Ayaya Notes

week 10

Chapter 13 晶格中的传播

之前全同玻色子的张量积的系数

∣p1,p2⟩=12(∣p1⟩⊗∣p2⟩+∣p2⟩⊗∣p2⟩)\ket{p_1,p_2}=\frac{1}{2}(\ket{p_1}\otimes \ket{p_2}+\ket{p_2}\otimes\ket{p_2})

问前面的系数是 1/2 还是 1/21/\sqrt{2} 实际上这完全取决于怎么取归一化

⟨q1,q2∣p1,p2⟩=14(⟨q1∣p1⟩⟨q2∣p2⟩+⋯ )=12[δp1,q1δp2,q2+δp1,q2δq1,p2]\braket{q_1,q_2|p_1,p_2}=\frac{1}{4}(\braket{q_1|p_1}\braket{q_2| p_2}+\cdots)=\frac{1}{2}[\delta_{p_1,q_1}\delta_{p_2,q_2}+\delta_{p_1,q_2}\delta_{q_1,p_2}]

这可以定义为张量积的归一化条件, 这个系数其实不重要, 只要你的归一化条件保持一致即可 对 Fermion 也是相同的

现在考虑的是一个无穷自由度系统: 晶格里的电子态

晶格: 就是把原子编号, 从 1 到 NN , 这里取 N=1023N=10^{23} 现在要做的就是去看这个晶格里的一个自由电子

这实际上是氢分子离子的推广, 前者是一个两节点的晶格系统 重要的一点是: 晶格中的电子是很多的, 但是出于某种近似, 我们可以只看单粒子, 而不去看电子的相互作用 所以假设是: 电子可以出现在格点的每个位置, 并且这是一个唯一的状态

我们用 ∣n⟩\ket{n} 来标记这个状态

这个假设显然是错的, 因为电子在每个晶格处也有能级, 但是这里不同能级之间的隧穿是很小的, 所以这里我们实际上是去看的某个给定的能级

下一个假设是: 这些状态构成正交的完备集 即态空间为 H=Span{∣n⟩,n=1,2,⋯ ,N}\mathcal{H} =\mathrm{Span}\{\ket{n}\quad,\quad n=1,2,\cdots,N\} , 即这是一个有限维的问题 另一件事情是晶格之间的电子可以发生隧穿, 作为最简单的假设: 只有近邻格点间的电子可以隧穿, 并且隧穿幅为 −A-A 从而系统的 Hamiltonian 在上述基础态的表示

H=(⋱⋱⋱−AE0−A−AE0−A−AE0−A⋱⋱⋱)H = \begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & -A & E_0 & -A & & \\ & & -A & E_0 & -A & \\ & & & -A & E_0 & -A \\ & & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}

这样任何状态有基础态展开

∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩\ket{\psi}=\sum_nc_n\ket{n}

在这组基下也可以写出 Schrodinger 方程

iℏ∂∂tcn=E0cn−A(cn+1+cn−1)i\hbar \frac{\partial}{\partial t}c_n =E_0c_n -A(c_{n+1}+c_{n-1})

一个直觉是 cnc_n 应该有一个相同的相因子, 实际上是在做 Fourier 变换

cn(t)=e−iEt/ℏ×?c_n(t) =e^{-iEt/\hbar}\times ?

一个猜解是

cn=c(xn)xn=nbc_n = c(x_n) \quad x_n =nb

这里 bb 是格距, 则上面的哈密顿实际上是某种空间导数 所以猜解是 cnc_n 有某种平面波的形式

c(xn)=exp⁡[−iEt/ℏ+ikxn]c(x_n) =\exp[-iEt/\hbar+ikx_n]

代入方程

Ecn=E0cn−Acn×2cos⁡(kb)Ec_n =E_0 c_n-Ac_n\times 2\cos(kb)

即, 可以发现能量关于时间的依赖消失了

E=E0−2Acos⁡(kb)\boxed{E =E_0-2A\cos(kb)}

得到了一个有波数 kk 的东西, 这意味着找到了某种色散关系 叫这个波动解为

∣k⟩=∑exp⁡(−iEt/ℏ+ikxn)∣n⟩\ket{k} =\sum \exp(-iEt/\hbar+ik x_n) \ket{n}

这个结果实际上就是 Bloch wave 我们期待这种 wave 应该对应某种粒子

Remark 上面的平面波解并不直接对应电子, 而是电子集体运动的一种模式

  1. 这是一个离散的平面波, 并且可以看到这个状态中, 电子出现在任意一个格点的概率是相同的, 但是运动模式是在相位中的, 因为相位正比于 xx
  2. 由于 NN 有限, kk 的取值是离散的
  3. 相差 2nπ/b2n\pi /b 的两个 kk 是等价的 实际上独立的 kk 的取值是一个有限大的区间 k∈(−π/b,π/b]k\in (-\pi/b,\pi/b] — 第一布里渊区
  4. 色散关系 是一条余弦曲线
  5. 波粒二象性: Bloch wave 是一种准粒子

^bdf9b7

这要做的事情推广到高维是简单的, 对于立方晶格, 做傅立叶变换是简单的, 但是对于其他周期晶格, 做傅立叶变换就比较困难一点 (2.)

在这里做的和氢分子做的是一样: 将 NN 个状态耦合在一起之后, 得到能级分裂, 然后得到一个非常稠密的能量分布 它们都挤在 E0−2AE_0 -2A 到 E0+2AE_0+2A 的范围里, 这是一个能带的例子, 这个能带的宽度是极小的, 在能带里面状态分布很密集的时候, 可以看成连续的分布 这些故事就是导体半导体之类东西 (3./4.)

看这种准粒子的方法是去做长波极限 k→0k\to 0

E=E0−2A+A(kb)2=(E0−2A)+p2/2meffE = E_0 -2A+A(kb)^2=(E_0-2A)+p^2/2m_{\text{eff}}

得到一个非相对论性的色散关系, 有有效质量 meff=ℏ22Ab2m_{\text{eff}} =\frac{\hbar^2}{2Ab^2} 这实际上是把色散关系在底端展开 这种准粒子是电子在某种周期性势场中的集体效应 (集体不是多电子, 是单电子的多个状态干涉) 这个例子很直观: 玻璃为什么是透明的 光子在玻璃中不是自由的, 相互作用的结果是产生了一种准粒子, 这种准粒子和光子很像, 但是有一个有效质量 电子的例子和这个很像: 电子被束缚在晶格里面, 但是只要我们在晶格之间引入隧穿, 就可以找到一种解, 使得这种解看起来就像一个晶格中的自由电子一样

可以计算一下这个有效质量的大小, 作为直观认识

同样, 可以计算这种波动的群速度

vg=dEdk=2Absin⁡kbv_g =\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}=2Ab\sin kb

在 k→0k\to 0 的极限下, 群速度正比于 kk 和预想的一样 但是在非常大的 kk 下, 比如 k=π/bk=\pi/b 时, 有 vg=0v_g=0

这件事情可以简单地推广到三维晶格 仍然可以找到一个 bloch 波动解

∣k⟩=∣k1,k2,k3⟩=∑n1,n2,n3exp⁡(+ik⃗⋅x⃗n−iEt/ℏ)∣n1,n2,n3⟩\ket{k} =\ket{k_1,k_2,k_3}=\sum_{n_1,n_2,n_3}\exp(+i\vec{k}\cdot\vec{x}_n-iEt/\hbar)\ket{n_1,n_2,n_3}

得到三维的色散关系

E=E0−2∑i=13Aicos⁡(kibi)E=E_0-2\sum_{i=1}^{3}A_i\cos(k_ib_i)

这里的隧穿同样只考虑了相邻格子的隧穿

在这种情况下, 再取长波极限 k⃗→0⃗\vec{k}\to \vec{0} , 得到了某种色散关系, 但是不同的地方在于, 得到了一种方向依赖的质量

E=E0−∑i=13Ai(biki)2E = E_0 -\sum_{i=1}^3 A_i (b_ik_i)^2

所以一般情况下, 我们并不能把这个色散关系写成一个三维粒子的色散关系 p⃗2/2meff\vec{p}^2/2m_{\mathrm{eff}} , 因为这不是对角的 而是应该写成张量

E=(ℏ22meff)ijkikkE = (\frac{\hbar^2}{2m_{\text{eff}}})_{ij}k_ik_k

这件事并不神奇, 因为一般的晶格并没有空间旋转对称性, 但在特殊的情形:

A1b12=A2b22=A3b32A_1 b_1^2=A_2b_2^2=A_3b_3^2

我们就得到一个各向同性的色散关系

E=p⃗22meffE =\frac{\vec{p}^2}{2m_{\text{eff}}}

这种叫做宏观衍生 (emergent) 的旋转对称性 衍生的意思是: 这是一个在微观上本身没有对称性, 但在宏观, 低能的极限下 因为某种动力学的原因, 这种对称性又出现了 这和对称性自发破缺是反过来的

但是实际上: 前面提到的基本粒子, 相互作用的对称性, 是不是就是某种衍生的对称性, 所以基本粒子的定义是有歧义的 也许在更微观的模型中, 这些基本粒子实际上是一种准粒子 这也是对物理的考验: 能否通过多体的相互作用, 在更微观的尺度, 去解释现在基本粒子是不是某种准粒子 上面做的就是这件事情, 我们造出了一个有有效质量的粒子, 并且这种粒子的质量还可以是负的, 在长波极限下展开就可以 但是我们可以相信: 所有的物理的整体对称性都是衍生的 衍生意味着这些对称性是近似的: 在更高能更微观的理论里, 这些对称性是不存在的 一个例子是: 引力在高能时是需要量子化的, 这是时空的扰动, 既然包含了时空的扰动, 那这种理论就没有时空的平移对称性 另一种对称性叫规范对称性, 例如非引力中的能量平移不变性, 这些对称性是精确的, 因为它们是语言的冗余 这件事归根结底来自于物理是近似的

晶格缺陷

^2b1f33

意思是说仍然有前面的晶格系统, 但是有一个格点的能量被移动为了 E0+FE_0+F , 不妨取第 00 个 即哈密顿量几乎是规则的, 除了第 nn 个对角元变得不一样 假设缺陷并不改变相邻的隧穿幅 (这个假设一般是不对的, 但是不做的结果只是增加计算量)

H=(⋱⋱⋱−AE0−A−AE0+F−A−AE0−A⋱⋱⋱)H = \begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & -A & E_0 & -A & & \\ & & -A & E_0+F & -A & \\ & & & -A & E_0 & -A \\ & & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}

显然, 问题还是对角化这个哈密顿 作为物理课, 正确的做法是猜解: 只要捂住第 nn 个矩阵元, 其他解都是没问题的 而被捂住的地方会导致: 空间背景不再是均匀的, 对 bloch wave 来说可以想象在这里会发生反射, 透射 所以正确的做法是引入两个方向的 bloch wave

绝大多数的方程是相同的

iℏ∂∂tcn=E0cn−A(cn+1+cn−1)n≠0i\hbar \frac{\partial}{\partial t}c_n =E_0c_n -A(c_{n+1}+c_{n-1})\quad n\neq 0

在缺陷处

iℏ∂∂tcn=(E0+F)cn−A(cn+1+cn−1)n=0i\hbar \frac{\partial}{\partial t}c_n =(E_0+F)c_n -A(c_{n+1}+c_{n-1})\quad n= 0

所以引入的解为

cn={eikxn+βe−ikxnn<0γeikxnn>0c_n = \left\{ \begin{aligned} e^{ikx_n} + \beta e^{-ikx_n} \quad & n < 0\\ \gamma e^{ikx_n}\quad & n > 0 \end{aligned} \right.

这不是对称性自发破缺, 因为现在找的不是基态 你坐在教室的某个位置不是空间平移对称性的自发破缺

接下来的事情就是代入解, 则当 ∣n∣>1|n|>1 时 , 上面的解是自动满足方程的 只需要检查 n=−1,0,1n=-1,0,1

代入的过程留做练习 总之这三个方程可以确定三个未知量 β,γ,c0\beta,\gamma,c_0

并且色散关系是不变的 E=E0−2Acos⁡kbE= E_0-2A\cos kb , 就可以定出

{β=−FF−2iAsin⁡(kb)γ=−2iAsin⁡(kb)F−2iAsin⁡(kb)\begin{align} \begin{cases} \beta = \dfrac{-F}{F - 2 i A \sin(kb)}\\ \gamma = \dfrac{-2 i A \sin(kb)}{F - 2 i A \sin(kb)} \end{cases} \end{align}

束缚态

可以想象的事情是缺陷的位置可能会导致一个束缚态 F<0F<0 这时候实际上是得到了某种势阱 , 现在我们做的完全就是离散版本的求解势井 作为束缚态, 应该有 E<0E<0

这里能量为负的意思是相对于无穷远的电子能量 即这个能量应该小于任何自由传播解的能量

这里就会看到能量小于能带底端, 会导致虚波数 kk 做法是取 kk 为纯虚数 k=iκk =i\kappa 可以继续猜解

cn={ce+κxnn<0c′e−κxnn>0c_n =\begin{cases}c e^{+\kappa x_n}\quad n<0\\ c'e^{-\kappa x_n} \quad n>0\end{cases}

这里和前面不一样的地方来源于归一化要求不能有指数增加的成分 然后要做的事情仍然是代入方程 对 ∣n∣>1|n|>1 , 有

E=E0−2Acosh⁡κbE = E_0 -2A \cosh \kappa b

同样这里做的事情仍是一种解析延拓 我们得到了一种实的波数解, 然后我们让这个波数可以取复值

代入其他方程, 可以确定两个系数和 c0c_0 , 结果是

{c=c′=c0F=−2Asinh⁡κb\begin{cases}c=c'=c_0\\ F =-2A\sinh \kappa b\end{cases}

这里不一样的地方是: 波数是唯一确定的, 将这个波数代入色散关系, 得到束缚态的能量

E=E0−(2A)2+F2E =E_0 -\sqrt{(2A)^2+F^2}

这确实比能带的所有能量都低 即对应于稠密的能带下方的一个孤立的状态

不过实际上仔细想想也应该存在一个能带上方的状态 他也是哈密顿量的本征态

有意思的是得到了散射振幅可以改写为能量的函数

β=β(E)\beta=\beta(E)

如果要求 EE 可以取复值, 那么可以发现, 束缚态的能量来自于 β(E)\beta(E) 的极点, 自由传播态的能量对应于 β(E)\beta(E) 的割线 这是一个非常一般的结果: 但凡你看到一个极点, 他就是极点, 但凡看到一个割线, 他就是割线

上面这种从散射振幅的解析性得到一些物理结果的方法叫 bootstrap

对于一般的物理系统: 满足幺正性, 局域性, 因果性 满足这些条件的散射过程的散射振幅都是解析函数, 除了一些零测的奇点 而散射幅能出现的奇点只有两种:

  1. 单极点 1/z1/z
  2. 支点 z,log⁡z\sqrt{z} ,\log z 也即对应割线 在 β(E)\beta(E) 中可以直接寻找极点, 这会得到束缚态的能量, 同样也会有割线, 这会得到自由传播态的能量

背后的直觉是: 比如考虑质子对撞的散射实验, 我们可以发现一个新粒子 在物理实现中, 发现一个新粒子并不是说我们得到了一个粒子, 这种新粒子一般都很快衰变了, 我们看到的总是衰变的产物 当我们在发现某些新粒子时, 实际上是去问: 在给定反应能量 EE 的实验下, 产生衰变粒子的概率幅是多少, 即事件率 根据路径积分, 我们知道产生衰变粒子的幅由中间所有过程的幅贡献, 一般连续改变实验粒子的能动量时, 它不一定满足中间态粒子的质壳条件, 所以这种虚粒子会迅速衰变为产物粒子, 如果我们能调节实验粒子的能动量, 它恰好满足中间态粒子的质壳条件, 即一个在壳粒子. 在这种情况下, 在壳粒子会存在很长的时间, 路径积分中对时间积分会得到一个发散的结果(但不是真的发散, 因为中间态粒子还是会衰变) 于是在散射振幅的极点中的实部就是束缚态粒子的质量, 虚部是衰变率, 这和前面的 breit - wigner 近似很像 在物理中一个具有确定能量的粒子就像一个具有确定能量的束缚态 对于中间粒子是多粒子时, 会满足一堆在壳条件, 于是这就是割线, 实际上一般对带极点的函数积分都会积出一条割线

Chapter 15 自由粒子近似

^7800c7

实际上是在研究 Heisenberg 模型 这里不仅是考虑单粒子, 都是在每个格点放一个 Hilbert 空间 Hn\mathcal{H}_n , 一共有 NN 个

并且

Hn=Span{∣±z⟩}dim⁡Hn=2\mathcal{H}_{n}=\mathrm{Span}\{\ket{\pm z}\}\quad \dim \mathcal{H}_n =2

物理上可以认为是在每一个格点上放一个自由转的电子, 那就是自旋态放在格点上 即每个格点是一个二态空间

现在问整个系统处在什么样的空间, 可以发现就是氢原子的超精细结构的推广, 前者是两格点的情形

结果是张量积

H=⨂n=1NHndim⁡H=2N\mathcal{H} =\bigotimes_{n=1}^N \mathcal{H}_{n}\quad \dim\mathcal{H}=2^N

这个维数相当大, 可以想象这个系统与前面截然不同

但是技术是一致的, 首先选择张量积空间的基础态, 由各个子空间的张量积得到

∣s1,⋯ ,sn⋯ ,sN⟩=∣s1⟩⊗⋯⊗∣sn⟩⊗⋯⊗∣sN⟩\ket{s_1,\cdots,s_n\cdots,s_N}=\ket{s_1}\otimes\cdots\otimes\ket{s_n}\otimes\cdots\otimes\ket{s_N}

正交归一性为

⟨s1′,⋯ ,sn′,⋯ ,sN′∣s1,⋯ ,sn⋯ ,sN⟩=δs1′s1⋯δsN′sN\braket{s'_1,\cdots,s'_n,\cdots,s'_N|s_1,\cdots,s_n\cdots,s_N}=\delta_{s'_1s_1}\cdots \delta_{s'_Ns_N}

现在我们假设哈密顿量为

H=−A2∑n=1N−1σn⃗⋅σn+1⃗H = -\frac{A}{2}\sum_{n=1}^{N-1}\vec{\sigma_{n}}\cdot\vec{\sigma_{n+1}}

即假设只有近邻的磁针有相互作用

小心上面的结果! 这个自旋矩阵省略掉了许多张量积, 即 ⊗I\otimes I 这样的东西我们擦掉了, 因为 HH 是张量积空间的哈密顿 严格地写其实是

σ⃗n=11⊗⋯⊗σ⃗n⊗⋯⊗1N\vec{\sigma}_n = 1_1\otimes\cdots\otimes\vec{\sigma}_n\otimes\cdots\otimes 1_N

在哈密顿前面加一个负号, 意思是我们希望磁针在平行的时候能量更低, 这样在低温的时候应该存在自发磁化

上面的哈密顿是旋转对称的, 因为空间指标已经缩并完了, 这来源于相互作用的形式是旋转对称的

Heisenberg 模型可以推广到 dd 维, 这和我们去做 dd 维晶体是很像的, 要做的只是把 Hilbert 空间放在 dd 维格点上 然后在假设只有近邻格点会发生相互作用

和 Heisenberg 模型很像的是 Ising 模型, 区别是在每个格点上放置的不是 qubit , 而是一个 bit 剩下的事情是相同的 Ising 模型非常有用, 比如研究交通拥堵?

这种多体模型可以刻画相变, 但是结果是相变只发生在大于 11 维的结果, 背后的原因是这种相变其实对应对称性自发破缺, 而一维不存在这种自发破缺 如果我们能去解 3 维的 Ising 模型或者 Heisenberg 模型 (但是我们不会) , 我们就知道相变点附近的行为 但是存在一种 universality 相变点附近的行为是一致的, 即相变点附近的一些临界指数是相等的

比如水的相变, 存在一种连续相变点, 那我们就可以通过 Ising 模型计算这些临界指数去得到水的相变的性质 二维的 Ising 模型求解是理论物理的一个奇迹, 三维的我们已经不会解了 一种做法是去算振幅, 通过解析结构去猜三维的 Ising 模型, 这是计算共形场论的标准问题, 可以把三维 Ising 模型的临界指数算到好几个数量级, 另一种做法是去做实验, 比如测超流的临界指数, 但是在往下就发现了地球引力场的干扰 所以大家觉得应该把液氦放到空间站里测

去做一个 hand - waving

Dirac 自旋交换算符

实际上是前面的内容, 比如两个张量积空间 H1⊗H2\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 去计算

σ⃗1⋅σ⃗2=(10000−12002−100001)\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

而交换算符

S12∣i1,j2⟩=∣j2,i1⟩\mathcal{S}_{12} \ket{i_1,j_2}=\ket{j_2,i_1}

即

S12=(1000001001000001)\mathcal{S}_{12}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

推广到任意两个节点的结果是

σ⃗m⋅σ⃗n=2Smn−1\vec{\sigma}_m\cdot\vec{\sigma}_n=2 \mathcal{S}_{mn} -1

哈密顿量为

H=−A2∑n=1N−1(2Sn,n+1−1)H = -\frac{A}{2}\sum_{n=1}^{N-1}(2\mathcal{S}_{n,n+1}-1)

再做一次零点平移

H=−A∑n=1N−1(Sn,n+1−1)H = -A\sum_{n=1}^{N-1}(\mathcal{S}_{n,n+1}-1)

这个哈密顿量是很好用的

定态

实际上有 2N2^N 个, 现在取 N→∞N\to\infty 猜测: 全正和全负都是哈密顿的本征态, 即

∣+1+2⋯+N⟩∣−1−2−⋯−N⟩\ket{+_1+_2\cdots+_N}\quad \ket{-_1-_2-\cdots-_N}

并且本征值为 0 称全正态为真空态 ∣vac⟩\ket{\text{vac}}

现在去找别的态, 一个观察是: 哈密顿量只做两件事情, 要么什么都不做, 要么交换相邻态, 即哈密顿不会改变态中的正负号数量 现在考虑在真空态中做激发, 比如用手扳一下磁针, 得到

∣xn⟩=∣+1+2⋯−n⋯+N⟩\ket{x_n}=\ket{+_1+_2\cdots -_n\cdots+_N}

我们称这样的态为单粒子态, 但这不是哈密顿的本征态, 但是我们尝试作用一下 因为当交换算符的指标不在 nn 附近的时候, 给出 0 结果

H∣xn⟩=−A(∣xn+1⟩−∣xn⟩+∣xn−1⟩−∣xn⟩)=2A∣xn⟩−A(∣xn+1⟩+∣xn−1⟩)H \ket{x_n} =-A\left(\ket{x_{n+1}}-\ket{x_n}+\ket{x_{n-1}}-\ket{x_n}\right)=2A\ket{x_n}-A(\ket{x_{n+1}}+\ket{x_{n-1}})

Remark 可以定义某种单粒子态空间

H(1)=Span{∣xn⟩,n=1,⋯ ,N−1}\mathcal{H}^{(1)} =\mathrm{Span}\{\ket{x_n}\quad ,n=1,\cdots,N-1\}

并且 H(1)\mathcal{H}^{(1)} 是哈密顿的不变子空间 , 这导致于粒子数守恒

可以发现在这样的子空间下, 哈密顿的表示

H=(⋱⋱⋱−A2A−A−A2A−A−A2A−A⋱⋱⋱)H = \begin{pmatrix} \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & -A & 2A & -A & & \\ & & -A & 2A & -A & \\ & & & -A & 2A & -A \\ & & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}

即与前面的空间是同构的 并且我们知道此时哈密顿的定态解是 bloch wave

∣ψ(k)⟩=∑neinkb∣n⟩\ket{\psi(k)}=\sum_n e^{inkb}\ket{n}

具有色散关系

E=2A(1−cos⁡(kb))E = 2A(1-\cos(kb))

同样, 在长波极限下

E(k)≃Ab2k2E(k)\simeq Ab^2k^2

重要的观察是 k=0k=0 时, E(k=0)=0E(k=0)=0 这里能量的零点是有意义的, 我们已经规定真空态的能量为 0 即长波极限下单粒子态的能量和真空态的能量是一样的 即搬一次小磁针是需要能量的, 但是以这种特殊的方式扳一次磁针是不需要花费能量的 即这是一种无能隙的激发 gapless excitation 这是一个一般的结果: 在这里能得到无能隙激发其实源于系统发生了一次对称性自发破缺

对称性自发破缺: 一个系统有简并的真空态 在多体物理中有一个著名的定理: Goldstone 定理 若理论的整体, 连续对称性自发破缺, 会导致无能隙的激发, 这种无能隙激发的粒子叫 goldstone particle 前面可以看到哈密顿是空间旋转不变的, 但是前面定义的全正的真空态已经破缺了这种对称性 在我们的系统中其实有无数种真空态, 即系统发生了空间旋转对称性的自发破缺, 于是就出现了上面的 gapless mode

没有时间证明这个定理, 但是可以比划一下, 考虑一个 yy 轴的转动

Ry(α)∣vac⟩=Ry(α)∣+1⋯+N⟩z\mathcal{R}_{y}(\alpha)\ket{\mathrm{vac}}=\mathcal{R}_y(\alpha)\ket{+_1\cdots+_N}_z

这个东西是一个真空态, 因为空间旋转和哈密顿是对易的 在小角度转动下

⨂n(cos⁡α2∣+⟩−sin⁡α2∣−⟩)≃⨂n∣+⟩n−∑nα2∣xn⟩+O(α2)\bigotimes_{n}\left(\cos\frac{\alpha}{2}\ket{+}-\sin\frac{\alpha}{2}\ket{-}\right)\simeq\bigotimes_n \ket{+}_n-\sum_{n}\frac{\alpha}{2}\ket{x_n}+\mathcal{O}(\alpha^2)

即在小角度下

Ry(α)∣vac⟩−∣vac⟩∼∣ψ(k=0)⟩\mathcal{R}_y(\alpha)\ket{\text{vac}}-\ket{\text{vac}}\sim \ket{\psi(k=0)}

而这个态也是零能态

实际上这就是 goldstone 定理的证明方式

厄尔尼诺现象和拉尼诺现象之间的联系是可以建模求解的 实际上这来自于地球洋流的现象, 而这种现象可以用球面上的浅水波来建模洋流系统 如果去分析洋流的长波解, 可以发现 厄尔尼诺现象和拉尼诺现象是两个 goldstone mode 因为地球的自转破坏了旋转对称性 为什么有两个? atiyan 指标定理

顺带一提, 对于相对论性系统, 色散关系是唯一的

E=p2+m2E =\sqrt{p^2+m^2}

所以对于相对论性的系统, 无能隙就是零质量 所以相对论系统中, 对称性破缺的结果是期待零质量粒子, 比如对于核子来说, π\pi 介子就像一个零质量粒子 实际上是某种近似的手征对称性自发破缺 那光子这种真正零质量的粒子呢? 实际上可以解释为最近几十年推广的广义对称性的结果, 这样光子就是某种 goldstone 粒子 比喻一下: 比如电场线和磁场线是守恒的, 去问这种对称性是什么? 这需要推广为广义对称性来解释

为什么简并真空态对应对称性自发破缺? 在 goldstone 定理中更好的定义是: 真空态破坏了对称性 当我们在说对称性时, 是说它的变换的生产元和哈密顿是对易的 所以在真空态上作用这种对称性, 必然会得到新的态, 但是和哈密顿量对易导致这个新的态必然和真空态的能量 即导致了真空态的简并

前面的 O(α2)\mathcal{O}(\alpha^2) 里面包含了更多的多粒子态

电场线守恒是什么一回事: 实际上是流守恒

∂μJμ=0\partial_\mu J^{\mu} =0

我们知道在没有电荷的情形 Maxwell 方程为

∂μFμν=0∂μF~μν=0\begin{align}&\partial_{\mu} F^{\mu\nu}=0 \\& \partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0\end{align}

这里

F~μν=14ϵμνσρFσρ\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{4}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}F_{\sigma\rho}

实际上这就是某种电场线守恒方程