Ayaya Notes

week 7

α\alpha 衰变

这是量子隧穿的直接应用

238U→234Th+ατ∼45亿年^{238}U \to ^{234}Th +\alpha\quad \tau\sim 45\text{亿年} 应该对半衰期怎么这么大没有疑问了, 实际上再大的半衰期我们都能测( 实验上发现, 去看这些相同质量核素(相差两个单位带电量)发生 α\alpha 衰变出射的 α\alpha 粒子的能量, 与寿命的对数存在线性关系 比如 238U^{238}U 能量为 4.6MeV4.6\mathrm{MeV} , 228U^{228}U 能量为 7MeV7\mathrm{MeV} , 他们的能量相近, 但寿命相差好几个数量级

第二件事情是把 238U^{238}U 放进一个盒子里, 把相同速度 α\alpha 粒子打进衰变得到的 234Th^{234}Th 的盒子中 你会发现怎么打都打不进去, 即 这是一个不可逆的指数效应

每当你发现不可逆的指数效应时, 你都可以猜这里面有量子隧穿在起作用

Gamov : 这可以用量子隧穿来解释: 在很远的地方, 核力是不重要的, 由库仑势主导, 在离原子核很近的地方, 核力产生了一个很深的势井 这就是 口袋模型, 就像把粒子关在盒子里面一样 假设 α\alpha 粒子的能量为 EE , 在盒子里就像一个自由粒子一样, 于是在遇到势垒时, 概率幅会像指数一样漏出来

这件事是难以理解的, 原子核内极其混乱, 各种粒子混在一起, α\alpha 粒子怎么会像自由粒子一样? 现在有更好的模型来理解: 液滴模型 各种粒子混在一起像液滴一样颤抖, 会有不同的模式, 质子和中子可以结成对在液滴里面抖动, 如果动能大于 00 , 就有一个非零的概率出来 如果从这个角度出发, 计算势能曲线, 可以发现: 这个势能和前面的势差不多 简单的模型是重要的

于是可以用上次课的 WKB 近似来估算隧穿率

∣ψ(WKB)∣2∼e−2g/ℏ|\psi^{(WKB)}|^2\sim \mathrm{e}^{-2g/\hbar}

其中

g=∫r0r1dr2m(V(r)−E)g=\int_{r_0}^{r_1} \mathrm{d}r\sqrt{2m(V(r)-E)}

动能 EE 可以从实验中测的, 积分范围在经典禁戒区内

这个模型如果对的话, 核力应该在一个很小的范围内 可以想想在数量级下 r0r_0 是核的半径, r1r_1 是某个轨道半径, 于是 r0≪r1r_0\ll r_1

积分下限可以取 00 , 积分结果为

g∝1Eg\propto \frac{1}{\sqrt{E}}

值得注意, 这里所有的量都是确定的 Check: 请验证在这里取下限为 00 是合理的

即衰变率

Γ∝cE\Gamma \propto \frac{c}{\sqrt{E}}

这里 E\sqrt{E} 与两件事有关: 第一件事是积分内是根号, 第二件事是积分区域是库仑势 这告诉你: 在原子核外相互作用被库仑势主导 这也是很糟糕的结果: 这个结果和核力的具体形式无关 如果势能是其他曲线的话, 同样可以做这个计算估计

并没有去解方程, 我们也可以得到系统的某些特征

Chapter 8 Hamiltonian

不会去像书上一样重复无聊的数学, 在这里只对重要的东西评论一下:

态 / 态矢 (state / state vector) ∣ψ⟩∈H\mid \psi \rangle\in\mathcal{H} 这确实是矢量, 称他们的空间为 Hilbert 空间

这是从数学家那里借来的, 意思是某种完备的赋范线性空间 至于收敛性, 我们认为这不重要(

实际上态应该是一种等价类, 意思是

∣ψ⟩∼eiδ∣ψ⟩\mid \psi\rangle\sim\mathrm{e}^{i\delta}\mid \psi\rangle

如果将态归一化到 11 , 即

⟨ψ∣ψ⟩=1\langle \psi\mid \psi\rangle=1

即实际上态之间相差任意一个非 00 的复数, 我们都认为是同一个态 即态实际上是 Hilbert 空间中的射线

算符 (operator) : 线性变换 AA 实际上是对态的变换

其他都是线性代数, 唯一不同的是会用到无穷维线性空间中的结果, 比如

[x^,p^]=iℏ[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar

不对易并不神奇, 神奇的是这个对易子正比于单位

这在有限维线性空间不可能成立

剩下的内容是无聊的, 不讲了 继续推广一下之前量子电路的记号 说有一个态 ∣ψ⟩\mid \psi\rangle 可以看作一个带左侧插口的器件, 同样, 左矢就可以理解为一个带右插口的器件 算符 AA 就是带双边插口的器件 规则是: 去拼接这些器件, 任何一个封闭好的没有多余插口的器件都是一个复数 比如

⟨χ∣A∣ψ⟩\langle\chi \mid A\mid \psi\rangle

实际上这种写法是糟糕的, 如果 AA 不是线性变换, 这样写的时候其实暗含了结合律, 结果和你插的顺序没关系

比如时间反演在这里就是糟糕的

比如

A∣ψ⟩A\mid \psi\rangle

带左插口, 这是一个右矢

∣χ⟩⟨ψ∣\mid \chi\rangle \langle \psi\mid

带双侧插口, 是一个算符

这件事可以推广到张量 tensor

张量 tensor 实际上张量就是一个带很多插口的器件: 左边有 pp 个插口, 右边有 qq 个插口, 称这种张量为 (p,q)−(p,q)- 型张量 即一个 (p,q)−(p,q)- 型的张量 TT 就是线性变换

T ⁣:(∣ψ1⟩,⋯ ,∣ψ1⟩,⟨χ1∣,⋯ ,⟨χp∣)↦z∈CT\colon (\mid\psi_1\rangle,\cdots,\mid\psi_1\rangle,\langle \chi_1\mid,\cdots,\langle \chi_p\mid)\mapsto z\in\mathbb{C}

说人话一点是一个 pp 维对偶线性空间和 qq 维线性空间的积上的线性映射

这可以得到一个操作: 张量积 tensor product 可以把两个右矢放在一起组成一个 (2,0)(2,0) 型张量 你可以对此做很多解释: 把两个左矢映到复数的线性变换, 把一个左矢映到右矢的线性变换 …

张量积是重要的 把两个单粒子态的波函数加在一起

eip1x+eip2xe^{ip_1x}+e^{ip_2x}

即

∣p1⟩+∣p2⟩\mid p_1\rangle+\mid p_2 \rangle

这仍然是单粒子态! 如何构造多粒子态, 正确的做法是张量积

∣p1⟩⊗∣p2⟩,∣p1⟩∣p2⟩,∣p1,p2⟩\mid p_1\rangle \otimes\mid p_2\rangle,\mid p_1\rangle\mid p_2\rangle,\mid p_1 ,p_2\rangle

后面两种是偷懒写法

这可以用来描述量子纠缠:

∣ψ1⟩∈Span{∣+1⟩,∣−1⟩}∣ψ2⟩∈Span{∣+2⟩,∣−2⟩}\begin{align}\mid \psi_1\rangle \in\mathrm{Span}\{\mid +_1\rangle,\mid-_1\rangle\}\\ \mid \psi_2\rangle \in\mathrm{Span}\{\mid +_2\rangle,\mid-_2\rangle\}\end{align}

这样的张量积 ∣+1⟩∣−2⟩\mid +_1\rangle \mid -_2\rangle 称为可分的态 factoried state 但是存在这样的态, 你如何做线性变换都不能变成一个可分的态, 这样的态叫纠缠态 entangled state 比如

∣+1⟩∣−2⟩+∣−1⟩∣+2⟩\mid +_1\rangle \mid -_2\rangle +\mid -_1\rangle \mid +_2\rangle

重要的是 一个态是不是纠缠态取决于你怎么取态空间的基 张量积空间的基实际上很简单, 就是上面的积做张量积 在不同的基下, 纠缠态和可分态完全可以倒过来

Schrodinger 方程

核心的观察时间演化同样可以视为对态的操作

你知道一个态 ∣ψ(t1)⟩\mid \psi(t_1)\rangle 是一个动力学状态, 在经过一段时间之后会变成另一个态 ∣ψ(t2)⟩\mid \psi(t_2)\rangle 这样可以定义一个变换 (我们假设这是线性变换) — 时间演化算符

U(t2,t1)\mathcal{U}(t_2,t_1)

这个世界的代数可以不是线性代数, 但它偏偏就是线性代数 时间演化算符是不是线性的完全由实验确定

在一些情况我们可以写出时间演化算符, 比如存在经典极限的系统 实际上路径积分就是在算时间演化

如果是 Feynman 的话, 下一步就是真的去做路径积分. 在这里采用另一种方式: 将 路径积分 变成 微分方程 这件事在物理里很常见, 如果你不会算一个积分, 就试着将它变成微分方程 即先考虑小段时间间隔, 取

t2=t1+ΔtΔt极小t_2=t_1+\Delta t\quad \Delta t\text{极小}

则

∣ψ(t1+Δt)⟩=U(t1+Δt,t1)∣ψ(t1)⟩\mid \psi(t_1+\Delta t)\rangle =\mathcal{U}(t_1+\Delta t,t_1)\mid \psi(t_1)\rangle

于是你可以对这个算符做展开

U(t2,t1)≃U(t1,t1)−iℏH(t1)Δt=1−iℏH(t1)Δt\mathcal{U}(t_2,t_1)\simeq \mathcal{U}(t_1,t_1)-\frac{i}{\hbar}H(t_1)\Delta t=\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}H(t_1)\Delta t

实际上这就是哈密顿量的定义! 前面的符号来自于我们的选择: 需要它具有能量的量纲, 需要它和前面的自由粒子相容…

那么去掉时间的标记

iℏ∣ψ(t+Δt)⟩−∣ψ(t)⟩Δt=H(t)∣ψ(t)⟩i\hbar\frac{\mid\psi(t+\Delta t)\rangle-\mid \psi(t)\rangle}{\Delta t}=H(t)\mid \psi(t)\rangle

取极限得到

iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H(t)∣ψ(t)⟩i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\mid \psi(t)\rangle=H(t)\mid \psi(t)\rangle

这就是 Schrodinger 方程

上面的所做的全部就只是在定义哈密顿量: 你不知道时间演化算符你就不知道哈密顿量! 所做的全部都是形式上的东西 给一个系统, 如果你不给我哈密顿量, 那我什么也干不了, 也不能告诉你他在时间上的演化

Remark

  1. HH 是时间演化的生成元 generator
  2. ⟨ψ∣H∣ψ⟩\langle \psi\mid H\mid \psi\rangle 具有能量的含义
  3. 一般情形下 HH 是含时的, 显含时间的哈密顿量某种意义上是开放系统, 这导致能量不守恒

需要区别什么叫显含时间 HH 实际上有两种东西: 动力学变量 和 参数 比如谐振子的哈密顿量

H=p2(t)2m+12ω2x2(t)H=\frac{p^2(t)}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2(t)

动力学变量是 p,xp,x , 而参数 m,ωm,\omega 也可能含时 所谓显含时间是参数含时, 而不是动力学变量含时

再谈幺正性 unitarity — 时间演化的幺正性

之间讲过幺正性意味着概率守恒, 实际上是考虑动力学状态

⟨ψ(t2)∣ψ(t2)⟩=⟨ψ(t1)∣ψ(t1)⟩\langle \psi(t_2)\mid \psi(t_2)\rangle=\langle \psi(t_1)\mid \psi(t_1)\rangle

这个内积和你在什么时候做没有关系, 即

⟨ψ(t1)∣U†(t2,t1)U(t2,t1)∣ψ(t1)⟩=⟨ψ(t1)∣ψ(t1)⟩\langle \psi(t_1)\mid \mathcal{U}^\dagger(t_2,t_1)\mathcal{U}(t_2,t_1)\mid\psi(t_1)\rangle=\langle\psi(t_1)\mid \psi(t_1)\rangle

一种选择是

U†U=1\mathcal{U}^\dagger\mathcal{U}=\mathbf{1}

这就是幺正性的定义, 并且这可以立刻得到: 哈密顿量是 Hermite 的

你可以想象 Hermite 是某种实数的推广, Unitarity 是某种指数的推广

Lie 群和 Lie 代数

上面这种描述在相对论里面是糟糕的, 如果你考虑 ∣ψ(t1)⟩\mid \psi(t_1)\rangle 这样的东西的话, 一个 Lorentz 变换会把时间和空间扭在一起, 之前用等时面来定义态的说法就相当糟糕了

解 Schrodinger 方程

单态系统: ∣ψ(t)⟩\mid \psi(t)\rangle 哈密顿 HH 就是一个实数 考虑不含时的话

iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\mid \psi(t)\rangle=H\mid\psi(t)\rangle

将 HH 替换为 EE , 解为

∣ψ(t)⟩=e−iE/ℏ∣ψ(0)⟩\mid \psi(t)\rangle =\mathrm{e}^{-i E/\hbar}\mid\psi(0)\rangle

这就是定态, 现在我们用哈密顿量来定义能量了

双态系统: 一个具体的例子是氨分子 NH3NH_3 一个重要的观察是 NN 和 HH 不在同一个平面上, 可以想象 氨分子有两种构型: 氮原子既可以在上面也可以在下面 并且他们都是稳定的 : 在上面 ∣↑⟩\mid \uparrow\rangle , 在下面 ∣↓⟩\mid \downarrow\rangle

什么叫稳定的? 实际上就是势能极小: 按住 HH 去移动 NN , 你会发现有两个势能极小点

下面要做的事情是猜哈密顿量

这是粒子物理中常做的事, 最大化利用对称性确定哈密顿量 , 剩下的都当作实验测量参数

认为这两个态是完备正交归一的, 则哈密顿在这个态的表象下是一个 2×22\times 2 的矩阵 可以发现: 系统是对称的, 即对这两个态是对称, 故哈密顿的两个对角元是相同的 并且用量子隧穿的直觉: 哈密顿量的非对角元不为 00 ,存在某种隧穿现象, 用 AA 表示, 为隧穿幅 即这两个态都不是哈密顿的本征态

H=(E−A−AE)H=\begin{pmatrix} E &-A \\-A & E\end{pmatrix}

应该问为什么这里的矩阵元都是全实数的, 这里面应该有哈密顿的某种性质

同样, 对角元也不应该解释为上下两个态的能量: 他们不是哈密顿的本征态, 不应该有确定的能量

Chapter 9 氨微波激射器

简单介绍今天想讲什么: 这节课其实讲的就是激光的原型 MASER 上次课已经写出了氨分子在上态和下态表象下的哈密顿, 如果有一个非零的能量将两个态耦合在一起, 后果是这两个能级会发生分裂 MASER 干的就是利用这个能级差, 来制造一种工作来这两个能级差波段的激光器 但这里用的是电偶极矩, 氨分子有非零的电偶极矩, 如果将氨分子放在有梯度的电场里, 则和 Stern - Gelach 实验中相同, 氨分子会因为电偶极矩的取向不同而分裂 所以要做的就是设置一个有梯度的电场 ε\varepsilon , 把能量较高的氨分子束引入到盒子里, 然后再加一个含时的电场 ε(t)\varepsilon(t) , 让电场振荡, 可以想象这里会发生共振, 高能量的氨分子会把能量给电场, 合理地调节氨分子束的速度, 不断地加入氨分子, 就可以不断地给盒子里的电磁驻波加入能量 当然, 这只是理想条件, 总之有一个不为 00 的效率构造一个 MASER 但是今天的课与这个背景关系不大, 反而想借这个机会介绍一些观念和技术

  • 能级耦合   ⟹  \implies 能级分裂   ⟹  \implies Schrodinger 的猫(对称性自发破缺)
  • 尺度分隔 separation of scale   ⟹  \implies 量级估计 能做尺度分隔的近似是我们能做物理的终极原因: 你做一个小滑块的实验怎么能忽略滑块内复杂的电子运动? 可以想象这些运动都发生在很短的时间内. 另外, 对于那些我们不知道的量, 实际上可以将它们参数化为未知数由实验确定

从数量级估计讲起

自然单位制

c=ℏ=k=1c=\hbar=k=1

这些量都是很重要的量, 所以把他们都取为 1 , 相反 mm 是一个非常不自然的量, 其定义你会追溯到历史上一些奇怪的原因

自然单位制的后果是:

1s=108m1μm=(1eV)−11K=10−4eV1g=1023GeV\begin{align}1\mathrm{s} =10^8 \mathrm{m} \\ 1\mu m= (1eV)^{-1} \\1 K = 10^{-4}eV \\ 1g =10^{23}GeV\end{align}

并且不同的量纲塌在一起:

[E]=1[质量]=[温度]=1[长度]=[时间]=−1\begin{align} &[E]=1 \\ &[\text{质量}]=[\text{温度}]=1 \\ &[\text{长度}]=[\text{时间}] =-1 \end{align}

电磁相互作用的强度由电荷来控制, 一般用精细结构常数控制

e2∼α≃1137e^2\sim\alpha\simeq \frac{1}{137}

所以你开平方之后发现电荷也是一个小于 11 的量, 所以是一个弱的作用, 不同担心有强耦合之类的

牛顿引力:

GN≃(1019GeV)−2G_N\simeq (10^{19}GeV)^{-2}

即牛顿引力常数是一个带量纲的量: 某种意义上电磁相互作用和引力本质上是不同的相互作用 并且是一个比较弱的作用, 告诉你在氢原子束缚态的时候不用考虑引力的贡献

重新估计屋子里可见光的光子数: 即来自于日光灯的光子数 日光灯的功率, 时间 - 来自于屋子的尺寸除光速, 可见光的波长

100W×10mc×11eV=100×1019eV108m×10meV100W \times\frac{10 m}{c}\times \frac{1}{1eV}=\frac{100\times 10^{19}eV}{10^8 m}\times \frac{10 m}{eV}

估算宇宙中的所有光子 — CMB 估计: CMB 的温度是 2.7K2.7 K 于是知道数密度, 而宇宙的体积可以估计

T3R3∼(2.7K×10Gpc)3∼1084T^3R^3\sim (2.7K\times 10Gpc)^3\sim 10^{84}

尺度分隔

氨分子的红外光谱, 发现有两个明显的吸收峰 930cm−1960cm−1930cm^{-1}\quad960cm^{-1}

这个吸收峰是怎么来的? 实际上是这来源于氨分子的振动的第一激发态能级, 简单来说氨分子的势能像一个双势井 而在一个基态实际上就像一个谐振子态, 然后就有不同的能级 为什么是双峰? 实际上就来自于能级分裂: 第一激发态到基态的能级在 950cm−1950cm^{-1} 从第一激发态的能级向基态的两个能级跃迁时, 就有两个吸收峰 实际上这里暗含了第一激发态的裂距比基态的裂距更大, 而裂距由隧穿幅控制, 即哈密顿的非对角元 这是自洽的: 有更大的能量说明有更大的概率隧穿

之前双态系统的哈密顿

H=(E−A−AE)H=\begin{pmatrix} E &-A \\-A & E\end{pmatrix}

这里已经取了基础态: 我们总假设基础态时正交完备归一的 非对角元刻画了上态到下态的隧穿

札记中所说的 EE不为 00 实际上已经取了势能最低点作为能量零点

随便取一个状态, 展开到基础态上

∣ψ⟩=C↑∣↑⟩+C↓∣↓⟩\mid \psi\rangle =C_{\uparrow}\mid\uparrow\rangle +C_{\downarrow}\mid\downarrow\rangle

于是

iℏ(C↑⋅C↓⋅)=(E−A−AE)(C↑C↓)i\hbar\begin{pmatrix}\overset{\cdot}{C_{\uparrow} }\\ \overset{\cdot}{C_\downarrow{}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E & -A \\ -A & E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_{\uparrow}\\C_{\downarrow}\end{pmatrix}

正确的解法是对角化, 但是实际上你可以直接相加相减 你在解二元方程组的时候从来不会对角化(

C±=12(C↑±C↓)C_{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(C_{\uparrow}\pm C_{\downarrow})

在新的基下的哈密顿

(E−AE+A)\begin{pmatrix}E-A & \\ & E+A\end{pmatrix}

这是哈密顿的本征态, 直接解是容易的 可以验证, 新的基础态也是正交归一完备的

结果是出现两个能级, 一个能量更低, 一个能量更高 实际上就是化学键: 相同能量的轨道做一次线性组合, 能量更低的是成键, 能量更高的是反键

解 Schrodinger 方程可以告诉我们系统对时间的演化: 可以问: 在 t=0t=0 , 系统处于下态, 而在 tt 时刻, 系统处于上态的概率是多少 方便的做法是全部计算都在定态进行: 因为定态的时间演化全部来自于相因子

t=0∣ψ(0)⟩=∣↓⟩=12(∣+⟩−∣−⟩)t∣ψ(t)⟩=12(eiAt/ℏ∣+⟩−e−iAt/ℏ∣−⟩)×e−iEt/ℏ⟨↑∣ψ(t)⟩=12(eiAt/ℏ−eiAt/ℏ)×e−iEt/ℏ\begin{align}&t=0 \quad \mid \psi(0)\rangle =\mid \downarrow\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(\mid +\rangle -\mid -\rangle)\\&t\quad \mid \psi(t)\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(e^{iAt/\hbar}\mid +\rangle-e^{-iAt/\hbar}\mid -\rangle)\times e^{-iEt/\hbar}\\& \langle \uparrow\mid\psi(t)\rangle= \frac{1}{2}(e^{iAt/\hbar}-e^{iAt/\hbar})\times e^{-iEt/\hbar}\end{align}

即概率为

P↓→↑(t)=∣⟨↑∣ψ(t)⟩∣2=sin⁡2(Aℏt)P_{\downarrow \to\uparrow}(t)=|\langle \uparrow\mid\psi(t)\rangle |^2 =\sin^2(\frac{A}{\hbar}t)

现在逐渐增加问题的复杂性: 加一个静电场 ε⃗\vec{\varepsilon} , 则有能量 ΔE=−μ⃗⋅ε⃗\Delta E=-\vec{\mu}\cdot\vec{\varepsilon}

ΔH=(με−με)\Delta H =\begin{pmatrix}\mu\varepsilon & \\ & -\mu\varepsilon\end{pmatrix}

下面的问题是解完整的哈密顿量

H=(E+με−A−AE−με)H=\begin{pmatrix}E+\mu\varepsilon & -A \\ -A & E-\mu\varepsilon\end{pmatrix}

做法是相同的: 解法是用指数解设解

{C↑=ae−iλt/ℏC↓=be−iλt/ℏ\begin{cases}C_{\uparrow}=a e^{-i\lambda t/\hbar} \\C_{\downarrow}=be^{-i\lambda t/\hbar}\end{cases}

实际上就是在做 fourier 变换, 解出定态的能量

λ±=E±A2+μ2ε2\lambda_{\pm}=E \pm\sqrt{A^2+\mu^2\varepsilon^2}

可以做出两个能量的图像, 当外电场增加时, 能级的距离就越来越大

一个观察是: 当外电场越来越大时, 能级的耦合变得不重要 所以在这个意义上, 才能做出能级耦合图: 不用考虑基态和第一激发态能不能耦合 他们对角元的差值很大: 基态和第一激发态能级差为 960cm−1960cm^{-1} , 而基态或激发态的能级差为 1cm−1,30cm−11cm^{-1},30cm^{-1} 都相当小

这件事能解释 Schrodinger 的猫: 对双态系统: 总有概率从一个状态跑到另一个状态: 这件事情在经典上怎么不发生? 粉笔放在桌子上总是倒向一个方向, 问题是: 它总是倒向一个方向, 为什么不能倒向某些态的线性叠加态? 这里存在某种退相干 如果把上面的双态系统取一种宏观极限, 会发生两件事情

H=(E−A−AE)H=\begin{pmatrix} E &-A \\-A & E\end{pmatrix}
  1. AA 会趋于 00 : 隧穿概率是指数小的
  2. 宏观系统是一个开放系统, 总存在环境的干扰, 开放系统的意思是对角元存在一些涨落 ΔHi(t)\Delta H_i(t) 这个涨落使得我们来到对角元的差值远大于非对角元的区域 粉笔倒向哪个方向? 由这次实验涨落更大的方向决定

现在让电场含时, 比如在一个谐振腔中 ε⃗(t)=ε0(eiωt+e−iωt)\vec{\varepsilon}(t)=\varepsilon_0(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}) 做法也是解 Schrodinger 方程

  1. 取 ∣±⟩\mid \pm\rangle 基, 则此时外场的项会到非对角元
H=(E−Aμε(t)με(t)E+A)H=\begin{pmatrix}E-A & \mu\varepsilon(t) \\ \mu\varepsilon(t) & E +A\end{pmatrix}
  1. 如果同样设解
C±=γ±e−iE±t/ℏC_{\pm}=\gamma_{\pm}e^{-iE_{\pm}t/\hbar}
  1. 此时系数含时
iℏγ˙±=με(t)e∓i2At/ℏγ∓i\hbar \dot{\gamma}_{\pm}=\mu\varepsilon(t) e^{\mp i 2At/\hbar}\gamma_{\mp}
  1. 重要的事情是 γ±\gamma_{\pm} 对时间的依赖相对于指数因子 e−i2At/ℏe^{-i2At/\hbar} 是慢的
∣γ±˙γ±∣≪2A|\frac{\dot{\gamma_{\pm}}}{\gamma_{\pm}}|\ll2 A