Ayaya Notes

lec 10

上次的结果 Lec_09

relaxation time 和 linear response

Ji=∫ppimδf=τq∫ppipjm2(−∂feq∂ε)⏟σij(Ej−∂jμ/q)linear responseJ^i =\int_p \frac{p^i}{m}\delta f =\underbrace{ \tau q\int_p \frac{p^ip^j}{m^2} \left(-\frac{\partial f_{\text{eq}}}{\partial \varepsilon}\right) }_{\sigma^{ij}} \left(E_j-\partial_j\mu/q\right) \quad \text{linear response}

同时存在一个 exact solution

μ+qϕ=const.\mu+q\phi=\text{const.}

问题是: 这是一个 local 还是 global 的 equilibrium 这个回答有不同的角度: 首先这个结果是 xx dependent 的, 包含了 local 的性质 另外这个结果也满足 global equilibrium 的解的要求

一个例子是干电池, 内部是不是 equilibrium 电池的能量可以来源于不同的形式, 满足上面结果的干电池是哪种? 最简单的回答是没电的电池

但是如果一直有 ϕ=ϕ(x)\phi=\phi(x) 这就不一定是一个 global 的性质

这也可能是先约定好什么叫 global equilibrium 一种好的约定是认为当系统没有 time dependent 的时候系统达到了 global equilibrium 如果上面的结果也没有 time dependent, 我们也可以认为这描写了 global equilibrium

回到前面的两个 scale

1/τ≪∂t,v∂xballistic1/\tau \ll \partial_t ,v\partial_x \quad \text{ballistic} 1/τ≫∂t,v∂xhydrodynamics1/\tau \gg \partial_t ,v\partial_x\quad \text{hydrodynamics}

如果做进一步的细化, 讨论 ∂t,v∂x\partial_t ,v\partial_x 的关系

首先的观察是, 前文的外场得到的 exact solution 在 slow limit ∂t≪v∂x\partial_t \ll v\partial_x 对两种情景都是满足的 (和 τ\tau 无关) , 只要 ∂t≈0\partial_t\approx 0

但在 fast limit, 就不相同了, 此时 ∂x≃0\partial_x\simeq 0

∂tf+qE⋅∂pf=−δfτ\partial_t f+ qE\cdot \partial_p f =-\frac{\delta f}{\tau}

在 linear response 下, 可以将动量部分做替换 f∼feqf\sim f_{\text{eq}}, 但是为了保留含时贡献, 对时导数只能做 δf\delta f 的替换 (feqf_{\text{eq}} 不含时)

这种情况下, 一种解是

(∂t+1τ)δf=qE⋅pm(−∂εfeq),fleq∼feq\left(\partial_t +\frac{1}{\tau}\right)\delta f =qE\cdot \frac{p}{m} \left(-\partial_{\varepsilon}f_{\text{eq}}\right), \qquad f_{\text{leq}}\sim f_{\text{eq}}

这里需要对 pp odd 的部分

这个方程可以解

δf~=iωqAipim∂εfeq−iω+1τ\delta \tilde{f} =\frac{ i\omega q A_i \frac{p_i}{m}\partial_{\varepsilon}f_{\text{eq}} }{ -i\omega +\frac{1}{\tau} }

在 ω,1τ\omega , \frac{1}{\tau} 的不同关系下, 这给出了不同响应

当 ω≫1/τ\omega \gg 1/\tau 时, 这与 AA 是 same phase 的 当 ω≪1/τ\omega \ll 1/\tau 时, 这与 EE 是同相的

这两个范围给出了不同的图像

lec10 fast slow response

在这种情况, ballistic 给出 σ∝1/ω\sigma \propto 1/\omega, 而 hydrodynamic 给出 σ∝τ\sigma \propto \tau

可以发现, 在 ω≪1/τ\omega \ll 1/\tau 时, 这给出了和 slow limit 相同的解

但是在 fast limit 下, linear response 是一个合理的近似解, 但在 slow limit 下, 这不是一个合理的解 (环境自由度被藏在了里面), 而 μ+qϕ=const.\mu +q\phi=\text{const.} 是一个合理的解

∂xμ−qE\partial_x\mu -qE 总是一直出现吗? (至少在 slow limit 下)

在 global equilibrium 下, 我们有关系 μ+qϕ=const.\mu +q\phi=\text{const.} 但在电流中, 并不是这样

我们知道

J0(x,t)=∫pf,Ji(x,t)=∫pdxidt∣EoMfJ^0(x,t)=\int_p f, \qquad J^i(x,t) =\int_p \left.\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{EoM}} f

符合 ∂μJμ=0\partial_\mu J^\mu=0, 只要 evolution 和 collision 都保持 particle number

但是 current 不一定都是这个形式, 粒子数守恒的条件允许添加一项全散度 ∂νMμν\partial_\nu M^{\mu\nu} 上面实际上是粒子流, 而实验中通常使用的是电流 首先两者都是一个观测量

先看看如果存在多的项 MμνM^{\mu\nu} , 这应该是什么

一个想法是考虑多极矩, 按照一般的电流密度的定义, 可以加入极化电流, 这样 MμνM^{\mu\nu} 可以理解为极化密度

但是这个结果如何进入上面的定义?

考虑单粒子 action

S=∫[pix˙i+qAμ(x,t)x˙μ−H]dt,x˙μ=(1,x˙i)S=\int \left[p_i\dot{x}^i+qA_\mu(x,t)\dot{x}^\mu-H\right]\mathrm{d}t, \qquad \dot{x}^\mu=(1,\dot{x}^i)

若还带有多极矩, 应该在 action 里面加入什么项? 首先应该有一部分能量, 可以用极化密度和电磁场构造

Sint=∫dt[qAμ(x,t)x˙μ+12μμνFμν(x,t)]S_{\text{int}} =\int \mathrm{d}t \left[ qA_\mu(x,t)\dot{x}^\mu +\frac{1}{2}\mu^{\mu\nu}F_{\mu\nu}(x,t) \right]

其中 μμν=−μνμ\mu^{\mu\nu}=-\mu^{\nu\mu}, 且

Fμν=∂μAν−∂νAμF_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu

同时从 Noether thm 得到的 Noether current 也不能探测出全导数项, 之前提到过, 这需要考虑和场的耦合, 按照电流的结果

Jμ(x′,t′)=δSintδAμ(x′,t′)J^\mu(x',t')=\frac{\delta S_{\text{int}}}{\delta A_\mu(x',t')}

对多极矩项做变分. 利用 μμν\mu^{\mu\nu} 反对称性,

12μμνδFμν=μμν∂μδAν\frac{1}{2}\mu^{\mu\nu}\delta F_{\mu\nu} =\mu^{\mu\nu}\partial_\mu\delta A_\nu

这里对外场的泛函导数为

δAμ(x(t),t)δAν(x′,t′)=δμνδd(x(t)−x′)δ(t−t′)\frac{\delta A_\mu(x(t),t)}{\delta A_\nu(x',t')} =\delta_\mu^\nu\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t')

以及

δFρσ(x(t),t)δAν(x′,t′)=(δσν∂ρ−δρν∂σ)[δd(x(t)−x′)δ(t−t′)]\frac{\delta F_{\rho\sigma}(x(t),t)}{\delta A_\nu(x',t')} = \left( \delta_\sigma^\nu\partial_\rho -\delta_\rho^\nu\partial_\sigma \right) \left[ \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right]

其中 ∂μ\partial_\mu 作用在粒子位置的时空坐标 (x(t),t)(x(t),t) 上. 代入作用量得到

δSintδAν(x′,t′)=∫dt[qx˙νδd(x(t)−x′)δ(t−t′)+μμν∂μ(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))]\frac{\delta S_{\text{int}}}{\delta A_\nu(x',t')} =\int \mathrm{d}t \left[ q\dot{x}^\nu\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') +\mu^{\mu\nu}\partial_\mu \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right]

现在对 tt 积分. 对第一项直接令 t=t′t=t'. 对第二项, 空间导数可用

∂xiδd(x(t)−x′)=−∂x′iδd(x(t)−x′)\partial_{x^i}\delta^d(x(t)-x')=-\partial_{x'^i}\delta^d(x(t)-x')

时导数项要对 tt 分部积分:

∫dt μ0ν∂t[δd(x(t)−x′)δ(t−t′)]=−ddt[μ0νδd(x(t)−x′)]∣t=t′\int \mathrm{d}t\,\mu^{0\nu}\partial_t \left[ \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right] = -\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \mu^{0\nu}\delta^d(x(t)-x') \right]\right|_{t=t'}

所以完整地有

Jν(x′,t′)=qx˙ν(t′)δd(x(t′)−x′)−ddt′[μ0ν(t′)δd(x(t′)−x′)]−∂x′i[μiν(t′)δd(x(t′)−x′)]J^\nu(x',t') =q\dot{x}^\nu(t')\delta^d(x(t')-x') -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} \left[ \mu^{0\nu}(t')\delta^d(x(t')-x') \right] -\partial_{x'^i} \left[ \mu^{i\nu}(t')\delta^d(x(t')-x') \right]

现在把两个分量用带撇的观测点定义重写.

先对 A0(x′,t′)A_0(x',t') 求泛函导数:

J0(x′,t′)=δSintδA0(x′,t′)J^0(x',t') =\frac{\delta S_{\text{int}}}{\delta A_0(x',t')}

这一项里面需要用到

δAν(x(t),t)δA0(x′,t′)=δν0δd(x(t)−x′)δ(t−t′)\frac{\delta A_\nu(x(t),t)}{\delta A_0(x',t')} =\delta_\nu^0\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t')

以及

δ∂μAν(x(t),t)δA0(x′,t′)=δν0∂μ[δd(x(t)−x′)δ(t−t′)].\frac{\delta \partial_\mu A_\nu(x(t),t)}{\delta A_0(x',t')} =\delta_\nu^0\partial_\mu \left[ \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right].

所以

J0(x′,t′)=∫dt[qx˙0(t)δd(x(t)−x′)δ(t−t′)+μμ0(t)∂μ(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))]=∫dt[qδd(x(t)−x′)δ(t−t′)+μi0(t)∂xi(t)(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))].\begin{aligned} J^0(x',t') &=\int \mathrm{d}t \left[ q\dot{x}^0(t)\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') +\mu^{\mu 0}(t)\partial_\mu \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right] \\ &=\int \mathrm{d}t \left[ q\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') +\mu^{i0}(t)\partial_{x^i(t)} \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right]. \end{aligned}

这里 μ00=0\mu^{00}=0. 再用

∂xi(t)δd(x(t)−x′)=−∂x′iδd(x(t)−x′)\partial_{x^i(t)}\delta^d(x(t)-x') =-\partial_{x'^i}\delta^d(x(t)-x')

得到

J0(x′,t′)=qδd(x(t′)−x′)−∂x′i[μi0(t′)δd(x(t′)−x′)].J^0(x',t') =q\delta^d(x(t')-x') -\partial_{x'^i} \left[ \mu^{i0}(t')\delta^d(x(t')-x') \right].

再对 Ai(x′,t′)A_i(x',t') 求泛函导数:

Ji(x′,t′)=δSintδAi(x′,t′)J^i(x',t') =\frac{\delta S_{\text{int}}}{\delta A_i(x',t')}

此时

δAν(x(t),t)δAi(x′,t′)=δνiδd(x(t)−x′)δ(t−t′)\frac{\delta A_\nu(x(t),t)}{\delta A_i(x',t')} =\delta_\nu^i\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t')

以及

δ∂μAν(x(t),t)δAi(x′,t′)=δνi∂μ[δd(x(t)−x′)δ(t−t′)].\frac{\delta \partial_\mu A_\nu(x(t),t)}{\delta A_i(x',t')} =\delta_\nu^i\partial_\mu \left[ \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right].

代入后

Ji(x′,t′)=∫dt[qx˙i(t)δd(x(t)−x′)δ(t−t′)+μμi(t)∂μ(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))]=∫dt[qx˙i(t)δd(x(t)−x′)δ(t−t′)+μ0i(t)∂t(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))+μji(t)∂xj(t)(δd(x(t)−x′)δ(t−t′))].\begin{aligned} J^i(x',t') &=\int \mathrm{d}t \left[ q\dot{x}^i(t)\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') +\mu^{\mu i}(t)\partial_\mu \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right] \\ &=\int \mathrm{d}t \left[ q\dot{x}^i(t)\delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') +\mu^{0i}(t)\partial_t \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right. \\ &\qquad\qquad\left. +\mu^{ji}(t)\partial_{x^j(t)} \left( \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right) \right]. \end{aligned}

空间导数项仍然换成对 x′x' 的导数. 时间导数项对 tt 分部积分:

∫dt μ0i(t)∂t[δd(x(t)−x′)δ(t−t′)]=−ddt[μ0i(t)δd(x(t)−x′)]∣t=t′.\int \mathrm{d}t\,\mu^{0i}(t)\partial_t \left[ \delta^d(x(t)-x')\delta(t-t') \right] =-\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left[ \mu^{0i}(t)\delta^d(x(t)-x') \right]\right|_{t=t'}.

于是

Ji(x′,t′)=qx˙i(t′)δd(x(t′)−x′)−ddt′[μ0i(t′)δd(x(t′)−x′)]−∂x′j[μji(t′)δd(x(t′)−x′)].\begin{aligned} J^i(x',t') &=q\dot{x}^i(t')\delta^d(x(t')-x') -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'} \left[ \mu^{0i}(t')\delta^d(x(t')-x') \right] \\ &\qquad -\partial_{x'^j} \left[ \mu^{ji}(t')\delta^d(x(t')-x') \right]. \end{aligned}

对于多粒子情形, 按照相空间权重

∫p,xf(t,x,p)\int_{p,x}f(t,x,p)

做积分, 这个积分消掉了 δd(x−x′)\delta^d(x-x'). 定义

Mμν(x,t)=∫pμμν(x,p)f(t,x,p)M^{\mu\nu}(x,t) =\int_p \mu^{\mu\nu}(x,p) f(t,x,p)

就得到

Jμ(x,t)=Jconvμ(x,t)−∂νMνμ(x,t)=Jconvμ(x,t)+∂νMμν(x,t).J^\mu(x,t) =J_{\text{conv}}^\mu(x,t)-\partial_\nu M^{\nu\mu}(x,t) =J_{\text{conv}}^\mu(x,t)+\partial_\nu M^{\mu\nu}(x,t).

这正是 Noether thm 中少写的全导数项; 由于 MμνM^{\mu\nu} 反对称, 它不会改变 ∂μJμ=0\partial_\mu J^\mu=0.

一个例子是考虑 global equilibrium 的电荷系统, 即使 μ,ϕ\mu,\phi 都不随时间变化

局部仍然可以有电流

∂jMij(μ)\partial_j M^{ij}(\mu)

lec10 local magnetization current

即使是在 ϕ=0\phi =0 的情况, 这个电流也可能存在. 这种情况 ∂iμ\partial_i\mu 存在, 但 EiE_i 消失

但对这个局部电流积分之后, 我们总得到总电流为 0:

∫ddx ∂jMij=∫∂VdSj Mij=0\int \mathrm{d}^d x\,\partial_j M^{ij} =\int_{\partial V}\mathrm{d}S_j\,M^{ij} =0

当然也可以问是否存在只和电场有关但和 μ\mu 无关的电流? 这就是 Berry curvature