Ayaya Notes

week 8

振荡外电场中的 NH3

继续上节课的氨分子

回顾一下上节课: 电场的时间依赖 ε⃗(t)\vec{\varepsilon}(t) 取上下的两个基态 ∣ϕ⟩=C+∣+⟩+C−∣−⟩\ket{\phi}=C_{+}\ket{+}+C_-\ket{-} 然后取缓慢的振荡解

C±(t)=γ±(t)e−iE±t/ℏC_{\pm}(t)=\gamma_{\pm}(t)e^{-iE_{\pm}t/\hbar}

得到

iℏγ˙±=με(t)e∓i2At/ℏγ∓i\hbar \dot{\gamma}_{\pm}=\mu\varepsilon(t) e^{\mp i 2At/\hbar}\gamma_{\mp}

如果不做近似, 得到的解也是有意思的, 是 .. 方程 这种叫 Floquet Analysis

现在只关心共振情形: 引入一种频率在 2A2A 附近的电磁波, 即共振条件

ω∼2A\omega \sim 2A

代入外场的形式, 得到新的方程

iℏγ˙±=με0[ei(ω∓ω0)t+e−i(ω±ω0)t]γ∓ω0=2A/ℏi\hbar \dot{\gamma}_{\pm}=\mu\varepsilon_0\left[e^{i(\omega\mp\omega_0)t}+e^{-i(\omega\pm\omega_0)t}\right]\gamma_{\mp} \quad \omega_0 =2A/\hbar

由于共振, 我们有

ω+ω0≫∣ω−ω0∣\omega+\omega_0 \gg |\omega-\omega_0|

现在的做法就是尺度分隔: 我们略去大量, 保留小量

这件事情可以做的原因是因为 任何物理测量都是带着精度的, 这个精度不仅指空间, 也指时间 我们总是在一个有限区间上测量物理量的变化 所以我们应该做的是在某个时间尺度上解方程

要做的就是在某个时间周期上取平均, 即

T=2πω+ω0T=\frac{2\pi}{\omega+\omega_0}

时间平均的意思就是对时间积分, 但是应该留下一种时间: 我们能测量到的时间

ω+ω02π∫tt+Tdt{e±i(ω+ω0)t1={01\frac{\omega+\omega_0}{2\pi}\int_{t}^{t+T}\mathrm{d}t\begin{cases}e^{\pm i(\omega+\omega_0)t}\\ 1\end{cases}=\begin{cases}0 \\ 1\end{cases}

对于频率更低的 ω−ω0\omega-\omega_0, 我们应该认为这是在周期内是一个缓变的量, 应该拿到积分号外: 即我们有权利把更快的项严格地去掉, 这不仅是数学严格地, 并且意味着你能做更高阶的近似 误差项是带着 ω+ω0\omega+\omega_0 的变化阶的项

剩下的解方程是无聊的, 直接跳过了

Chapter 10 其他双态系统

再回顾之前的内容: 封闭的双态系统的哈密顿的一般形式

H=(E1−A−AE2)H = \begin{pmatrix}E_1 & -A \\ -A & E_2\end{pmatrix}

而非对角元的相位可以通过坐标变换消掉, 本征态是好解的

我们总说 E1E_1 和 E2E_2 是双态系统的基础态的能量, 这是一个糟糕的术语: 这是当忽略掉 AA 时的能量

举个例子:比如考虑电子的哈密顿

H=1/2mev2+VCoulombH = 1/2 m_e v^2 + V_{\text{Coulomb}}

这个库伦场的来源: 因为电子有电磁场, 电磁场的能量

ϕ∼er→∣E∣2\phi \sim \frac{e}{r}\to|E|^2

实际上我们永远不能测到电子的质量: 测量电子质量的方法是推电子, 去测加速度, 但推动时也推动了电磁场, 这会对电子的质量产生贡献. 但我们并不用考虑这件事, 因为在非相对论情形这项很小, 被 c2c^2 压制

m=me+Vec2m =m_e +\frac{V_e}{c^2}

但在相对论情形, 不再能取 c→∞c\to \infty , 故不能忽略 这种量实际上叫做裸量 bare mass 实际上你知道裸量都是非物理的量, 你永远也无法测得它们, 它们是理论中构造的量

哈密顿的本征值是容易解得的

E±=12[E1+E2±(E1−E2)2+4A2]E_{\pm}=\frac{1}{2}\left[E_1+E_2\pm\sqrt{(E_1-E_2)^2+4A^2}\right]

当 ∣E1−E2∣≫A|E_1-E_2|\gg A 时

E+−E−=E1−E2+AE1−E2AE_{+}-E_- =E_1-E_2+\frac{A}{E_1-E_2}A

一个有用的观察是: 耦合会导致能级分裂, 使得一个能量更高, 一个能量更低, 这叫能级的排斥 这都是在回顾之前的内容

氢分子和氢离子

氢离子好玩的一点在于它是一个比较标准的三体系统, 处理这种系统是困难的, 所以需要近似

Feynman 在之前提到这种能级分裂对背景的反作用

这里引入了新的术语: 背景 在之前提到: 在哈密顿中需要区分两种量: 动力学变量(粒子) , 参数(按住) 比如说想研究一瓶水的运动: 水的体积元的运动是不能确定的, 是动力学变量, 而水瓶子的运动是人手来控制的, 是参数 这里参数就是背景 实际上动力学系统里面什么是动力学变量, 什么是参数是有歧义的, 你可以把人当成一个由 Schrodinger 方程控制的摩尔量级的系统的动力学变量, 但是这种考虑是糟糕的, 应该做近似, 即把人当作背景

所以在氢离子的三体系统中, 把两个质子的位置当作背景: 我们用手按住它 , 把电子的位置当作动力学变量, 让电子自由移动

我们可以考虑总能量与电子位置的函数, 你会发现这个能量有两个极小值点, 对应电子被困在某一个质子处

这个能量大概是 −13.6eV-13.6 eV

然后把第一个极小值点的位置叫质子 1 , 第二个叫质子 2, 考虑电子在这两个位置, 然后就得到了一个双态系统, 并且由于这个能量的高度是有限的, 存在隧穿, 故这两个状态的能量会分裂, 而真正的更低能量的基态是一个质子距离的函数

你会发现在基态将电子放置在某个位置, 突然电子就定在那里了, 即存在极小值点, 而势能曲线随位置的关系就是力 即: 隧穿产生了某种等效的力 我们现在就研究这种力

半定量分析: 某种 WKB 近似 我们总假设电子处在基态上 具有确定能量 EE 的自由电子的波函数

ψ(r)=1re+iϕ(E)r/ℏ\psi(r)=\frac{1}{r}e^{+i\phi(E)r/\hbar}

ϕ(E)\phi(E) 是某种非相对论色散关系

E=p22m→ϕ(E)E=\frac{p^2}{2m}\to\phi(E)

现在做糟糕的事情: 将自由电子得到的结果用在束缚态里 对于束缚态 E<0∣E∣≪meE < 0 \quad |E|\ll m_e 故如果还用电子非相对论性的色散关系

p=i2me∣E∣p=i\sqrt{2m_e|E|}

故电子从某个位置传播到 rr 远处的概率幅

ψ(r)∼1re−2me∣E∣r/ℏ\psi(r)\sim \frac{1}{r} e^{-\sqrt{2m_e|E|}r/\hbar}

现在系统有两部分能量: 一部分是库伦势, 一部分是交换势(电子的隧穿效应)

V(r)=VCoulomb+Vex(r)V(r)=V_{\text{Coulomb}}+V_{ex}(r)

而

Vex(r)∼A(r)∼ψ(r)V_{ex}(r)\sim A(r)\sim\psi(r)

交换势产生了某种束缚态, 即势能出现局部极小值, 对应的力

F∼−∇Vex∼−∇ψ(r)F \sim-\nabla V_{ex}\sim-\nabla\psi(r)

即交换产生了某种等效的吸引力

A∼ψA\sim \psi ? 这实际上是考虑两种在 Δt\Delta t 时间内的隧穿概率 直接计算隧穿概率或者做某种 WKB 近似:会得到 ∼∣ψ∣2Δt2\sim |\psi|^2\Delta {t}^2 而 计算双态系统得到的隧穿概率也是正比于 ∣A∣2Δt2|A|^2{\Delta t}^2 故从这个角度我们可以读出两者的关系 A∼ψA\sim \psi

上面的事情说: 如果这时候我们松手, 那么电子的交换效应会产生等效的吸引力

这可以理解: 为什么非对称的双原子离子不容易形成, 非对称的分子容易形成 比如你很难找到 CO+CO^+ CC 的原子实比 OO 更大, 如果现在在 COCO 中拿走一个电子, 剩下一个电子 这个电子在 C,OC,O 周围可以形成两个状态, 导致两个状态的能量不一样, 那么这就会压低电子的隧穿效应对能级分裂的贡献, 即压制了电子的交换效应的等效力的形成 但非对称的双原子分子容易形成, 原因是此时多了一个电子 因为多了一个电子, 实际上的基态也是两个相同能量的基态, 故仍然有交换的等效力

为什么全同粒子可以分出这么多态? 比如氢分子离子的两个质子, 但是此时质子的 de Brogile 波长很小, 所以由交换质子产生的幅被指数压低 即这种情况可以把费米子当经典粒子

实际上这种近似叫 波恩 - 奥本海默近似 即当我们想解一个电子质子系统的能级的时候, 我们会先用手按住质子, 去解电子的能级, 然后再松手, 看电子能级对质子 的反作用

核力 四种基本相互作用

核力 (汤川 yukawa force)

汤川认为核子之间的作用应该也是一种交换效应, 交换的粒子叫 π\pi 介子 π\pi 介子 带电的 π\pi 介子通过弱相互作用衰变, 不带电的通过电磁相互作用衰变: 衰变为两个光子

非相对论性的 P−NP-N 散射

Ep≃mpEn≃mnE_p \simeq m_p \quad E_n\simeq m_n

则发生散射的能量差差不多就是质子和中子的能量差

∣Ep−En∣≃∣mp−mn∣≪mπ|E_p-E_n|\simeq |m_p-m_n|\ll m_{\pi}

即在质子发射一个 π\pi 介子变成中子的时候, 这个过程能量应该是守恒的

Eπ∼∣Ep−En∣≪mπE_{\pi}\sim |E_p-E_n|\ll m_{\pi}

你可能觉得 π\pi 介子是一个非相对论性的介子, 但这不对, 这里必须使用相对论性的色散关系

pπ2+mπ2≪mπ  ⟹  pπ≃imπ\sqrt{p_{\pi}^2+m_{\pi}^2}\ll m_{\pi}\implies p_{\pi}\simeq im_{\pi}

外推到束缚态, 则可认为交换势有如下形式 , 即 Yukawa 势

V(r)∼1re−mπr/ℏ\boxed{V(r)\sim\frac{1}{r}e^{-m_{\pi}r/\hbar}}

但这本质上是在胡扯 这个散射过程是极短的, 那么你就不能认为这是能量守恒的, 因为你无法测量能量 并且由于时间极短, 实际上应该考虑多次粒子的交换, 对于束缚态系统, 更是无穷次粒子的交换! 在做物理的时候, 应该知道哪些问题是胡扯, 而且并不排斥胡扯

则 Yukawa 势有如下渐进

{r≪mπ−1V→0r≪mπ−1V∼1r\begin{cases}r\ll m_{\pi}^{-1} \quad V\to 0\\r\ll m_{\pi}^{-1} \quad V\sim\frac{1}{r}\end{cases}

这个结果可以估计光子质量的下限

交换力

重新讲之前的氢分子离子: 在看两个质子和一个电子形成的系统里, 把两个质子按住, 然后去看势能和电子位置的关系, 可以看到有两个势井(两个质子) , 在双态系统, 因为有一个非零的隧穿概率, 于是哈密顿有非 00 的非对角元

A∝ψ(r)∝1re−2mEr/ℏA\propto \psi(r)\propto \frac{1}{r}e^{-\sqrt{2mE}r/\hbar}

这里一个重要的地方是使用了电子非相对论性的色散关系, 才能这么写虚动量 由于存在非 0 的对角元, 于是存在能级分裂 E−A,E+AE-A,E+A 这里我们不关心一切相位和符号, 总之就是有一个高能级和低能级, 重要的是分裂后形成的基态能量比原先低 ∣A∣|A| , 并且我们假设电子坐在分裂的基态上

你可以假设电子在高能级, 但是这不会得到一个束缚态(包括还有库伦斥力), 唯一的做法是把电子放在基态上

此时去看能量作为电子距离的函数 E−A(r)E-A(r) , 可以看到这个能量和电子距离是成正相关的, 于是等效出一个引力

然后是核力, 同样可以看作一个三体系统: 质子, 中子和一个 π\pi 介子, 我们得到了一个交换势

V(r)∼1re−mπr/ℏ\boxed{V(r)\sim\frac{1}{r}e^{-m_{\pi}r/\hbar}}

这里和氢分子离子的区别在于: 在计算介子的虚动量时使用了相对论性的色散关系

Eπ=∣En−Ep∣=mπ2+pπ2E_{\pi}=|E_n-E_p|=\sqrt{m_\pi^2+p_{\pi}^2}

而

mπ∼O(100MeV)Eπ∼O(MeV)m_{\pi}\sim O(100MeV)\quad E_{\pi}\sim O(MeV)

上面两种情形类似, 但使用不同的色散关系: 同样是动量远小于静质能 在做氢分子离子的系统中, 电子数是守恒的, 当你在讨论电子的能量时, 必须选好能量的基准: 你不能把电子关掉, 你做的最好的方式是把电子拿到无穷远, 所以使用相对论性的色散关系时也应该减去电子的静质能 但在 π\pi 介子情形时, 粒子数是不守恒的, 所以有另一个零点基准: 没有介子 更简单地说: 在氢分子离子的系统里实际上是在估算电子的 deBrogile 波长 在核力的例子里, 实际上在估算介子的 Compton 波长 ∼1/m\sim 1/m 这两种波长的区别:

  1. deBrogile 波长: 如果小于这个长度, 量子的干涉效应变得重要
  2. Compton 波长: 如果在这个尺度: 粒子作为粒子的概念就已经坏掉了, 你需要注入 mm 这么多的能量, 但是注入的这么多能量已经能在真空中产生过多粒子了 (如果你去看电子的 compton 波长尺度的东西, 你不会只看到一个电子, 而是看到一堆正电子负电子) 你可以去问人的 Compton 波长: 非常小, 但是没有意义, 你如果加这么多的能量已经把人拆掉了, 所以人是复合粒子, 不是基本粒子 (这不是基本粒子的定义)

基本相互作用

某种 20 世纪的 “化学” 但是不一个一个介绍, 否则变成了集邮课, 只简要讲一些道理

电磁力: 介子: 光子 photon m=0,s=1m=0 , s= 1 比方说用电子之间的相互作用当成交换光子 γ\gamma 的过程散射 电子外面有非零的库仑场, 我们知道在某种意义上电子的库伦场是一团光子聚在一起

估算电子的库伦场有多少光子? 这是一个坏的问题: 这个情形光子数是没有定义好的 在用场写的时候, 你已经给每个点给定了场值, 你在场值的本征态上, 而问光子你应该去问光子数的本征态 而这两个算符是不对易的 所以这应该是各种粒子数的组合

之前我们只假设只有一个交换粒子 在这个问题中更奇异: 光子没有静质量, 你在真空中产生一个光子, 如果波长够长, 你几乎不用花任何能量 实际上在用这种散射过程解释的时候, 已经做了一种近似: 单粒子交换近似 (Born 近似) 这和 波恩 奥本海默近似没有任何关系

单粒子交换近似 如果去看一个特别的系统, 用巨大的能量加速两个电子让他们碰撞 在经典力学中, 电子通过库伦场相互作用, 那么电子的轨迹应该是双曲线: 即电子的相互作用应该是非常陡峭的函数, 在极短时间内相互作用然后远离 讲道理电子可以在任何位置上发射光子, 但这种情况的概率是指数小的, 而只考虑电子在极短的时间内交换一个光子 即单粒子交换近似的条件为 : 高能散射 粒子散射的能量远高于束缚态的能量 , 原则上不需要相对论性

重复我们之前关于核力的讨论, 得到电子的交换势 - 库伦势

V(r)∼1r\boxed{V(r)\sim\frac{1}{r}}

在质心系里, 库伦散射不改变初末态的能量 这解释不了电子和质子的相互作用( , 本身这个理论就是不严格的

相互作用的形式和交换的粒子联系在一起的: 如果粒子有质量, 则相互作用有指数的形式, 即有力程 长程力都是零质量的粒子 在 Compton 波长内近似于库伦相互作用

大自然为什么选择四种相互作用, 而没有第五种力 fifth force 我们完全不知道, 知道力程就知道了粒子的质量 力程是 mm 的量级, 则质量是 10−6eV10^{-6} eV

对于电子和正电子时, 由于它们是吸引的, 对慢速散射过程中, 它们在中间可以停相当长的时间

在这个角度也可以理解束缚态 质子和电子在中间交换各种光子 可以发现, 如果你考虑这些过程, 实际上你在解氢原子的 Schrodinger 方程 可以想象: 地球和太阳也是某种束缚态, 如果你假设它们在交换粒子, 你应该也可以解出它的 Kepler 轨道

强相互作用力 介子: 胶子 gluon m=0,s=1m=0,s=1

一个重要的是光子是不带电的, 如果光子带电, 他就会自相互作用, 线性叠加全部失效了, 我们也看不见彼此了 电磁波不能叠加了

强相互作用力正是这样的情形: 胶子是带电的, 用 QCD 描述 胶子是带色的 SU(3)SU(3) 有三种基本的”颜色” , 用三种夸克描述 每种夸克可以带 3 种颜色 胶子只有 8 种, 应该 SU(3)SU(3) 只有 8 个独立的项 在描述胶子时是糟糕的, 射出一个胶子就会糊着一大团胶子, 宏观(在核的尺度)上我们看不到任何带色的粒子 即 色紧闭 clor confinement 此时在强力的力程下, 势应该是谐振子型的, 而不是库伦型的, 即 ∝r2\propto r^2 这可以解释紧闭, 如果你要拉开一对夸克, 你就需要一直加能量, 当输入的能量已经超过了一对夸克的静质能的后果是: 在真空中可以产生一对新的夸克, 比如 π+\pi^+, 在宏观上看你看到了两个新的束缚态 π++π0\pi^+ +\pi^0 宏观上你看不到任何带色粒子: 试图拉开只会产生一对新的粒子对 偶数个夸克绑在一起的束缚态叫介子, 奇数个夸克绑在一起的束缚态叫重子

为什么能用交换力解释电子的相互作用 势在哪? 实际上对相对论的粒子来说势能是糟糕的 那隧穿在哪呢? 实际上隧穿是一种 WKB 的经典解, 允许某种虚动量 在光子的情形, 虽然没有势, 但也需要做某种解析延拓: 在质心系里固定某种粒子的能量动量 假设中间态粒子: 光子的发射吸收过程中能动量守恒, 则可以计算出光子的能动量, 而末态粒子的动量方向是任意的, 于是光子的能动量可以连续取值, 这常常不满足光子的色散关系, 但是你仍然可以延拓进行计算 这也是为什么解释电子的相互作用用交换力

幺正性如何影响约束, 为什么有 UU 不知道, 这是猜出来的 并且 SU(3)SU(3) 的 3 和强子三重态没有任何关系

比如在电磁学中的对称性是 U(1)U(1) , 弱相互作用的对称性生成在 SU(2)SU(2) 中 现在知道: 控制相互作用的规范对称性必须是紧群

另一方面: 如果你在非常短的距离: 比如强相互作用的大小, 用精细结构常数来刻画 αS\alpha_S 在 r→0r\to 0 时 αS→0\alpha_S\to 0 — 渐进自由

渐进自由是我们理解强相互作用的原因 如果强相互作用在任何尺度上都非常强, 那就不应该有粒子: 你在刻画粒子时实际上总是在假设弱相互作用, 否则它们就是糊在一起的 实验上确实观测到了 αS→0\alpha_S\to 0

色紧闭和不紧闭的区分尺度大概在 0.1GeV0.1 GeV 如果把粒子加速到 0.1GeV0.1GeV 以上, 强相互作用就变弱了 并且强相互作用没有宏观效果, 因为色紧闭, 你看到的只是残余的效果: 核力

核力相对于强相互作用, 就像范德华力相对于电磁相互作用

弱相互作用: 介子 W±∼80GeVW^{\pm}\sim 80GeV , Z0∼91GeVZ^0 \sim 91GeV , (s=1)(s=1) 这些粒子都很重, 所以可以用前面的单粒子交换近似 弱相互作用的力程 10−(2+9+6)m10^{-(2+9+6)} m , 非常短 用 SU(2)SU(2) 描述 神奇的情形是 WW 是带电的, 他可以和光子相互作用 WW 粒子可以发射一个光子 γ\gamma 实际上今天我们已经知道他和电磁相互作用是可以和在一起的 — 电弱相互作用 electro weak

为什么 WW 粒子和光子的质量差这么多 背后的原因大家是知道的: Higgs 机制 最开始是在凝聚态里发现的, 为什么自旋为 11 的荷力粒子为什么有质量, 大家见过这种粒子: 超导 背后的原因是超导体内光子是有质量的 — BCS 在 BCS 的超导体里, 电子和电子虽然有电磁相互作用, 但是也可以交换声子, 这种交换声子的效应是吸引的, 所以两个电子可以绑成一个束缚态, 这种带电量为 22 的玻色子在超导中形成了 BEC, 后果是光子有了质量 在以前的系统中, 所有的质量被我们当做了参数, 实际上是我们把质量解释成了某种动力学变量的期望值 在这种情况光子有了质量, 实际上是因为质量来自了另一种动力学变量的期望值 所以在弱相互作用中, 你应该期待真空中有 Cooper pairs 这样的粒子对 ⟨ϕ⟩\braket{\phi} 这样是对质量的理解: 所有粒子都没有质量, 真空中有各种 Cooper pairs 凝聚, 后果是使得所有粒子都带上了质量

引力: 万有引力和其他基本相互作用本质是不同的: 控制万有引力的强度的参数 GG 是带量纲的 介子: 引力子 gravion ? (我们并没有在实验上观测到) m=0,s=2m=0 ,s=2 但是我们观测到了引力波, 我们有很强的信念相信引力子是正确的描述

推销下学期的课: 用量子力学的方法计算广义相对论?

为什么 coulomb 力有斥力?

这是某种狭义相对论效应 当考虑两个电荷的相互作用的时候, 应该同时考虑电流和电流之间的相互作用 在狭义相对论中, 实际上需要考虑源 jμ=(ρ,j⃗)j^\mu =(\rho,\vec{j}) , 而光子是自旋 1 的粒子 交换的相互作用的 lagrangian 应该是一个标量 ΔL∼jμAμ\Delta \mathcal{L}\sim j_{\mu}A^{\mu} 光子的交换力应该是某种流的函数, 在这种意义上光子应该消失掉 应该去猜 流 - 流相互作用的 lagrangian

L∼j1μj2μ=−ρ1ρ2+j1⃗⋅j2⃗\mathcal{L}\sim j_{1\mu}j^{2\mu}=-\rho_1\rho_2 +\vec{j_1}\cdot\vec{j_2}

即狭义相对论的后果: 相对论的协变性要求 同号电荷相斥(吸) , 则同向电流相吸(斥) 解释同号电流是相吸的: 这需要解释光子是什么 光子 Aμ=(0,Ax,Ay,0)A_{\mu}=(0,A_x,A_y,0) (沿 zz 方向运动) 即物理的真实光子藏在空间分量中 而交换空间光子是吸引的, 即流和流之间的电磁相互作用是吸引的 ∼j⃗⋅A⃗\sim \vec{j}\cdot \vec{A}

为什么万有引力是吸引的?

引力 s=2s=2 引力子 (沿 zz 方向)

hμν=(00000∗∗00∗∗00000)h_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * &*&0\\0 &*&*&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}

刻画源的是能动量张量

Tμν=(ρpTpΠ)T_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{c|ccc} \rho & & \mathbf{p}^{T} & \\[2pt]\hline & & & \\ \mathbf{p} & & \boldsymbol{\Pi} & \\ & & & \end{array} \right)

故事的结果是: 同向的动量流密度之间的万有引力是吸引的, 同向动量密度之间的万有引力是排斥的, 同号的能量密度之间的万有引力是吸引的

关于上面的内容, 我不知道在说什么

Appendix

完成文中跳过的一些计算和补充一些内容 首先是方程的解:

iℏγ˙±=με0[ei(ω∓ω0)t+e−i(ω±ω0)t]γ∓ω0=2A/ℏi\hbar \dot{\gamma}_{\pm}=\mu\varepsilon_0\left[e^{i(\omega\mp\omega_0)t}+e^{-i(\omega\pm\omega_0)t}\right]\gamma_{\mp} \quad \omega_0 =2A/\hbar

在共振情形, 在尺度分隔的意义上, 对时间做平均得到(下面是共振情形的解)

iℏγ˙±=με0e±i(ω−ω0)tγ∓  ⟹  iℏ㱨=με0ei(ω−ω0)tγ∓˙=μ2ε02γ±/iℏi\hbar \dot{\gamma}_{\pm}=\mu\varepsilon_0 e^{\pm i(\omega-\omega_0)t}\gamma_{\mp}\implies i\hbar\ddot{\gamma_{\pm}}=\mu\varepsilon_0 e^{i(\omega-\omega_0)t}\dot{\gamma_{\mp}}=\mu^2\varepsilon_0^2 \gamma_{\pm}/i\hbar

即

㨱=−(με0ℏ)2γ±\ddot{\gamma}_{\pm}=-\left(\frac{\mu\varepsilon_0}{\hbar}\right)^2 \gamma_{\pm}

通解

γ+(t)=acos⁡(με0ℏt)+bsin⁡(με0ℏt)γ−(t)=ibcos⁡(με0ℏt)−iasin⁡(με0ℏt)\begin{align}&\gamma_{+}(t) =a \cos(\frac{\mu\varepsilon_0}{\hbar} t)+b\sin(\frac{\mu\varepsilon_0}{\hbar}t)\\ &\gamma_{-}(t)= ib\cos(\frac{\mu\varepsilon_0}{\hbar}t)-ia\sin(\frac{\mu\varepsilon_0}{\hbar}t) \end{align}