂t\partial_t 和 v∂xv\partial_x 的 ratio 也是重要的, 因为在 local equilibrium 时我们仍需要比较两者

Simplest example: non - interaction electrons in conductor

Boltzmann eq.

∂tf+∂H∂p∂xf+qE∂pf=−δfτ\partial_t f +\frac{\partial H}{\partial p}\partial_x f +qE \partial_p f=-\frac{\delta f}{\tau}

Suppose Δf\Delta f is driven by EE 此时的图像: 当施加一个disturb 时, 电子会很快达到 local equilibrium , 但会很慢地到达 global equilibrium

为什么到达 global equilibrium 会慢得多? 因为不同区域之间需要时间交换守恒量, 这是一个输运过程

我们实际上有如下 hierarchy:

lec08 kinetic hydro hierarchy

但是实际上, hydrodynamics 并不需要粒子的概念。

我们将 Δf\Delta f 和 EE 视作同阶量

若 E=constE=\text{const} , 且 system stays uniform and stable, 即认为 ∂t,∂x=0\partial_t ,\partial_x=0

qE∂pfgeq=−δfτqE \partial_p f_{\text{geq}} =-\frac{\delta f}{\tau}

而 global equilibrium 是能量的函数, 我们可以解出

δf=τqE∂pH(−∂Hfgeq)\delta f= \tau q E \partial_p H(-\partial_H f_\text{geq})

则电流

Ji=q∫pdxidt∣EoMf=τq2∫p∂piH∂pjH(−∂Hfgeq)EjJ^i=q\int_p \frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\Big|_{\text{EoM}}f =\tau q^2\int_p \partial_{p_i}H \partial_{p_j}H(-\partial_H f_{\text{geq}}) E_j

即得到了电导

σij=τq2∫p∂piH∂pjH(−∂Hfgeq)\sigma^{ij} =\tau q^2\int_p \partial_{p_i}H \partial_{p_j}H(-\partial_H f_{\text{geq}})

注意我们将 ff 替换为 δf\delta f, 也包含了一些近似

但是这个电导的结果需要小心理解: 上面的稳态解隐含了能量可以被某个外界 bath 带走, 或者说 relaxation time approximation 固定了一个背景的 fgeqf_{\text{geq}}。如果是封闭电子系统, 持续电场会不断加热, 不应有严格的稳态解; 这表明前面保留到一阶的处理只是线性响应/Drude 近似, 不是完整的非平衡稳态。