交换力

上次在讲交换力的时候, 结束的时候想讲一件事: 为什么电磁相互作用 (光子) 是同号排斥: 应该去看相对论协变的源

\Delta \mathcal{L}={j_1}_{\mu}{j_2}^{\mu}

由于存在同号与反号, 故源源相互作用和流流相互作用是反号的, 然后去看交换力然后将这个结果用来自旋 $s=2,m=0$ 的引力相互作用上 (狭义)相对论协变的 Lagrangian

\Delta\mathcal{L}={T_1}_{\mu\nu}{T_2}^{\mu\nu}

其中

T_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{c|ccc} \rho & & \mathbf{p}^{T} & \\[2pt]\hline & & & \\ \mathbf{p} & & \boldsymbol{\Pi} & \\ & & & \end{array} \right)

同样去问引力的相互作用, 我们知道

\Pi^{(1)}_{11}\Pi^{(2)}_{11}

是空间上的源的相互作用, 它们的交换力是吸引的结果是

相同方向的动量流密度之间是吸引的
相同方向的能量流密度之间是排斥的
相同符号的能量密度之间是吸引的

问题是: 在稳定的理论中, 不应该有负质量万有引力是一个糟糕的翻译, 它就叫 gravity

同向的动量流密度之间的相互作用是排斥的? 这件事是很难观察到的, 比如两个同向的电流之间的相互作用, 你能构造电荷密度是 0 但电流密度不是 0 的情况, 因为你能拿出正负电荷而荷的效应总是比流的效应高一阶, 流的效应总是被 $v/c$ 压制, 想看到流的力必须隔绝掉荷的作用但是我们没有负质量, 无法抹掉荷之间的相互作用则流引起的引力的斥力效应总是弱于荷之间的引力的吸引效应除非你有系统又重又快, 能显示出这种效应最典型的例子是水星进动: 除开其他扰动, 仍然有一些牛顿力学无法解释的进动效应水星和太阳交换了一些引力子, 在经典极限下, 给出牛顿引力势, 如果你考虑水星运动的速度效应, 你期待有 $(v/c)^2$ 的修正, 由于水星和太阳是自引力系统, $(v/c)^2$ 与 $GM/r$ 是同阶的, 你应该考虑更多的引力子的交换意思是这个阶的修正有两种可能
$(v/c)^2 \times \frac{GM}{r} \quad,\quad(\frac{GM}{r})^2$
意思是交换一次引力子的幅正比于 $G$ , 表明这个阶的修正应该包含交换两个引力子的效应

引力的排斥效应藏在相对论修正中

牛顿引力的第一阶相对论修正
$V = -\frac{Gm_1m_2}{r}+\frac{Gm_1m_2}{2c^2r}\left(7\vec{v}_1\cdot \vec{v}_2 +(\vec{v}_1\cdot\hat{r})(\vec{v}_2\cdot\hat{r})\right)+\cdots$
E - I - H Lagrangian 可以看到, 速度同号时给出排斥力

修正的意思是这些效应都可以解释为牛顿理论中的 “力”

你会发现在牛顿理论中计算出的修正, 都把它叫做力, 而且还是超距力但这不重要, 这只是牛顿极限下的假象, 至少你可以用于计算某一瞬时的相互作用我们知道, 传播任何相互作用都是需要时间的, 相互作用总是在光锥之内传递在做 $v/c$ 的展开时, 实际上在做的事情是把光锥压扁, 实际上这种相互作用只是一种假象

磁场中的电子

实际上是教大家 Pauli 矩阵电子 ( $s=1/2$ ) 有非零的磁矩 $\vec{\mu}\parallel -\vec{s}$ 在磁场中 $\Delta E =-\vec{\mu}\cdot \vec{B}$ , 在自旋的二态空间中, 一般的 Hamiltonian 怎么写?

一种特殊的情况我们是知道的, 对于基础态 $\ket{+z},\ket{-z}$ , 如果磁场也在这个方向, 则这两个态都是哈密顿的本征态

\Delta H =\begin{pmatrix}-\mu B & 0\\ 0 &\mu B\end{pmatrix}

现在的问题是一般的磁场该怎么写本质上这和之前在自旋 1/2 中的旋转是一样的, 你只用作用一次旋转, 但是这次会用不同的方法得到

对于任意磁场 $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$

一个重要的观察是, 不管磁场的指向, Hamiltonian 总是线性依赖磁场强度的
$\Delta H \propto \vec{B}$

并且不管磁场怎么样, 它总有两个本征态: 平行或反平行于磁场, 且本征值为 $\pm \mu |\vec{B}|$ 结果是 Pauli 矩阵

\Delta H =-\mu(\sigma_xB_x+\sigma_y B_y +\sigma_zB_z)

并且 $\Delta H$ 是 Hermite 矩阵, 我们自由度更少

\Delta H =\begin{pmatrix}E_1 & A \\ A^* & E_2\end{pmatrix}

其中 $E_1,E_2\in\mathbb{R}, A\in\mathbb{C}$ 本征值是容易得到的

E_{\pm}=\frac{1}{2}\left[(E_1+E_2)\pm\sqrt{(E_1-E_2)^2+4|A|^2}\right]

而这个值我们是知道的 $\pm\mu |B|$ , 这表明两个本征值必须反号, 即有 $E_1+E_2=0$

E_{\pm}=\pm\sqrt{E_1^2+|A|^2}

到这里还需要做一些猜想: 当 $B_x=B_y=0$ 时, 我们必须有 $A=0$ 且 $E_1=-E_2=-\mu B_z$ , 即 $A$ 中不含 $B_z$ (因为 $A$ 只能是 $B_i$ 的线性函数) 需要猜: $H$ 对 $B_x,B_y$ 的依赖都在 $A$ 中

当然这个猜测是有”道理”的, 你数自由度也能数出来现在只有 3 个可控自由度了

即

|A|^2 = \mu^2(B_x^2+B_y^2)

然后开根号, 当然开根号的自由度很大, 我们取

A = \mu(B_x-iB_y)

当然你可以取不同的开根号方式, 原则上有不同的 Pauli 矩阵你可以用你自己喜欢的, 如果你想和其他物理学家都对着干的话

结果是

\Delta H =-\sum_{i=1}^3 \sigma_i B_i

\sigma_x =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \quad \sigma_y =\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\quad \sigma_z =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

在下面的讨论中, 我们不区分 $\sigma_1$ 和 $\sigma_x$ 之类的东西, 自行理解

现在可以问: 自旋指向任意的态 $(\theta,\phi)$ 在 $\ket{\pm z}$ 的基础态下的坐标是什么答案是旋转矩阵

C_{\pm} = \braket{\pm z\mid \theta,\phi}

这是一种动力学解法: 取 $\vec{B}$ 和 $\ket{\theta,\phi}$ 的自旋平行

B=(s_\theta c_\phi,s_\theta s_\phi,c_\theta)B

而 $\ket{\theta,\phi}$ 处在 $H$ 的本征态上于是可以直接设为定态解 $C_{\pm}=a_{\pm} e^{+i\mu Bt/\hbar}$ 代入 Schrodinger 方程, 有

\begin{cases}a_+ =\cos\frac{\theta}{2} e^{-i\phi/2} \\ a_- =\sin\frac{\theta}{2} e^{i\phi/2}\end{cases}

与前面的结果一致

为什么动力学解法解了一个几何问题? 在这里很特殊的地方在于我们取了一种正比于 Pauli 矩阵的哈密顿量

什么叫解动力学问题: 实际上是解 $\ket{\psi(t)}$ , 实际上这个结果就是时间演化算符但我们不会解, 我们实际上做的是展开时间演化算符, 然后去解但是反过来, 有

\ket{\psi(t)}= e^{-iHt/\hbar}\ket{\psi(t=0)}

如果我们会对哈密顿做指数映射的话, 这就是结果实际上这就是

e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}

现在把哈密顿量换成我们用的哈密顿量, 我们做的是把 Pauli 矩阵放到了指数上

\exp(+i\mu B_i\sigma_i t/\hbar)

而 Pauli 矩阵的指数映射实际上就是旋转矩阵

Chapter 11 更多双态系统

实际上就是研究 Pauli 矩阵

首先 Pauli 矩阵有显然的性质
$\mathrm{Tr}\,\sigma_i =0 \quad \det \sigma_i =-1\quad \sigma_i^\dagger =\sigma_i$

但是也有不那么显然的性质: 反对易括号 anti - commutation

\{\sigma_i ,\sigma_j\}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i =2\delta_{ij}

对易括号 commutation (注意 $i$ 有两个意思)

\boxed{[\sigma_i,\sigma_j]= 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k}

Levi -civita 符号 $\epsilon_{ijk}$ $\epsilon_{123}=+1$ 其他偶排列同号, 奇排列反号

对易括号有两个观察

对易括号应该正比于 levi -civita

Hermite 矩阵的对易括号是反Hermite 的, 故有一个 $i$

实际上 Pauli 矩阵就是角动量而总有对易和反对易的拆分

\sigma_i\sigma_j =\frac{1}{2}(\{\sigma_i,\sigma_j\}+[\sigma_i,\sigma_j])=\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k

如果同时点乘两个矢量, 有一个糟糕的等式 (实际上这是一个矩阵等式)

(\vec{A}\cdot \vec{\sigma})(\vec{B}\cdot\vec{\sigma})=\vec{A}\cdot\vec{B}+ i(\vec{A}\times \vec{B})\cdot\vec{\sigma}

回答什么是 Pauli 矩阵, 要先回答什么是角动量

角动量是空间旋转的生成元

例子: 绕 $z$ 轴的小角度旋转

\mathcal{R}_z(\theta)=\begin{pmatrix}c&s &0 \\-s&c&0\\0&0&1\end{pmatrix}

对小角度展开

\mathcal{R}_z(\theta)=1 + i\begin{pmatrix}0&-i &0 \\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\theta + O(\theta^2)

于是可以定义 $J_z$ 计算这三者, 你会得到

[J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k

这件事实际上在告诉我们: 空间的旋转是不对易的所以自然有这个结构这件事情也是在告诉我们什么叫空间旋转

这个技术可以用到对任意东西的空间旋转比如一个矢量 $A$ , 它的空间旋转为
$A_i \to R_{ij}A_j$
你也可以做小角度展开得到, 得到角动量

在量子力学中, 我们做的只是把矢量变成了算符

\hat{A} \to \hat{D}\hat{A}\hat{D}^{-1}

如果你把 $\hat{D}$ 按小角度展开, 你就能得到

[J_i,A_j]=i\epsilon_{ijk}A_k

这个关系也可以叫矢量的定义: 矢量应该在空间旋转下是协变的, 不是任何三个数放在一起都叫一个矢量

由此也可以定义张量 (关于空间旋转的) (可以看到什么叫矢量, 张量和变换有关) $N$ 阶张量 $A_{i_1\cdots i_N}$ 实际上就是一个插口一个插口地拧

[J_i,A_{j_1j_2\cdots j_N}] = i\epsilon_{ij_1k_1}A_{k_1 j_2\cdots j_n}+\cdots + i\epsilon_{ij_Nk_N}A_{j_1 j_2\cdots j_N}

举个例子: 你用两个矢量组成一个张量可以验证

[J,AB]=[J,A]B+A[J,B]

实际上就是上面的意思

而 $\frac{1}{2}\sigma_i \sim J_i$ 有相同的对易关系实际上 $\frac{1}{2}\sigma_i$ 就是自旋 1/2 空间的角动量算符

而旋转就是对这些角动量做指数映射

D[\mathcal{R}_j(\theta)]=\exp[i\sigma_j\theta/2]

比如做 $\sigma_1/2$

\exp[i\sigma_1\theta/2] = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\sigma_1\theta/2)^n}{n!}

可以验证 $\sigma_1^2=1$

表明

\exp[i\sigma_1\theta/2]=\sum_{偶数项}\frac{(i\theta/2)^2}{n!} + \sigma_1 \sum_{奇数项}\frac{(i\theta/2)^n}{n!}=\cos(\frac{\theta}{2})+\sigma_1 \sin(\frac{\theta}{2})

这和之前的结果相同 (常数是乘了一个单位) 也可以做其他的指数映射

下面来讲这些计算的精神这些计算实际上回答了一个问题 Feynman 提到, 这三个矩阵在任何参考系下都是这个样子的即三维旋转的”矢量” $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ 是在三维旋转下不变的”矢量” 这在 $\mathbb{R}^3$ 中显然做不到, 但是你允许分量是一个矩阵, 你找到了一个三维旋转的不变量

计算是 $(\sigma_i)_{ab}$ , $i$ 是方向, 旋转意思是对 $i$ 做变换但是旋转的时候你应该也转 $ab$ 指标, 即

D^{(1/2)}[\mathcal{R}]_{a'a}(\sigma_{i})_{ab}D^{(1/2)}[\mathcal{R}]_{bb'} \mathcal{R}_{ij} = (\sigma_{j})_{a'b'}

这个量是不变的

Pauli 矩阵

这个 Pauli 矩阵明确地生活在电子自旋的二态空间中, 当作用空间旋转时, 实际上也会去转态空间中的态, 或者去转算符, 取决于你做的是主动变换还是被动变换如果我们把所有旋转都做全:

D^{(1/2)}[\mathcal{R}]_{a'a}(\sigma_{i})_{ab}D^{(1/2)}[\mathcal{R}]_{bb'} \mathcal{R}_{ij} = (\sigma_{j})_{a'b'}

Pauli 矩阵是这样的不变量, 注意上面的旋转都是同一个旋转

另外上节课判断一个量是不是矢量的判据

[J_i,A_j]=i\epsilon_{ijk}A_k

当说一个矢量 $A_j$ 是算符时, 它的意思是既有空间旋转的插口, 也有态空间的插口, 于是做旋转时, 旋转 $D$ 是指数映射如果去看小角度展开, 这个线性项就是对易括号!

既称一个算符是矢量时, 意思是
$R_{ij}D A_jD^{\dagger}=A_i$
当把这个式子做小角度展开时, 就是对易括号, 注意等号左侧采用主动变换, 即真的在转一个矢量

如果用空间矢量去封闭插口

\braket{\chi \mid\sigma_i \mid\psi} A_i

则这个东西不仅是复数, 还是三维旋转的不变量

这件事情其实在经典力学中也存在比如张量 $T_{ij}$ , 如果用矢量去封闭插口
$T_{ij}A_i B_j$
则这个组合是一个三维旋转的不变量当然, 这不是一个四维旋转的不变量在带两个旋量插口和一个空间插口时, 唯一可能是 Pauli 矩阵

你立即知道

\braket{\chi \mid\sigma_i \mid\psi}

这是一个三维旋转的矢量

但是 Pauli 矩阵不是 Lorentz 变换意义下的矢量不是所有三维协变矢量在四维的推广都是四维矢量

叉乘是三维的巧合真正的叉乘是
$\epsilon_{ijk}A_i B_j$
推广到四维
$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}A^{\rho}B^{\sigma}=C_{\mu\nu}$
这是一个二阶张量, 所以四维的推广应该是张量完整的电磁场是电磁张量, 完整的角动量是一个张量, 我们熟悉的角动量应该是非对角元部分

再回过来看 Pauli 矩阵, 可能 Pauli 矩阵应该是某个二阶张量?

事实上不是这样, 这样协变的东西居然是 Lorentz 四矢量
$\sigma^{\mu} = (1,\sigma_i)$
做 Lorentz 变换的方法就是对这个矢量做指数映射可以得到
$D\sigma^{\mu}D^{-1}L_{\mu\nu}=\sigma_{\nu}$

这个推广是不唯一的, 实际上还有一种推广
$\overline{\sigma}^{\mu}=(1,-\sigma_i)$

历史上 Dirac 想找一种相对论协变的 Schrodinger 方程我们知道一个自由粒子的 Schrodinger 方程是一个关于时间的一阶微分方程, 这不是 Lorentz 协变的我们应该去问用时间和空间导数构造出来的相对论不变量是什么, 一种是 box
$\Box =-\frac{\partial^2}{\partial t^2} +\nabla^2$
要得到一阶微分方程, 一种方式是去开根号
$\sqrt{\Box}\psi =m \psi$
Dirac 想了很久, 猜出来了怎么开根号, 结果是 $\gamma$ 矩阵
$\gamma^{\mu}=\begin{pmatrix}0&\sigma^\mu \\ \overline{\sigma}^{\mu} & 0\end{pmatrix}$
存在一种简单的反对易关系
$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=-2\eta^{\mu\nu}$
并且
$\Box = (\gamma^{\mu}\partial_{\mu})(\gamma^{\nu}\partial_\nu)$
正确的方程是
$i \gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi =m\psi$

但是 Dirac 的想法全是错的, 我们不应该去找 Schrodinger 方程的狭义相对论的推广, 因为一旦推广, 我们就需要面对多粒子态, Dirac 的方程是对的, 但是正确的解释应该是把 $\psi$ 解释成算符取 $m=0$ , 我们就得到了 0 质量粒子的方程

中微子振荡

K 介子振荡过于复杂了, 我们选择一个更简单且也能知道一些东西的例子

CPT 变换 P 变换: parity , 一种照镜子的变换 $z\to -z$ T 变换: time reversal $t\to -t$ C 变换: charge conjugation , 简单的解释是把电荷都换个负号, 但是不都是, 中微子做 C 变换是反中微子

最知名的是 CP 不守恒, 当时大家检查了一些粒子物理的实验结果认为 CT 是守恒的

对于狭义相对论的系统, CPT 一定是守恒的, 这是数学定理

所以认为是 P 不守恒, 但是人们从 K 介子振荡发现, T 也是不守恒的

中微子回到之前讲的四种相互作用: 不参与强相互作用的”基本”费米子 : 轻子 lepton

基本的意思是在标准模型中基本同样轻子也有三代

$e^-\quad \mu^- \quad \tau^-$
质量分别为 $0.5 MeV \quad 100 MeV \quad 1GeV$

认为为什么质量差这么多是一个几乎不可能回答的问题对应的中微子是

$\nu_e\quad \nu_{\mu}\quad \nu_{\tau}$
这是一些几乎不参与相互作用的粒子, 我们对他们知道的很少

现在只知道中微子的质量 $m_{\nu}$ 在标准模型中中微子的质量是 $0$ , 但是实验上已经知道中微子有质量, 所以存在超出标准模型的东西

主要解释的是中微子的质量是怎样被发现的

一些叫法: 当叫这三代中微子时, 称中微子有三种味道 flavor 称三种中微子为味道本征态

但是味道本征态不是质量本征态, 即具有确定味道的中微子没有确定的质量同样也可以定义三种质量本征态

$\nu_1\quad \nu_2\quad \nu_3$
我们知道有这三种质量, 并且已经测出质量差了

这里面有一个不好理解的事情: 我们把三种不同的粒子当成了同一个态空间的三种基础态平庸的回答是: 这件事是可以做到的

比如有一个粒子, 它的态空间就是单粒子态的态空间
$\mathcal{H}_1=\mathrm{Span}\{\ket{p_1,s_1}\}$

对于第二种粒子, 也有相似的粒子 $\mathcal{H}_2$ 要做的是把两个态空间做直和

$\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2 =\mathrm{Span}\{\ket{p_1,s_1},\ket{p_2,s_2}\}$
则不同种类的粒子在这个态空间中, 就是态空间中的不同分量注意: 我们没有说有几个粒子, 我们说的是有几种粒子! 我们也可以对这些态做线性组合

这件事在数学上是平庸的, 但是不平庸的是: 我们究竟把什么东西当作同一种粒子? Heisenberg 曾经使用过一种叫同位旋的东西, 把质子和中子看成同一种粒子的不同状态, 这样我们就能理解质子中子相互作用的一些事情, 比如 $\pi$ 介子, 我们就可以计算这些概率幅
$\braket{p,n\mid\pi^0\mid p,n}\quad \braket{n,p\mid \pi^+\mid p,n}$
这些概率幅有一个简单的代数关系: 把 $p,n$ 当作同一个态空间中的旋量, 那么 $\pi$ 就像一个 $\sigma$ 矩阵, 结果是这个代数关系完全由旋转来刻画(代数上) 但是实际上我们忽略了质子和中子的质量差, 所以这种刻画存在一个精度, 比如质量差是千分之一, 则刻画的精度不会好于千分之一现在我们来回答什么叫同一种粒子: 如果我们能通过某种连续的操作, 把一个粒子变成另一个, 那么我们认为它们是同一种粒子比如为什么左旋和右旋光子能看成是同一种粒子, 虽然晶体能做到, 但是在微观上: 你看见介质吸收了一个光子, 再发射一个光子 — 要把左旋光子变成右旋光子, 唯一能做的就是吸收一个光子发射一个光子之所以把它们看成同一种粒子, 实际上是他们的概率幅是相同的: 如果我们声称两种光子有不同的质量,你就能区别两种粒子, 但是我们不知道光子的质量, 我们对此都不知道当我们声称两种粒子是同一种粒子时, 我们总是在某种近似的意义下谈的当我们声称两种粒子是同一种粒子的不同状态时, 实际上蕴含了某种对称性, 比如电磁相互作用的镜像对称的

那么我们为什么把电子和质子看作同一种粒子, 实际上是在 $\pi$ 介子的相互作用中, 电磁相互作用很弱, 所以可以略去但在不参与强相互作用的情形, 这三种粒子由电磁相互作用主导, 把他们看作相同粒子是一个很差的近似而在中微子的情形, 它们的相互作用很弱, 所以看成同一种粒子是有道理的

前面质量本质态和味道本征态的变换矩阵叫 PMNS 矩阵简单地, 就考虑二态系统, 即两代粒子质量本质态的哈密顿 (我们关掉动量)

H= \begin{pmatrix}m_1 &0 \\ 0 &m_2\end{pmatrix}

参数化味道和质量本质态的变换

\begin{pmatrix}\nu_e \\ \nu_\mu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\nu_1 \\ \nu_2\end{pmatrix}

一件事情是太阳里面会发射中微子当时用探测器去记录太阳发射的中微子, 会发现电子中微子少了很多

我们怎么知道太阳发射了多少中微子, 一个办法是去看核反应的过程, 但是我们只知道太阳表明发生了什么但核反应发生在太阳内部, 我们要做的需要从表面外推到内部, 构造一个太阳模型所以当时的观测与计算不同, 认为是模型的问题, 故事是少了 1/3 , 2/3 这样的东西, 但是这在天文上很常见但是也有人认为: 如果中微子有质量的话, 就能解释这件事情我们现在知道当时的太阳模型符合得很好, 有问题的是标准模型 (

现在太阳 $x=0$ 作为中微子源, 发射出来中微子 $\nu_e$ , 经过一段时间到达地球 $x=x$ 我们知道太阳处的中微子处于味道本征态 $\ket{\psi(x=0)}=\ket{\nu_e}$ 但在地球处的中微子处于新的状态 $\ket{\psi(x=x)}$ 问题是这个状态是否还是原来的状态? 我们知道如果中微子的动量和能量确定, 当且仅当它在质量本质态 (质壳条件) 所以原先的味道本征态不是一个单色波, 它的动量和质量加入了别的质量本质态所以这应该是一个波包: 中微子发射的时候差不多有确定的位置, 也有差不多有确定的动量

这也是展示怎么用定态做含时演化的问题

比如中微子从太阳出发 $t_1$ 之后几乎以光速, 在时空图中几乎贴着光锥飞出来, 在 $t_2$ 到达地球这里使用定态, 实际上我们去画到达地球的中微子的能谱, 是一个复杂的分布, 这里假设在探测器里面看中微子时, 只看一个确定能量的中微子

所以这里定态的意思是我们只看具有确定能量的中微子

那么对于这些质量本征态, 动量为

p =\sqrt{E^2-m^2}

重要的事情是 $p_1\neq p_2$ 就可以写出中微子的概率幅作为时间和空间的函数

\ket{\nu_i(x)}=\mathrm{e}^{+ip_i x}\ket{\nu_i(0)}

而时间依赖是平庸的, 它们都有相同的能量

我们在 $t_1$ 时刻就能够回答时间依赖
$\braket{\nu_e\mid\psi(x=0)}=1$
我们就可以回答
$\braket{\nu_e\mid \psi(x)}$
是一个平庸的相因子

结果是我们只需要做空间平移, 因为对于定态时间平移是平庸的

即在 $x=0$ 处处于 $\ket{\nu_e}$ 的态 $\ket{\psi(x=0)}=\ket{\nu_e}$ 在任意 $x$ 处

\ket{\psi(x=0)}=\ket{\nu_e}=\cos\theta \ket{\nu_1}-\sin\theta\ket{\nu_2}

则

\ket{\psi(x)}=\cos\theta \mathrm{e}^{+ip_1 x}\ket{\nu_1}-\sin\theta \mathrm{e}^{+ip_2 x}\ket{\nu_2}

则在 $x=0$ 处给出仍在 $\ket{\nu_e}$ 态的幅

\braket{\nu_e\mid\psi(x)}=\cos^2\theta \mathrm{e}^{+ip_1x}+\sin^2\theta \mathrm{e}^{+ip_2 x}

则模方

P_{0\to x}(x) = 1-\sin^22\theta\sin^2\left[\frac{p_1-p_2}{2}x\right]

这个结果已经被实验检验了

我们马上可以去计算: 这个振荡的波长是多少
$p =E -\frac{m^2}{2E}$
而 $E\sim MeV$ 且 $m_1^2 -m_2^2 \sim(0.01 eV)^2$ 于是 $(p_1-p_2 )x \sim \frac{m_1^2 -m_2^2}{2E}x$
$\Delta x\simeq\frac{E}{\Delta m^2}\simeq 10^6\times10 ^4 \times 10^{-6}\sim \mathcal{O}(10\mathrm{km})$

Chapter 12 氢原子的超精细结构

上次写错了中微子的质量差 $m_1^2-m_2^2\simeq (0.01eV)^2$ 和 $m_2^3-m_3^2 \simeq$ 另外一个质量差会大几倍可以做思想实验: 如果想测中微子的质量该怎么办 hint: 看看中子衰变的能谱, pauli 是怎么发现中微子的

现在去看更多态的系统, 比如这是一个四态系统

氢原子能级

大家是熟悉的

E_ \sim -\frac{13.6 \mathrm{eV}}{n^2}\quad n=1,2,\cdots

这种能级称为 Bhor 能级, 且典型能级差 $\Delta E \sim eV \sim 10eV$ 实际上, 如果有分辨率更好的光谱仪, 可以看到能级有更精细的结构: 每一个激发态都有更细致的结构这就是精细结构 fine structure

通常的解释是自旋-轨道耦合, 但这个解释可能不太好, 更好的解释是: 精细结构是氢原子的第一阶狭义相对论修正即按 $(v/c)^2$ 展开的第一阶这也能解释为什么自旋 - 轨道耦合: 自旋和轨道不一定要耦合, 耦合是数学上的说法, 为什么要耦合是物理上的原因在这里自旋 - 轨道耦合就是因为存在磁场, 而为什么 $(v/c)^2$ 就是因为立即可以估算出精细结构的典型能量 $(v/c)^2 \sim 10^{-3}\sim 10^{-4} eV$ 如果你有更好的光谱仪, 就能看到更精细的结构: 超精细结构 hyperfine structure 超精细结构的来源来自于质子和核外电子的自旋 - 自旋耦合 $\sim 10^{-5} eV$ 则可以估计出超精细结构的典型光子波长 $\sim 10^5 \mu m\sim10 cm$ 这就是宇宙学上著名的 $21cm$ 线这个谱线是重要的, 大家知道过去 100 多亿年宇宙是黑的 dark ages , 只有中性原子, 如果你想去看这时候宇宙的结构, 就只能去看这种谱线, 因为这个时候不发光 dark ages 发生在 z 大于 10 的区域, 那你就知道至少需要多大的望远镜来看这些光子

现在认为要看这种光子最好的方法是在月球背面建一个射电望远镜阵列

氢原子的能级分裂还有一部分来源于 lamb shift $\sim 10^{-5}eV$ 来源于物质场的量子涨落

这是相对论性量子场论被检验的一个例子

Hyperfine Structure 电子质子自旋 - 自旋耦合

电子和质子都是自旋 1/2 的粒子, 所以耦合这两个粒子就是在耦合两个2维的态空间构造的方式是张量积

双粒子态空间: 张量积

刻画一个单粒子的方式是指定粒子的三动量 $p$ 和螺旋度 helicity $\sigma$ (粒子自旋在运动方向的投影)
$\ket{\vec{p},\sigma}$
双粒子是一样的, 无非是考虑两个粒子的三动量和螺旋度
$\ket{\vec{p}_1,\sigma_1;\vec{p}_2,\sigma_2}$
如果两个粒子是不同的粒子
$\ket{\vec{p}_1,\sigma_1;\vec{p}_2,\sigma_2} =\ket{\vec{p}_1,\sigma_1}\otimes \ket{\vec{p}_2,\sigma_2}$
注意: 张量积是不交换的

对于单粒子的态空间 $\mathcal{H}_1 =\mathrm{Span}\{\ket{\vec{p}_1,\sigma_1}\}$ , 对第二个粒子 $\mathcal{H}_2 =\mathrm{Span}\{\ket{\vec{p}_2,\sigma_2}\}$ , 则

\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2 =\mathrm{Span}\{\ket{\vec{p}_1,\sigma_1}\otimes \ket{\vec{p}_2,\sigma_2}\}

这里需要和上次讲的直和的区别直和的维数 $d_1+d_2$ 但张量积的维数为 $d_1\times d_2$

到此为止是一些抽象的定义, 为了使用它们, 应该知道怎么对他们做运算这里只提一些要点

内积: 张量积关于态加法分配, 只需考虑基础态的内积结果是逐分量内积
$(\bra{i_A}\otimes \bra{j_B})(\ket{k_A}\otimes \ket{l_B})=\braket{i_A\mid k_A}\braket{j_B\mid l_B}$
由于张量积是结合的, 这个结果推广到多粒子态是容易的

但是如果对全同粒子做张量积会稍微复杂一些, 比如电子 1和电子2 但是这个说法是糟糕的, 只能说有一个电子和另一个电子, 所以正确的做法是考虑这些所有情况, 并根据粒子统计添加上正负号
$\ket{p_1,\sigma_1;p_2,\sigma_2}=\frac{1}{2}\left(\ket{p_1,\sigma_1}\otimes\ket{p_2,\sigma_2}\pm\ket{p_2,\sigma_2}\otimes\ket{p_1,\sigma_1}\right)$
玻色为正号, 费米为负号

同样在张量积空间可以有算符, 同样是由各个子空间算符构造的

\mathcal{O}_A\otimes\mathcal{O}_B

我们也可以去看这个算符在张量积空间 $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ 的一组基础态下的”矩阵” , 比如基础态 $\ket{i_A}\otimes\ket{j_B}$

(\bra{i_A}\otimes \bra{j_B})(\mathcal{O}_A\otimes \mathcal{O}_B)(\ket{k_A}\otimes \ket{l_B})=\braket{i_A\mid\mathcal{O}_A\mid k_A}\braket{j_B\mid\mathcal{O}_B\mid l_B}

这个等式的右边是两个矩阵元相乘

(\mathcal{O}_A\otimes\mathcal{O}_B)_{ij,lk}={\mathcal{O}_A}_{ik}{\mathcal{O}_B}_{jl}

这其实就是张量

回到我们的问题

只去看自旋, 先忘掉粒子的动量, 我们关心的是电子和质子的态空间的张量积 $\mathcal{H}_e\otimes\mathcal{H}_p$ 我们需要猜一个 Hamiltonian

猜哈密顿有两种做法

第一种是就什么都不知道, 然后去猜, 用对称性去限制哈密顿量的形式, 这里有 16 个自由参数, 如果用够对称性, 后面会看到只有一个自由参数,所以这个问题是可解的

另一种做法是用物理的解释得到: 这种情况就是两个小磁针的磁场耦合, 所以就应该去写小磁针的磁场和小磁针的哈密顿, 最后得到哈密顿

这两种做法或许能够看出这些对称性的背后都有一些物理的起源

对称性分析

现在从最一般的情形, 去问哈密顿量长什么样子, 可以看到这个哈密顿量是从两个粒子的态空间找一个 Hermite 矩阵拼在一起在电子的态空间 $\mathcal{H}_e$ , 完整的厄米矩阵有四个 $\{1^e,\sigma_i^e\}$ , 质子也一样 $\{1^p ,\sigma_i^p\}$ 所以在完整的张量积空间 $\mathcal{H}_e\otimes \mathcal{H}_p$ 可以用这些 Hermite 算符去拼

\Sigma_{00} = 1^e \otimes 1^p\quad\Sigma_{0i} =1^{e}\otimes \sigma_i^p\quad \Sigma_{j0}=\sigma_j^e\otimes 1^p\quad\Sigma_{ij}=\sigma_i^e \otimes \sigma_i^p

可以看到 $\Sigma_{00}$ 是空间旋转的标量, $\Sigma_{0i}$ 是空间旋转的矢量, 同样 $\Sigma_{ij}$ 是空间旋转的张量

先做一点练习, 取基础态
$\ket{+^e +^p},\ket{+^e-^p},\ket{-^e+^p},\ket{-^e-^p}$
exercise: 把这 16个矩阵都写出来一个技巧是 “分块矩阵” 比如 $\sigma_x^e\sigma_x^p$ 对应的单元格直接乘
$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_x & \sigma_x \\ \sigma_x &\sigma_x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1& 0\end{pmatrix}$
为什么这么写详见讲义

完整的 Hamiltonian 是这 16 个 $\Sigma$ 的线性组合

这里排除了非线性组合的情形, 因为声称哈密顿量是 Hermite

这里需要验证其他情形: 比如内积是不是 Hermite 的
$H = \sum_{M,N=0}^{3}c_{MN}\Sigma_{MN}$

确定的方法是对称性: $H$ 是空间旋转的标量则

H = c_{00}\Sigma_{00} + c_{11}(\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+\Sigma_{33})

哈密顿量是标量这不是一个显然的事情: 我们没有说一个基本理论的事情实际上是说: 氢原子的基态波函数是旋转对称的, 如果你在更高的轨道上, 那你就不应该说氢原子的哈密顿是旋转不变的

再用规范对称性: 能量的零点平移, 取 $c_{00}= 0$ , 那么

H =A \vec{\sigma}^e\cdot\vec{\sigma}^p+\cancel{B}

这是物理学家的小把戏: 把张量积的记号藏起来了, 你知道这个东西是什么(

剩下的事情是熟练的, 取基础态 $\ket{i} \quad i=1,2,3,4$ 然后解 Schrodinger 方程

H\ket{\psi} =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi}

即解一个四态系统, 一个观察是 $\ket{1}$ 和 $\ket{4}$ 是定态 $E=A$ 而对角化也是简单的

C_{\pm} = C_2 \pm C_3

两个新的定态

\begin{cases}\ket{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{2}-\ket{3})\quad E =-3A\\ \ket{S}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{2}+\ket{3})\quad E=A\end{cases}

可以发现有一个状态能量是 $-3A$ , 而有三个简并的状态 $A$

这个能量更低的态叫单态 singlet 其他叫三重态 triplet

能级分裂的能量是 $(21cm)^{-1}$

现在可以回答: 电子和质子的自旋为什么要耦合

为什么要耦合

这不是一个显然的事情: 比如牛顿力学里面地球和太阳的自旋为什么不耦合

在电磁力的情形: 自旋 $\to$ 磁矩 $\vec{\mu}_p$ , 而这个磁矩就能产生一个磁场

\vec{B}_p(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{3\vec{r}(\vec{\mu}_p\cdot\vec{r})}{r^5}-\frac{\vec{\mu}_p}{r^3}\right]+\frac{2\mu_0}{3}\vec{\mu}_p\delta^{(3)}(\vec{r})

这个多的项是接触项, 而自旋 - 自旋耦合实际上就来自于接触项

实际的哈密顿

H = -\vec{\mu}_e\cdot\vec{B}_p=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[-\frac{3(\vec{\mu}_e\cdot\vec{r})(\vec{\mu}_p\cdot\vec{r})}{r^5}+\frac{\vec{\mu}_e\cdot\vec{\mu}_p}{r^3}\right]-\frac{2\mu_0}{3}\vec{\mu}_e\cdot\vec{\mu}_p\delta^{(3)}(\vec{r})

这和之前的哈密顿不同的是这还是位置的函数, 处理方式和之前一样, 不是按住电子, 而是让电子自由运动在四态系统中的哈密顿量应该是某种平均的哈密顿量, 即对氢原子的基态波函数做平均

\begin{align}H_{(4\times 4)} =\braket{H} &=\braket{\psi_0\mid H\mid \psi_0}\\&=\frac{\mu_0}{4\pi}\mu_i^e\mu_j^p\braket{\psi_0| \frac{\delta_{ij}-3r_ir_j}{r^5}|\psi_0}-\frac{2\mu_0}{3\pi}\vec{\mu}_e\cdot\vec{\mu}_o \braket{\psi_0\mid\delta^{(3)}(\vec{r})|\psi_0}\end{align}

所以球对称不是平凡的, 而是从这里得到的, 而在球对称的波函数下, 第一项为 0

正确的计算是取基, 比如位置本质态 $\braket{\vec{r}|\psi_0}=\psi_0(\vec{r})$ 可以注意到实际上积分的东西是 Legendre 函数, 正交性要求积分为 0

哈密顿为

H_{(4\times 4)}= -\frac{2\mu_0}{3\pi}\vec{\mu}_3\cdot\vec{\mu}_p |\psi_0(\vec{0})|^2

恰好波函数在 0 处是不为 0的, 所以这项是存在的, 并且我们还能知道哈密顿的符号如果你知道这些事情, 这些数都是可以计算的

可以看一看里面的符号: 前面声称: 单态的能量比三重态低, 假设 $A>0$ 现在可以从里面看见这件事情: 电子的磁旋比贡献了一个负号这是一个不显然的事情: 他在告诉你: 电子和质子磁矩平行的时候能量更低两个磁针放在一起的时候是反平行的时候能量更低, 这和你的经典直觉是相反的

因为你在用接触项算哈密顿, 你应该把一个磁针放在一个磁针里面, 在经典的直觉我们在用第一项而不是接触项

后面讲了一点 Zeeman 效应, 这是简单的, 就是在现在的情况再放入了一个磁场, 这和前面二态系统的故事是一样的

但是一个好玩的事情: 即使你关掉了所有磁场, 你也关不掉在电子参考系里面质子库伦场变出的磁场这就是精细结构的来源在质子参考系里面怎么解释这件事情: 实际上是电子会出现一个电偶极矩把这件事情还能推得更远: 如果牛顿引力被放入一个相对论协变的理论里, 则海王星的引力场会产生一个相对论修正, 则海王星和天王星的自旋就会相互耦合我们还能估计出这个效应的大小 $(v/c)^2$ , 比如在地球和太阳: km/s 上, 得到 $10^{-8}$ , 这个大小去和周期比, 你就知道在 $10^{8}$ 年的尺度上你就会看到地球的太阳之间自旋耦合的效应

week 9

交换力