Chapter 7 概率幅对时间的依赖
先简单复习上次课的自旋 1/2
自由粒子与定态
对于自由粒子, 给定他的能量与动量, 则它的状态已经确定了, 所以我们可以谈论这样的自由粒子: 具有确定的能量 和动量
这件事在量子力学中也是对的, 能量和动量没有不确定关系
而能量和动量的关系视具体理论确定, 例如在狭义相对论中
这个关系也叫质壳条件 (mass shell) , 在另一个描述中这个叫色散关系 (dispersion relation)
显然可以有不同的色散关系, 但是事实是 狭义相对论的色散关系是唯一满足 Lorentz 不变性的色散关系
在低速极限时
为什么在低速极限下领头项可以丢掉? 因为质量是守恒的, 这是一件不平凡的事情, 在非相对论极限下质量是守恒的, 可以任意更改能量零点 这是一个不平庸的观察: 当你在取某些极限时, 系统会涌现出某些对称性
现在就可以问: 具有 的粒子, 出现在某个给定的 的幅?
原则上解 Schrodinger 方程就能得到, 但是我们可以直接去猜 线索是波粒二象性
E=\hbar\omega\quad \vec{p}=\hbar\vec{k}
> >而有确定的 $(\omega,\vec{k})$ 的波就是平面波 平面波的幅:\psi(t,\vec{x})=C_p\cdot e^{(-iEt+i\vec{p}\cdot\vec{x})/\hbar}
>可以预想的是 $C$ 是一个不依赖于时间的量, 但是他可以依赖于动量, 并且应该只依赖于动量大小 >> 显然应该是转动不变的 >注意相因子里面的能量和动量项的符号是相反的, 这是为了获得狭义相对论的协变性 >remark: >1. $E_p=\sqrt{p^2+m^2}$ , 则 $E_p t-\vec{p}\cdot\vec{x}$ 是 Lorentz 不变量 (Check) >2. 这对非相对论情形也成立 $E=E(p)$ >3. $|\psi_{\vec{p}}(t,\vec{x})|^2 \simeq const$ 这是不确定原理的一种表现 >4. 在这种情况的不确定原理 $\Delta E\Delta t\geq \hbar$ , 但是这是特别的, 因为当你在谈时间演化时, 你就已经把时间单独挑了出来, 这天然破坏了狭义相对论的协变性, 所以构造一种狭义相对论的量子理论是困难的. 我们称上面这种为定态, 即你需要无穷长的时间, 而实验的时间总是有限的, 所以这只是一种理论的抽象. 即平面波也是一种理论的抽象, 实际上的粒子总是波包 > 5. 概率幅在 dirac 符号下的刻画 > > $$\langle\vec{x}\mid \vec{p}(t)\rangle=\psi_{\vec{p}}(t,\vec{x})$$ > 右边是指一个具有确定动量的态, 同样这破坏了狭义相对论的协变性 > > 6. 破坏狭义相对论并不是我们语言糟糕的问题, 实际上如果结合这两个理论. 实际上当你在考虑单粒子时就是不合法的, 考虑 $$E=mc^2\quad E=\hbar\omega$$ de Brogile 关系告诉你能量具有涨落, 如果涨落大于质量, 则会告诉你应该会有粒子数的涨落出现, 即结合这两种理论应该会有粒子数不守恒的情况发生, 所以天然无法谈论单粒子情形, 这本质上是一种多体系统 定态: 具有确定能量的状态 我们把上面这个表述当作推论, 用一种新的语言表述定态 stationary state , 显然定态是指不随时间演化的状态, 这并不是指不随时间演化, 而是指随时间演化最平庸的状态 >区分两种状态 >系统的动力学状态: 系统的时间演化由动力学控制, 任务是刻画系统的动力学随时间的演化 >而量子力学中的状态不是观测量, 当你写出一个态什么都没有发生, 你必须拿他做内积得到幅, 然后做模平方, 才能给出预言 重新定义定态: 是指出现在任何不含时状态的概率不依赖于时间 $|\langle j\mid \psi(t)\rangle|^2$ 现在假设系统是有限维的, 则可以取一组坐标基 $\mid j\rangle$ , 然后去问坐标 $C_j$ 是什么, 常数的是平庸的, 这里显然有一种不平庸的写法C_j(t)=\langle j\mid \psi(t)\rangle =C_je^{-if(t)}=C_je^{-iEt}=C_je^{-iE_j t}
后面的意思是你可以重定义时间, 把 $f(t)$ 变成线性函数, 因为你需要有一种方式去标度时间 >现实中不是已经有时间的定义了? >但是我们并没有将时间放进态空间中, 你应该先找出一个定态, 把它当作表, 然后用这个表去标度其他定态随时间的演化, 换句话说, 你也可以直接把自由粒子的相位当作表 而如果 $E$ 依赖于 $j$ 可以想象, 在另一个坐标系统中会出现干涉, 而干涉就会出现随时间变化的现象, 所以要求 $E_j$ 都相同, 即\vec{C}(t)=\vec{C}e^{-iEt}
现在我们将正比于时间的系数 $E$ **定义** 为能量 >为什么这个定义是正确的 >因为这和前面自由粒子的情况相容, 并且后面也可以在其他地方认识到这一点 >时间依赖来自于不同定态的干涉 能量的零点在不含引力的系统里是没有定义好的: 不含引力的系统具有能量的整体平移不变性, 即考虑 shiftE\to E+const
这对任何的可观测量是没有影响的: 任何可观测量与能量零点的选取无关 >计算的定态的干涉会发现时间依赖关于仅来自于能量的差 >把能量零点的任意性表述为了某种对称性, 但这是需要注意的 >在物理中需要区分两种对称性 >1. 物理的对称性: 这是一种真的对称性, 意思是你真的对系统做了某种变换, 这总是把某个态变成某个新的态 >2. 语言的冗余: 这是一种假的对称性, 为了刻画能量差, 不得不引入能量的零点. 即为了刻画系统而不得不引入的冗余的自由度, 这和系统的物理没有关系, 这来自于我们语言的“无能为力” . 这种对称性称为 规范不变性 gauge invariance >规范对称性也许是一个糟糕的说法, 比如能量零点的选取是规范变换, 但是什么也没改变 >例如在电磁系统中, 存在规范变换, 但是这并不会改变任何可观测量, 大部分的物理理论(比如刻画相互作用力的理论)中都存在规范变换, 这种理论叫做规范理论 例子: 1. 对狭义相对论的色散关系做非相对论的极限, 你去掉了质量项, 这就是你做了一个能量零点的平移 2. 在研究束缚态时, 比如说氢原子的束缚态 $$m_H-m_p-m_e=-13.6 \,\mathrm{eV}$$ 这个负号: 说明你已经取了某个能量零点, 例如 取质子和电子的距离为无穷远时为能量零点 取基态的能量 $E_g=0$ 这里面有个好玩的事情: 对于束缚态, 总质量总是小于组分粒子质量的和, 直觉是: 束缚态应该释放出能量 > 但这件事情不总是对的, 例如质子由两个上夸克和一个下夸克组成, 可以计算 > > $$ > m_p-2m_u-m_d > $$ > > 而 $m_p\sim 938 \,\mathrm{MeV}\sim 1\,\mathrm{GeV}$ > 夸克的质量不能直接测量, 但可以通过其他的物理量推测出质量 $m_d\sim m_u \sim 5\, \mathrm{MeV}$ > 得到了一个正的数, 质子怎么会是稳定的? > 对狭义相对论特别的色散关系 $E=\sqrt{p^2+m^2}$ 才有相位的 Lorentz 协变性 > > $$ > E=\sqrt{p^2+m^2}+E_0 > $$ > > 这显然不是相对论协变的 >狭义相对论协变性和能量零点平移不变性是冲突的吗? >色散关系给出了一个高维的双曲面 (mass shell) , 这显然不能平移 >问题是: 当你在改变能量的零点时, 你不是在改变一个粒子能量的零点, 而是在改变所有粒子的零点, 这就不改变可观测量 > $E_0$ 的正确解释是真空能, 即零粒子态的能量 >真空能是一种弥散在空间中的能量, 正确的刻画是真空能密度 $E_{vac}=\rho_{vac}V$ , 狭义相对论告诉你能量不单单是一个标量, 而是一个能动量张量, 则真空能是一个张量 $T^{\mu\nu}$ 的 $00$ 分量, 故应该服从 00 分量的 Lorentz 变换 >而狭义相对论中唯一的一个 Lorentz 不变的张量是度规张量 $\eta^{\mu\nu}$ , 这个张量的时间和空间的符号是相反的 > 即如果想找到一个随 Lorentz 变换下的张量, 唯一的可能是正比于度规张量, 即正确的真空能的能量动量张量 > > $$ > T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\rho_{vac}& & & \\& -\rho_{vac}& &\\ & & -\rho_{vac} \\ & & & -\rho_{vac}\end{pmatrix} > $$ > > 这也和理想流体的压强有关, 即空间项是压强 >结局是: 相对论不变性导致负压的真空能 >这导致排斥的万有引力 gravity >这件事与宇宙的命运有关, 我们观测到宇宙是在加速膨胀的 >如果你看见一个苹果在向上跑, 这一点也不奇怪, 关键是苹果的速度一定在减速 >所以目前对宇宙加速膨胀的解释是真空能 ## Breit - Wigner 近似 之前对定态的新定义是课上一拍脑门提出的, 关键在于 1. 取的坐标基是不依赖于时间的 2. 系统的动力学状态是可以随时间演变的 > 当定义定态的时候总是对动力学系统而言 > 将一个粉笔放在桌子上不动不是因为手按着它不动, 而是系统的动力学决定它不动 >上次课的问题: 为什么取系统的纯相位是一个正比于时间的量 >一个回答是重定义时间, 但是接着问: 如果有另外一个定态, 你就没有办法去定义其他定态的时间了 >实际上: 数学上可以证明: 如果一个系统的 hamiltonian 不含时, 当你扭好一个系统的时间, 其他定态系统的时间也自动扭好了 下面研究不那么平庸的例子: 比如可以衰变的系统: 比如中子 >中子的半衰期: 不太确定 >有两种独立的测半衰期的方法得到的结果不同, 量级在 8 - 10 min 衰变时, 盒子里的中子数为 $N(t)\simeq e^{-t/\tau}$ , $\tau$ 是寿命 , $\tau \sim O(10\text{min})$ 在粒子物理中也用衰变率 $\Gamma \coloneqq \frac{1}{\tau}$ > 质子会不会衰变? 目前还没有观测到 > 如果相信大统一理论, 则预言质子是会衰变的 > 估计如果质子的寿命不是无穷长, 则它的寿命应该是多少? > 不是 137亿年, 比这长得多, 比如你能活几十年, 那么在这几十年内你体内的质子肯定不会衰变掉 > 你的体重 $\sim 10 - 10^2 \text{kg}$ , 假设有 $10\text{kg}$ 的质子不会衰变 > 即质子寿命 $10^{4+23+2}\text{yr.}$ 这比 137 亿大得多 (如果质子寿命只有 137 亿年那你可能一会就死掉了) > 前面衰变的指数率是真空中的粒子, 但核内的粒子会更稳定 >如果给出更佳的估计? >最简单的做法是建一个大水罐子, 水里面全是质子, 隔绝外面的宇宙射线, 然后用探测器探测里面有没有质子衰变 >这就是 80 年代日本的神冈 实验室 >今天对质子的寿命下界估计在 $10^{33}-10^{34}$ 年左右 >这些探测器今天大部分变成了中微子探测器( 怎么描述这种衰变的系统? 一种方式是用一些不含时的基础态近似刻画它, 你知道它会衰变, 所以他不会停留在一个固定的态, 因为能量时间的不确定关系, 它应该没有一个确定的能量, 但你仍然可以用一个相因子去刻画它, 但得加一个因子(它不会一直留在这个态) 这就是 Breit - Wigner 近似, 即\langle j\mid \psi(t)\rangle\sim e^{-iE_0t/\hbar}\times e^{-\Gamma t/2}
可以问: 状态 $\psi$ 具有能量 $E$ 的成分? 这需要做一个 fourier 变换\tilde{\psi}(E)=C\int \mathrm{d}t,e^{+iEt/\hbar}e^{-iE_0t/\hbar-\Gamma t/2}
但是积分不是遍历 $\mathbb{R}$ , 因为这是一个衰变的系统, 当你制备了一个衰变的系统, 那么你总是在一个有限的时间内观察它, 积分不能到负无穷, 结果是\tilde{\psi}(E)=\frac{C}{i\frac{(E-E_0)}{\hbar}-\frac{\Gamma}{2}}
|\tilde{\psi}(E)|^2=\frac{|C|^2}{\frac{(E-E_0)^2}{\hbar^2}+\frac{\Gamma^2}{4}}
> 这实际上就是能谱, 这和光谱一样 > 光谱实际上就是光子分布在某个频率区域的概率 这个能谱就像一个宽度为 $\Gamma$ 的峰, 此即 Briet - Wigner 分布 >马上就能将其与自由粒子联系在一起: 当 $\Gamma\to 0$ 时, 得到了 $\delta$ 函数, 具有确定能量的粒子的能谱是 delta 函数 >但是能谱并不包含所有信息, 实际上有些信息已经丢掉了 >简单地讲这件事情: 考虑听到一个单频音, 则它的频谱是一个尖峰, 而听到一个三频音, 则频谱是三个尖峰 >问题是: 如果将这三个频率在时间上排序, 它的频谱还是相同, 即: 频谱在时间上的信息被抹掉了 >即你看到一个频谱你不能判断这是和弦还是分解和弦 >这不是 fourier 变换的问题, fourier 变换不丢失信息, 问题在于: 当你取模平方时, 抹掉了相位信息, 这就抹掉了时间上的信息 >什么样的状态叫一个粒子? 就像: 什么样的声音叫做音乐 >在粒子物理中定义一个粒子需要满足 $m\gg \Gamma$ (已经取了一些无关的常数为 1) >有没有衰变非常快的状态? >实际上这是一个波函数为过阻尼的现象, 这叫做共振态 确定归一化常数 $C$ :\int_0^{+\infty}\mathrm{d}E|\tilde{\psi}(E)|^2=1\implies |C|^2 =\frac{\Gamma}{2\pi\hbar}
一般的实积分的方法是三角换元 >但是有一种更好玩的方法是留数定理 residue theorem > 取上半平面的围道, 被积函数在围道内有一个一阶极点 > > $$ > E_0 +i\frac{\Gamma \hbar}{2} > $$ > > 即系统的在复平面上的极点信息包含了物理含义 ## 自由粒子态的空间依赖 在做之前需要一些简单的知识, 这其实是前面的总结 位置基础态: $\mid \vec{x}\rangle$ 即具有确定位置的一个状态 正交归一条件:\langle \vec{y}\mid \vec{x}\rangle =\delta^3(\vec{y}-\vec{x})
\int\mathrm{d}^3\vec{x}\mid \vec{x}\rangle\langle\vec{x}\mid =\mathbf{1}
> $\mathbf{1}$ 指一个连续维线性空间的恒同 同样有动量基础态: $\mid \vec{p}\rangle$ 即具有确定动量的一个状态 正交归一条件:\langle \vec{q}\mid \vec{p}\rangle =\delta^3(\vec{q}-\vec{p})
\int\mathrm{d}^3\vec{p}\mid \vec{p}\rangle\langle\vec{p}\mid =\mathbf{1}
\psi_\vec{p}(\vec{x})=\langle \vec{x}\mid \vec{p}(t)\rangle=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{-i(Et-\vec{p}\cdot\vec{x})/\hbar}
> 如果你想去描述具有确定动量的粒子的概率, 则这是很糟糕的, 它处在全空间的任何概率都是 $1$ > 正确的做法是取波包(可以取不同的坐标) > > $$ > \psi \sim e^{-i(E_1t-\vec{p}_1\cdot\vec{x})/\hbar}+e^{-i(E_2t-\vec{p}_2\cdot\vec{x})/\hbar}=e^{-i((E_1+E_2)t-(\vec{p}_1+\vec{p}_2)\cdot \vec{x})}\times 2\cos[\frac{\Delta Et-\Delta\vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}] > $$ > > 粒子在空间中可察觉的效应应该来源于波包, 所谓波包的速度即为群速度 > 即真正对应粒子运动速度的是群速度 > > $$ > v_g > $$ > > 一种理解是相位效应都被模平方抹掉了, 有物理意义的是干涉项 > 第二种理解来源于能量平移不变性, 即干涉项 ## 势场中的粒子 一种方式是把带电粒子放进一个通电的盒子里, 让粒子获得电势能 $V_0$ 问题是这时候粒子的概率幅该怎么写 , 推广是无聊的\psi(t,\vec{x})=e^{-i(E_\vec{p}+V_0)t/\hbar}\times e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}
对非相对论性粒子 $E_\vec{p}=\frac{p^2}{2m}$ > 这个例子是有bug 的, 因为盒子壁会反射粒子, 而平面波是不会反射的 > 正确的做法是加循环边界条件, 或者讨论驻波 接着如果考虑将两个不同电势的盒子接起来, 比如两个区域 在区域 $1$ 的幅\psi_1\sim C_1 e^{-\frac{i}{\hbar}(\frac{p_1^2}{2m}+V_1)t}\times e^{i\vec{p}\cdot \vec{x}}
>需要注意这里的 $p_1$ 并不是粒子的动量! >因为两个区域的 $p_i$ 是不一样的, 所以这是一个随位置而变的动量, 这是在确定动量态是不允许的 >动量应该是在全空间确定的量 >正确的说法只能说在区域 1 的动量近似为 $p_1$ 如果假设系统在定态, 即系统具有确定的能量, 则有 “能量守恒”\frac{p_1^2}{2m}+V_1 =\frac{p_2^2}{2m}+V_2
>实际上这能做的更好: 因为我们考虑的是右行波, 应该有粒子流守恒 > > $$ > \frac{p_1}{m}|\psi_1|^2 =\frac{p_2}{m}|\psi_2|^2 > $$ > > 即 > > $$ > \frac{|C_1|^2}{|C_2|^2}=\frac{p_2}{p_1} > $$ > ## WKB 近似 将上面的问题更一般化: 即将势能曲线变成一个任意的曲线 $V(x)$ , 问它的概率幅怎么写 一种近似方法即为 WKB 近似, 这是一种半经典近似 想法是上面的推广: 将势能曲线切块, 把空间切成很多小盒子, 让盒子里面的势能都近似为常数 这就要求粒子的 “动量” (这是一个经典力学的动量, 不是量子意义上的)\frac{p(x)^2}{2m}\gg V(x)
> 即这个“动量” 来自于经典关系 > > $$ > p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))} > $$ > 并且 $V'(x)$ 应该足够小, 势能变化不太剧烈 有两种可能的解:\psi_{\pm}^{WKB}=\frac{C_{\pm}}{\sqrt{p(x)}}\exp\left[\pm\frac{i}{\hbar}\int^xp(x’)\mathrm{d}x’\right]\times e^{-iEt/\hbar}
这其实是在模仿上面的写法 > 为什么相因子里面是积分? > 这其实是量子力学的基本原理: 粒子每走一段就会积累一个相位, 然后把这些相位加在一起 >可以看到 WKB 解里面只有右行波和左行波, 这意味着所有的反射成分都被近似掉了 >实际上只要势能有变化就应该有反射现象 ## 量子隧穿 道理是简单的, 在经典情形, 如果有一个很高的势垒, 则粒子是不能过去的 即粒子有一个经典禁戒区: $E<V(x)$ 现在用 WKB 近似做这件事情: 方法是解析延拓, 在经典禁戒区动量是虚值 定义一种虚动量\kappa=\sqrt{2m(V(x)-E)}
\psi_{\pm}^{WKB}=\frac{C_{\pm}}{\sqrt{\kappa(x)}}\exp\left[\pm\frac{1}{\hbar}\int^x\kappa(x’)\mathrm{d}x’\right]\times e^{-iEt/\hbar}
即出现一个实指数 >解 Schrodinger 方程的定态解并不是在做近似, 实际上是在做分离变量 >难回答的问题是物理上为什么有解析性? >现在也无法回答 >可以目前给一个技术上的回答: Schrodinger 方程是一个二阶 PDE , 并且 PDE 的参数都是实数, 这个 PDE 的性质极好, 以至于你取 复数也可以 >至于这为什么是对的, 来源于实验检验 >上面的解显然 $V(x)=E$ 的区域解爆炸了 >这表明在远离这些区域 WKB 解是有效的, 而在这些结点需要用别的方法 >比如结点处的势像一个线性势, 你可以去解一个线性势的 Schrodinger 方程去连接这两个区域 >什么是半经典近似? >WKB 的解是路径积分的驻点, 即量子隧穿解应该在经典力学里也是存在的 >只是现在引入了虚动量, 这是经典力学中被认为是非物理的解 >这个解在量子力学中重新获得了物理意义 >所以这种半经典近似几乎就是一种经典情形 ## Appendix 这里进行上面忽略的计算 首先是归一化 Breit - Wigner 近似的谱函数|\psi(E)|^2 =\frac{|C|^2}{\frac{(E-E_0)^2}{\hbar^2}+\frac{\Gamma^2}{4}}=f(E)
在上半平面积分, 大圆弧引理表明大圆弧的积分值为 $0$ , 且上面平面有一阶极点 $E_0 +i\frac{\Gamma\hbar}{2}$ 即\oint\mathrm{d}E|\psi(E)|^2=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}E|\psi(E)|^2 =2\pi i\mathrm{Res}_{\text{上半平面}}(|\psi(E)|^2)
f(E)=\frac{|C|^2}{\left( \frac{E-E_0}{\hbar}+i\frac{\Gamma}{2} \right)\left( \frac{E-E_0}{\hbar}-i\frac{\Gamma}{2} \right)}\implies \mathrm{Res}(f(E))=\frac{|C|^2}{i\Gamma}\hbar
\int f(E)\mathrm{d}E=2\pi i\frac{|C|^2}{i\Gamma}\hbar=1\implies |C|^2 =\frac{\Gamma}{2\pi\hbar}
下面正确归一化自由粒子的波函数: 对于确定能量 $E$ 动量 $p$ 的粒子, 即在动量本征态 $\mid p(t)\rangle$, 波函数为\langle x\mid p(t)\rangle =C_p e^{-i(Et-px)/\hbar}
\langle q\mid p\rangle =\delta^3(q-p)
\langle q\mid \int\mathrm{d}^3x \mid x\rangle \langle x\mid p\rangle=\int\mathrm{d}^3x \langle q\mid x\rangle \langle x\mid q\rangle=\int \mathrm{d}^3 xC_q^*C_p e^{i(p-q)x/\hbar}=|C_p|^2(2\pi\hbar)^3\delta^3(q-p)
|C_p|^2= \frac{1}{(2\pi\hbar)^3}
>你可能想问相位的能量在哪里, 请区别 $\mid p\rangle$ 和 $\mid p(t)\rangle$ >显然后者并不是一个基础态, 我们总认为基底是不含时的 >你应该知道实际上这相差一个时间演化 即自由粒子的波函数为\boxed{\psi_p(x,t)=\langle x\mid p(t)\rangle=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{-i(Et-px)/\hbar}}