Ayaya Notes

week 2

Chapter 3 概率幅

补充之前量子力学中的哲学 简单地说, 不管做什么样的物理理论, 都需要分清两种概念 — 理论概念与观测量

什么东西是可观测的, 即可以从实验室中测得的. 而物理要做的是解释观测量, 即在观测量之间建立某种联系 客观世界对我们来说是一个黑箱子, 我们做各种各样的实验, 然后试图在测得的数据中建立某些联系 而黑箱子里面是什么, 我们并没有权力知道, 我们知道的只是各种观测量, 为了建立这些观测量的联系, 我们需要引入理论概念 例如: 在牛顿力学中, 总是谈力, 但力是实在的吗? 我们可以测得质点的位置, 速度, 然后代入牛顿定律, 算出来一些东西. 牛顿引入了平方反比的引力, 这种超距作用简直无法理解, 但它仍是有用的 现在我们引入了各种态, 也许你会问, 态是一种实在的东西吗? 我们没有必要去问!

物理学是一种现象学 — 在现象中建立联系

量子力学的语言: 线性代数 线性代数是简单的 如黎曼几何是简单的, 但是意识到现实世界的引力理论可以被黎曼几何刻画是不平庸的事情 量子力学和线性代数的联系如何建立?

  1. Schrodinger 意识到概率幅可以被波动方程描述 — 波动力学, 这些方程的解带着线性结构
  2. Heisenberg 意识到如果乘法如果不对易, 就可以描述不确定关系, 但当时物理学家对线性代数了解不深, 后来意识到这就是矩阵乘法, 故建立了矩阵力学
  3. Feynman 自己发明了一种物理上很直观的方法: 路径积分

这三种都是对量子力学的等价的描述方式, 但如果认真地计算路径积分, 则背后的数学是十分复杂的 即使有一些物理理论的框架被建立起来了, 不意味着我们可以简单地接受它且不做任何事情. 如果我们能够用一种新的语言描述它, 也是一件重要的事情. 例如从理论力学中的概念建立 Schrodinger 方程

量子力学的基本原理

我们总是用电子双缝干涉的实验来表示基本原理, 其他是类似的

电子A→B的概率?\text{电子}A\to B\text{的概率?} 原理1.

P(A→B)=∣⟨B∣A⟩∣2→概率幅∈CP(A\to B)=\boxed{|\langle B\mid A\rangle|^2 }\to\text{概率幅}\in \mathbb{C}

即表示 AA 为初态(ket), BB 为末态(bar) 原理2. (如何算概率幅)

⟨B∣A⟩=⟨B∣A⟩路径1+⟨B∣A⟩路径2\langle B\mid A\rangle=\langle B\mid A\rangle_{\text{路径1}} +\langle B \mid A \rangle_{{\text{路径2}}}

原理3.

⟨B∣A⟩路径1=⟨B∣1⟩⟨1∣A⟩\langle B\mid A\rangle_{\text{路径1}}=\langle B\mid 1\rangle \langle 1\mid A\rangle

问题: 如果研究的问题里没有传播(电子双缝干涉中的传播), 如何运用上述原理? 只要我们做量子力学, 就会有某种初态和末态, 这里就不需要空间坐标

对于一维无限深势井: 你也可以把粒子放在某处, 然后问它过一段时间后在哪, 只是在定态问题中把这里糊弄过去了. 因为定态问题实际上我们已经对时间做了一次 Fourier 变换

并且实际上上面我们的描述是高度理想化的, 忽略了很多相互作用带来的因子 我们并没有回答如何计算概率幅, 我们只是在告诉你怎么从已知的概率幅拼出新的概率幅. 实际上量子力学的原理是一种语言的框架

可以推广: 在屏上开各种各样的小孔, 则电子从 AA 到 BB 就有各种各样的路径 记号 (i,j)(i,j) 表示第 ii 个屏上的第 jj 个孔 比如两个屏, 每个屏两个孔, 有

⟨B∣A⟩=⟨B∣2,1⟩⟨2,1∣1,1⟩⟨1,1∣A⟩+⋯\langle B \mid A\rangle = \langle B\mid 2,1\rangle\langle2,1\mid 1,1\rangle\langle 1,1\mid A \rangle +\cdots

如果在任意多 (MM) 个挡板上, 第 jj 个版上开 HiH_{i} 个孔, 则对可能路径的概率幅的求和应为

⟨B∣A⟩=∑j1=1H1⋯∑jM=1HM⏟M⟨B∣M,jM⟩⟨M,jM∣M−1,jM−1⟩⋯⟨1,j1∣A⟩\langle B\mid A \rangle =\underbrace{ \sum_{j_{1}=1}^{H_{1}}\cdots\sum_{j_{M}=1}^{H_{M}} }_{ M }\langle B \mid M,j_{M}\rangle\langle M,j_{M}\mid M-1 ,j_{M-1}\rangle\cdots\langle 1,j_{1}\mid A\rangle

我们取非常非常多的屏和孔, 实际上就是把空间像素化了, 而我们实际上由于仪器测量极限, 我们并不知道空间是不是像素化的, 我们把格点取得比仪器极限精度还小, 这件事就做完了

问: 如何处理时间相干性的问题? 现在还没有引入时间, 原则上后面可以直接放入时间

双缝干涉的解释 (强调我们只是在解释, 实验结果就摆在那) 量子力学的基本公理不是从电子干涉实验中推出的, 我们只是从现象总推测出一套公理, 然后来做进一步的解释 回顾前面电子干涉的不确定关系: 两件事情不能同时做到 初态: 电子在 AA , 光子在光源 LL , 现在容忍光子对电子错误的”踢法”: 存在一种可能性, 光子的波长很低, 以至于进入了错误的探测器

请注意这里考虑光子对电子错误的”踢法”是有必要的, 大多数的困惑也会产生在这里(对于笔者), 一件事的概率幅无论多小, 普遍上都不应该忽略, 请联系下文关于什么是同一个末态的讨论

记号:

⟨B1  |  AL⟩=⟨电子在B光子进入探测器1  |  电子在A光子在 L⟩\left\langle \begin{matrix} B \\ 1 \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} A \\ L \end{matrix} \right\rangle = \left\langle \begin{matrix} \text{电子在B} \\ \text{光子进入探测器1} \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} \text{电子在A} \\ \text{光子在 L} \end{matrix} \right\rangle

这样

⟨B1  |  AL⟩=⟨B∣1⟩⟨1∣A⟩u+⟨B∣2⟩⟨2∣A⟩v\left\langle \begin{matrix} B \\ 1 \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} A \\ L \end{matrix} \right\rangle=\langle B\mid 1\rangle\langle 1\mid A\rangle u +\langle B\mid 2\rangle\langle 2\mid A\rangle v

uu 的意思是孔 11 处的电子把光子踢到探测器 11 的概率幅, 同样 vv 指孔 22 处的电子将光子踢入探测器 11 的概率幅(错误地测量) 注意这个问题中的初态和末态是确定的 同样

⟨B2  |  AL⟩=⟨B∣1⟩⟨1∣A⟩v+⟨B∣2⟩⟨2∣A⟩u\left\langle \begin{matrix} B \\ 2 \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} A \\ L \end{matrix} \right\rangle=\langle B\mid 1\rangle\langle 1\mid A\rangle v +\langle B\mid 2\rangle\langle 2\mid A\rangle u

两种情况下的正确, 错误测量认为概率幅是相同的, (做了一个近似, 可以认为系统存在某种对称性) , 可以认为有相差, 或者差一个相位, 但对后面的定性刻画没有影响

问: 为什么可以把电子和光子的概率幅乘起来? 正确的做法是张量积

在这个问题中引入了更多的自由度, 因为考虑了光子, 如果把概率幅当作内积, 实际上是在张量积空间中的内积 用记号 ϕ1=⟨B∣1⟩⟨1∣A⟩\phi_{1}=\langle B\mid 1\rangle\langle 1\mid A \rangle

“正确的测量” : ∣u∣≫∣v∣|u|\gg |v|

∣⟨B2  |  AL⟩∣2=∣uϕ1+vϕ2∣2→正确地测量∼∣uϕ1∣1|\left\langle \begin{matrix} B \\ 2 \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} A \\ L \end{matrix} \right\rangle|^2=|u\phi_{1}+v\phi_{2}|^2\xrightarrow{\text{正确地测量}}\sim|u\phi_{1}|^1

此时没有干涉, 若存在错误的测量 (∣u∣∼∣v∣|u|\sim |v|) , 则

∣⟨B2  |  AL⟩∣2→错误地测量∼∣u∣2∣ϕ1+eiθϕ2∣2|\left\langle \begin{matrix} B \\ 2 \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} A \\ L \end{matrix} \right\rangle|^2\xrightarrow{\text{错误地测量}}\sim|u|^2|\phi_{1}+e^{i\theta}\phi_{2}|^2

存在干涉 这就能描述不确定性关系 注意:

不要将不同末态的概率幅相加!\boxed{\text{不要将不同末态的概率幅相加!}}

但是 Feynman 做了奇怪的提问: 什么叫不同的末态? 什么叫一次测量? 实际上, 现象学来看, 是否存在一次测量, 只需要看干涉条纹是否消失 一次有效地测量意味着退相干 原则上你不需要对不可进行干涉检验的陈述做任何提问 我们也不知道一个测量是不是人为的, 例如在光子波长足够长时, 可以认为是匀强电场 我们只需要去刻画可观测量, 对于可观测量的解释是人为的

问题: 如果不摆探测器, 上面的两个末态是否是不同的末态? 实际上光子从不同方向散射都是不同的末态 — 这里只是做了假设, 光子只会被这两个探测器接受(末态不同服从经典概率相加), 当然你也可以在所有方向都摆满了探测器 这种思想实验可以继续做, 设计得越来越精妙, 你就可能发现之前忽略的各种细节或者各种近似, 这也是物理有趣的地方

回到路径积分, 把离散的记号改写为空间坐标 (i,j)→(x,y)(i,j)\to(x,y)

⟨B∣A⟩=∑路径 P⟨B∣A⟩P\langle B \mid A\rangle =\sum_{\text{路径 P}}\langle B\mid A\rangle_{P}

但是遇到的一个问题是电子可以反向移动 — 电子有可能被孔反向散射, 这里可以避免这个问题 — 引入时间 tt

因为总假设时间是正向流动的, 我们看到的那个一直向右的方向其实是时间

则语言变成了

⟨B(t2)∣A(t1)⟩\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle

则正确的路径积分

⟨B(t2)∣A(t1)⟩=∑路径 P⟨B(t2)∣A(t1)⟩P\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle = \sum_{\text{路径 P}}\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle_{P}

如果你能计算这个积分, 你就能在概率的意义下预测这个系统了. 所以现在的问题是怎样计算这个概率幅 首先这个概率幅是一个复数, 意味着被求和的东西是一个路径的复函数: (路径)↦C(路径)\mapsto \mathbb{C} 但 ⟨B(t2)∣A(t1)⟩P= ?\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle_{P}=\,? , 量子力学基本原理不负责这个问题, 因为你知道了这个东西, 实际上就是已经确定了系统了, 现在我们只对一例特殊的系统来解决这个问题: 那些存在经典极限的系统 如果量子力学是对的, 那么这些系统在经典极限下应该回到经典关系 — 在这里也存在一个思想的跳跃 现在已经没有什么能引导我们了 想找一个路径的函数 →\to 这个函数在经典力学里应该有一个对应, 幸运的是, 在 20 世纪我们已经知道作用量原理了

作用量原理 给定一个确定的路径, 就可以给出这个路径的作用量, 我们总指给定路径包括给定它的终末态

S[P]=∫PdtLS[P]=\int_{P}\mathrm{d}t\mathcal{L}

这里 L\mathcal{L} 是 Lagrangian , tt 是一个路径的参数, 一个好用的参数是时间 对于牛顿力学, 有

S=∫A(t1)B(t2)dtL=∫dt12mx⋅2−V(x)S=\int_{A(t_{1})}^{B(t_{2})}\mathrm{d}t\mathcal{L} = \int\mathrm{d}t \frac{1}{2}m\overset{\cdot}{x}^2-V(x)

但是总有一些路径, 是作用量的驻点, 即 δS=0\delta S =0 找到这个点, 就可以将作用量变分为 00 的条件改写为一个 Lagrangian 的方程

ddt∂L∂x˙=∂L∂x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}

注意: 给定路径不仅需要给出坐标, 还需要给出坐标对时间的函数 注: 作用量的语言只是一种对系统普遍的描述, 对一个系统, 你总可以写一个 Lagrangian, 比如单粒子, 多粒子, 甚至电磁场, 广义相对论, 给定一个作用量, 在这个意义上就是给定了一个物理理论 在相同的意义下, 量子力学的路径积分也是一个语言框架, 如果能够写出概率幅, 也是给出了一个理论

路径积分

对课后的问题: 光子飞到同一个探测器为什么认为是同一个末态? 这节课后应该有一些新的认识

对系统在给定的时间 t1t_{1} 处于状态 AA , 在 t2t_{2} 处于状态 BB 的概率幅, 路径积分说应该为

⟨B(t2)∣A(t1)⟩=∑路径 P⟨B(t2)∣A(t1)⟩P\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle = \sum_{\text{路径 P}}\langle B(t_{2})\mid A(t_{1})\rangle_{P}

这里路径 PP 包括所有可能的路径, 原则上我们能表示出每一个路径. 但是给定路径如何计算概率幅, 一般来说没有办法回答, 但是如果这个系统有经典对应, 我们就能猜测这个结果 (上节课末尾的内容) 我们直接给出结果

⟨B∣A⟩P=exp⁡(iS[P]ℏ)\langle B\mid A\rangle_{P}=\exp(\frac{iS[P]}{\hbar})

可以猜测, 作用量和概率幅都是路径的函数, 它们应该有关系, 如果要求猜测正确, 需要保证两点

  1. 路径积分是 Schrodinger 方程的解
  2. 可以回到正确的经典极限: 虽然从状态 AA 到 BB 的各种路径, 它们都同等的贡献概率幅(它们的模都是 11) , 但是在某种经典极限的意义上, 所有非经典的路径的变得不重要了, 它们都应该消失

如何回到经典极限, 注意到作用量的量纲正是 ℏ\hbar 在量子力学中不确定关系给出了测量的不确定度的下限, 而在经典中看不到, 说明有一种办法把 ℏ\hbar “关掉” ℏ→0\hbar\to 0 , 就能回到经典, 实际上就是和 ℏ\hbar 同量纲的量都应该远大于 ℏ\hbar , 即 Sℏ≫1\frac{S}{\hbar}\gg 1

上次课的问题: 如何判断一个系统有没有经典极限, 可以估计系统是否具有一个巨大的角动量

而电子的自旋, 由于一直是 12ℏ\frac{1}{2}\hbar , 所以这不是一个能回到经典极限的系统,

问: 但是我们会谈论光的角动量, 即光的自旋, 这是为什么? 实际上由于光子是 Boson , 可以在一个状态积累大量的光子, 使其远大于 ℏ\hbar

⟨B∣A⟩=∫[Dx(t)]exp⁡(iS[x(t)]ℏ)\langle B\mid A\rangle = \int [\mathcal{D}x(t)]\exp(\frac{iS[x(t)]}{\hbar})

当 ℏ→0\hbar\to 0 时发生了什么? , 可以发现每个路径都会有一个巨大的相位, 在不同路径快速震荡, 积分没有意义, 只有在 SS 的驻点处, 即 SS 变化较小时才会有贡献, 这就是经典路径, 即

⟨B∣A⟩→exp⁡(iSclassicℏ)whereδSclassic=0\langle B\mid A\rangle\to\exp(\frac{iS_{\text{classic}}}{\hbar})\quad \text{where} \quad\delta S_{\text{classic}}=0

实际上还有更多的猜法, 比如把经典极限当作某个负指数, 但是你会发现只有这个猜测, 每个路径贡献相同的大小, 才是对的

同学问题: 为什么离经典路径很近的路径为什么不会留下影响? 实际上应该是经典路径周围的一个”管子” , 叫他量子修正, 这个管子里面的路径都有贡献, 可以想象经典修正是按 ℏ\hbar 展开的领头阶, 也有一些修正

经典极限是一个糟糕的极限: 路径积分不允许你在 ℏ=0\hbar=0 处做任何 Taylor 展开! 数学上实际上是渐进展开, 当你一直展开到某一阶后就会偏离得越来越远 为什么这种情况我们的展开有效是有趣的

再提一下积分的测度 Dx(t)\mathcal{D}x(t) , 实际上只要这个测度小于我们测量的精度就够了, 因为实际上我们就是放了一些有很多孔的板, 这些孔很小, 只要有精度限制, 这些东西都是有限多的, 只要是有限多, 那你就不太会遇到数学上的问题. 这就是牛顿在写原理时使用的方法(他觉得当时的人看不懂他的微积分) 如果你只在意有限精度的测量, 实际上微积分都是不必要的, 你只需要求和 我们平时用微积分也不一定都是对的, 实际上只是比较方便, 你很容易去背下某些积分公式. 所以我们有时在做路径积分时, 也是闭着眼睛形式上去算, 直到算出问题了来

路径积分是严格的, 只是我们处理问题时不需要这种严格性 — 只要我们碰到问题为止

路径积分量子化: 在我们做经典问题时找到了它的作用量, 我们把它塞进路径积分的相位里, 实际上我们就找到了经典问题的量子化, 即找到了一种量子理论描述经典问题 比如塞单粒子的, 你就会处理单粒子的量子力学, 谐振子之类无聊的问题 塞电磁场的, 你就得到了量子电动力学 塞广义相对论的, 你就得到了量子引力

但问题是这种情况下, 我们对积分的测度是没有定义的, 你在真的做积分时就会遇到一些错误, 这些错误通常是无穷大

在物理中的任何无穷大都是我们手放进去的

有限大的刚体球放到刚体桌子上的压强? 无穷大, 哪里错了, 实际上你对材料做了一些不切实际的假设, 比如杨氏模量无穷大. 在你做其他问题时, 不care 它的杨氏模量, 所以它是有效的, 但是在关心压强时, 我们就遇到了无穷大. 现在物理上遇到这些问题就会用正规化, 重整化这些问题处理

正规化: 给测度一个定义 重整化: 用一个比喻: 我们的世界就像一个黑箱子, 所有观测量都是有限大的, 把观测量之间的关系用不依赖于理论的方式联系起来就是重整化. 实际上, 刚才无穷大的问题就是压强和理论中的理论概念的关系出现了无穷化

具体的例子: 把路径积分表示成通过一些插板的小孔就是正规化, 而你知道, 路径积分的结果和你怎么插板怎么打孔都没关系即为重整化

电子的质量也是重整化的例子

问题: 如果 SS 的极值不唯一怎么办? 在经典力学上给定初末态, 路径是不是唯一的? 这不是唯一的, 在这种情况怎么处理? 比如地球上两地的测地线实际有两条 顺便再提一下, 在经典力学时, 我们通常不关心作用量的大小, 我们总是着急地去算极值, 在什么时候我们应该关系作用量的大小? (考虑双生子佯谬的作用量?)

晶格的散射

多说一句, 考试的重点是 feynman 讲义和札记的交集

这个问题是简单的, 晶体就是一块立方格子. 往晶格打一束中子, 然后在某一个出射的方向摆一个探测器, 去观察出射中子的分布 可以想象这里发生了什么: 中子表现得像波, 晶体又是周期性结构, 实际上就是一个光栅. 重要的是我们需要预先知道晶格的格距应该和入射粒子的波长相匹配

估算需要中子的速度: 晶格的格距 ∼10−10m\sim 10^{-10}m , 中子质量是电子质量的 10001000 倍差不多 ∼940MeV\sim 940MeV 问: 氢原子里电子的速度是多少 ∼αc∼1137c\sim \alpha c\sim\frac{1}{137} c 意味着氢原子中的电子是非相对论性的

量级估计不是按计算器, 是找到物理定律的关联

问: 中子从某一个初态 AA , 到达探测器的末态 BB 的概率是多少

⟨B∣A⟩=∑i=1N⟨B∣i⟩×S×⟨i∣A⟩\langle B\mid A\rangle = \sum_{i=1}^N\langle B\mid i\rangle\times S\times\langle i\mid A\rangle

这里 SS 是散射的概率幅, 可以假设 SS 和与哪个晶格 ii 散射无关, 因为晶体很小, 中子源又离得很远 可以想象探测器得到的分布会是一些锐利的条纹 准晶: 可以证明晶体的结构必须是一些特定的形状, 并且衍射图样的对称性只能是2或3的倍数, 如果拿准晶去做衍射实验, 可以看到是5边形

所以可以根据衍射图像去理解晶体的结构 但某些情况下, 会看到分布会有一个连续的背景, 并且某些情况下, 干涉条纹消失了, 即有些情况下: 不知道什么东西做了一次测量. 你看到衍射条纹消失了, 则实验中有某些东西对对象做了一次测量 答案是自旋 spin 中子自旋 s=12ℏs=\frac{1}{2}\hbar , 中子只有自旋向上和向下, 这两种状态构成了中子自旋的完备正交基(这比较神秘) 在通常的中子源, 中子的自旋不是极化的, 一般是任意的, 可以期待中子各有 0.5 的概率向上或向下 晶格中原子也有自旋, 可以简单假设原子的自旋也是1/2 , 即也有向上和向下两种状态 再为了简单, 可以假设晶格中的原子的自旋都是排列好的. 这种情况下 初态:

并且此时中子是非相对论性的, 这种散射不会改变空间角动量 (即守恒) , 则自旋只能在中子和原子之间交换(解释是球面波是没有角动量的,把散射振幅按能量展开, 会发现展开系数是波的展开函数, 最低阶是球面波) 一种情况:

中子↑原子↑  ⟹  中子↑原子↑(1)\text{中子}\uparrow\quad\text{原子}\uparrow\quad\implies\quad \text{中子}\uparrow\quad\text{原子}\uparrow\quad (1)

这就是开始的情况 另一种情况

中子↓原子↑  ⟹  {中子↓原子↑(2)中子↑原子↓(3)\text{中子}\downarrow\quad\text{原子}\uparrow \quad\implies\quad \begin{cases}\text{中子}\downarrow\quad\text{原子}\uparrow\quad(2)\\ \text{中子}\uparrow \quad \text{原子}\downarrow\quad(3)\end{cases}

若中子和原子的自旋发生了交换, 则你就能在实验后区别哪个原子发生了散射, 则对实验来说这是不同的末态, 你就应该把概率相加

⟨B∣A⟩=∑j⟨B∣j⟩⟨j∣A⟩S′\langle B\mid A\rangle=\sum_{j}\langle B\mid j\rangle\langle j\mid A\rangle S'

此时概率幅互相干涉

P2=∣⟨B∣A⟩∣2P_{2}=|\langle B\mid A\rangle|^2

而对 (3)(3)

P3=∑j∣⟨B∣j⟩⟨j∣A⟩S′′∣2P_{3}=\sum_{j}|\langle B\mid j\rangle\langle j\mid A\rangle S''|^2

实际上这里发生了某种测量: 测量某个散射的原子的自旋是否发生翻转, 这和双缝干涉的的测量情形很像, 可以想象散射时某个原子”亮”了一下, 一旦你知道哪个原子发生了自旋翻转, 干涉就消失了. 你并不一定要去测量哪个原子的自旋发生了翻转 如果初始晶体不是完美极化的, 我们的方法并没有变化, 实际上我们真正关心的是: 散射时原子的自旋是否发生翻转, 你就能区别不同的末态

这个例子可以帮助我们理解: 光子去到某一个探测器到底是不是全同的末态? 在双缝干涉实验中: 发出了一些电子, 要求两条路径的末态必须一样才能将概率幅相加, 问题是: 怎么才叫做末态一样? 如果电子落在屏上的位置差了 1μm1\mu m ? , 理论上电子精确地打到同一位置的概率应该是 00 真正的末态不是电子到达了一点 xx , 而是没有电子: 电子被吸收掉了, 你看到了探测器闪了一下 如果探测器的像素无法区分两个电子是否打到了同一点, 实际上前面说的电子打到某处都是中间态 如果你的探测器的分辨率提高了, 你就能进一步区分哪些末态了

问: 如果我不放探测阵列怎么办? 原则上打到任何方向的电子的末态都不一样, 你应该都是相加概率, 但是你又没有做任何测量, 那你不应该去计算任何观测量! 物理学没有义务回答不可观测的问题

问题: 怎么知道中子在晶格中总是和一个确定的原子散射? 这里是物理假设, 实际上是自旋是量子化的, 一个中子不能 如果晶体里的原子核不是完美的点, 如果它们的波函数重叠了, 实际上是在考虑中子和原子核的散射, 原子核的重叠较小, 多小才算小: 你可以分别计算两种情况看他们的差距, 和瑞利判据类似, 这也是为什么对中子波长有要求的原因

全同粒子

考虑 α\alpha 粒子和氧原子核的 Coulomb 散射, 这个问题在经典力学中也可以解, 因为 Coulomb 作用是经典的 最早做这个实验的是 Rutherford , 发现了正确的原子模型 实际上也可以拿电子做相同的实验, 剧透一下: 这时候就会出现自旋的问题 电子也是自旋 1/2 的粒子

重要的假设是, 在 Coulomb 散射时, 粒子的自旋不发生翻转: 这是一个用电磁学就能回答的问题 为什么? (概率幅的量级 ∼vc\sim \frac{v}{c})