Chapter 4 全同粒子

从前面的 Coulomb 散射讲起: $\alpha$ 粒子与氧核

Coulomb 散射指: 带电粒子在低速情况下通过 Coulomb 相互作用实现散射, 这时几乎不改变自旋. 因为没有磁效应, 通过 Lorentz 变换得到的磁场强度 $\sim\frac{v}{c}$ , 这在低速情况下是可忽略的, 故自旋的改变是可忽略的

总在质心系中分析: 对心碰撞, 假设两个粒子的动量和能量总是相反/相同的, 则可以用两个参数描述: 散射的能量和散射角 $\theta$ (此时对心碰撞有轴对称性) 考虑两个探测器, 可以问: 有一个 $\alpha$ 粒子进入到探测器 $1$ (在 $\theta$ 角处 )的概率幅为 $f(\theta)$
则有任何粒子进入探测器 $1$ 的概率 $P(\theta) = |f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2$ (考虑氧核进入探测器, 此时 $\alpha$ 粒子进入 $\pi-\theta$ 方向) 当考虑 $\alpha-\alpha$ 散射时, 事情变得不一样如果原则上可以区分两个 $\alpha$ 粒子, 则结果与上面相同, 但如果原则上不可区分 $\alpha$ 粒子, 则我们用 1 号 $\alpha$ 粒子这种术语就是糟糕的, 我们只能说有一个 $\alpha$ 粒子进入探测器

则有 $\alpha$ 粒子进入探测器 $1$ 的概率为 $P(\theta)=|f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi-\theta)|^2$

相位从哪来? 这个说法很糟糕如果考虑概率相加时, 相位是不重要的, 但是考虑相加概率幅, 相对相位是重要的为了清楚, 我们可以认为上面所写的 $f(\theta)$ 实际上是模, 而 $e^{i\delta}$ 是两者的相对相位

什么叫原则上不可区分? 实际上就是无法区分上面的碰撞是哪个过程, 故应该将它们的概率幅相加

这个相位是重要的, 而且可以发现这对干涉有影响, 实际上相位是观测量对 $\alpha$ 粒子, 相位取 $e^{i\delta}=1$ , 则结果为

P(\theta)=|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2

但对电子, 必须取 $e^{i\delta}=-1$ , 则结果为

P(\theta)=|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^2

实际上只有这两种结果这对结果是很有影响的, 比如在 $\pi/2$ 方向处两种结果截然不同, 并且可以被观测到

为什么 $\alpha$ 粒子原则上不可区分? 回忆之前关于测量的讨论: 什么叫一次有效的测量 — 发生了退相干在这里, 如果电子或者 $\alpha$ 粒子是原则上不可区分的粒子, 则会看到一些奇怪的角度分布(相干) 而在实验中确实观测到了这种相干性, 则这种相干性只能通过假设不可区分来解释但有例外: 电子的自旋, 自旋不同的电子应该被认为是不同的电子故前面的讨论需要打一个补丁: 假设它们的自旋相同, 因为 Coulomb 相互作用不改变自旋如果自旋相反, 我们就可以区分了

如果电子枪是一个糟糕的源, 即不会极化电子, 就会考虑电子发射向上的自旋的概率为0.5 , 向下也为0.5. 而探测器也是一个糟糕的不能检测电子自旋的探测器, 则结果应该是什么? 实际上就是有0.5的概率自旋相同

全同粒子(Identical particle) 是纯粹量子力学的概念 可以在经典力学中讨论全同性, 但这没有意义, 因为没有干涉

问: 如果碰撞时粒子的自旋翻转了, 怎么办? 实际上就去问初态和末态会发现有不同的路径之间干涉, 但 Coulomb 散射中速度远小于光速, 则某个概率幅(改变了自旋的那个)的大小被 $v/c$ 压制, 从而实现退相干

问: 如果粒子自旋是叠加态怎么办? 后面会说上面的描述这叠加情形是等价的

进一步讨论上面的相位问题: 重新定义 $\theta$ 为散射过程中的偏转角, 则 $\theta$ 取值为 $[0,2\pi)$ 则 $\alpha$ 粒子的散射概率幅:

f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi+\theta)

考虑交换相位 $e^{i\delta}$ : 想象当散射完毕后, 两个 $\alpha$ 粒子出射时, 我们给他们拍了一个照片, 两个探测器分别记录到了两个 $\alpha$ 粒子, 现在交换两个 $\alpha$ 粒子: 抓着 $\alpha$ 粒子让他绕着散射中心转到对角的下一个探测器, 对另一个也这样 (强调真的做了一次交换的变换!) , 在这种交换下振幅如何变化? 如此考虑, 交换的概率幅

\langle 1_{B},2_{A}\mid 1_{A},2_{B}\rangle \in \mathbb{C}

如果全同粒子的假设正确, 则

|\langle 1_{B},2_{A}\mid 1_{A},2_{B}\rangle|^2 =1

则交换的概率幅只能是一个纯相位 $e^{i\delta}$ 如果再将这个系统做相同的变换, 则会回到开始的状态, 得到的相位为 $e^{2i\delta}$ (第三个基本原理: 相乘概率幅)

上面的 1粒子 2粒子的语言是糟糕的, 实际上是有一个粒子在 $A$ , 有一个粒子在 $B$ (全同) 讲道理上面两个状态是同一个状态, 但是为什么有有不同的相位? 实际上这里是在用不同的方式去标记同一个状态

为什么第二次变换的相位也是 $\delta$ 因为它们是全同粒子, 初态和末态实际上也没有区别

现在做一个”错误” 的假设: 连续两次交换相当于恒等变换则有

e^{2i\delta} = +1\implies e^{i\delta}=\pm 1

实际上这个假设在 $\mathbb{R}^3$ 是对的

当交换粒子的相位 $e^{i\delta}=+1$ 时, 称这种粒子为玻色子 Boson / $e^{i\delta}=-1$ 时, 称这种粒子为费米子 Fermion 实际上对单粒子没有影响, 在说玻色子和费米子时, 实际上是在说这种粒子的统计性质

为什么两次交换 = 恒等变换? 实际上想法来自于一些基本假设: 相位在道路的连续形变下是不变的实际上在交换时, 跟怎么去拽着两个粒子去交换没有关系, 可以用任意复杂的路径交换这会产生一个问题: 什么是交换? 一开始的交换是简单的: 沿着对撞中心转 $\pi$ , 但推广之后: 取粒子 $2$ 到粒子 $1$ 的位置矢量 $\vec{R}$ , 当连续改变 1 和 2 的位置时, 可以看到 $\vec{R}$ 各种改变, 但末态只能是 $\vec{R}$ 或 $-\vec{R}$ , 则可以定义:

交换 $\vec{R}\to-\vec{R}$
没有交换 $\vec{R}\to\vec{R}$

现在想象: 以 2 粒子为参考系做两次交换, 首先 $\vec{R}$ 转了一圈, 1 粒子画出了一个连续的路径, 让大圆圈连续地向中心收缩, 而这个路径连续收缩到了一个平庸的路径, 所以就是恒等变换的相位

上面的收缩是指向一个没有 2粒子的点收缩, 因为实际上相位就是依赖于 $\vec{R}$ 的路径的, 缩小这个路径就可以了

实际上可以立马发现, 如果 $\mathbb{R}^3$ 中有非平庸的拓扑, 就没法做了而在 $\mathbb{R}^2$ 中, 同样, 即使没有非平庸的拓扑, 连续两次交换也不是恒等变换, 更一般地: 粒子 1 绕粒子 2转 m ,n 圈, 如果 m 不等于 n, 则交换也是不同的, 上面对粒子的统计性质的叫法也是错误的, 你应该有无穷多种统计这种粒子叫任意子 anyon , 在凝聚态物理之类的地方会出现

复合粒子

实际上就是玻色子和费米子组合在一起, 问这些粒子有没有统计性质

实际上就是 “负负得正”

例如 $\alpha$ 粒子有两个玻色子和费米子, 在交换下出两个 $-1$ 的相位, 故是玻色子

实际上在这个意义上你可以问自己是不是费米子( 但是我们并不关心

如果增加速度, 可以想象组分粒子被碰撞出来, 但有一种情况是碰撞出来的粒子被重新组合了, 碰撞粒子内部发生了交换比如 $\alpha$ 粒子散射交换了一个中子, 即交换了一个费米子, 则会和不交换的情况具有 $-1$ 相位的干涉

这就是为什么费米子的圈图里有一个 $-1$

自旋-统计关系 spin-statistics

在 $3+1$ 维时空中, 微观粒子的自旋是量子化的:

具有整数自旋 $s=0,1,2,\cdots$ 的所有粒子都是玻色子
具有半整数自旋 $s = \frac{1}{2},\frac{3}{2},\cdots$ 的所有粒子都是费米子

这在某些教科书中作为公理给出, 这和前面的量子力学公理不在同一个水平上, 因为我们已经在处理 $3+1$ 维的量子系统这在相对论性的量子力学中是可以证明的, 来源于某种因果性, 但在现在的课程水平中无法给出有人尝试去公理化量子场论, 但是得到的结果只有两个: 自旋统计, CPD 定理

下面即是研究自旋统计的后果

多粒子态

双玻色子末态:

考虑两个全同粒子 $A$ 和 $B$ 进行散射, 把 $A$ 踢到方向 $1$ 的探测器中 $a_{1}$ , 把 $B$ 踢到方向 $2$ 的探测器中 $b_{2}$ 问: 把 $A$ 踢到方向 $1$ 的探测器中把 $B$ 踢到方向 $2$ 的探测器中的概率即为

P(A\to 1,B\to 2)=|a_{1}|^2|b_{2}|^2

但问, 探测器接收到粒子的概率, 若两粒子不全同时即为

P(A,B\to 1,2) = |a_{1}b_{2}|^2+|a_{2}b_{1}|^2

将两个探测器摆在同一个方向时

P(A,B\to 1)=2|a_{1}b_{1}|^2

但是如果是全同情形

P(2A\to 1)= 4|a_{1}b_{1}|^2

可以看到

玻色子 $A$ 进入 $1$ 粒子末态的概率是进入 $0$ 粒子末态的概率的 $2$ 倍考虑上面的粒子先后进入探测器即可则可以发现全同玻色子有一种等效的吸引力, 这不是相互作用, 而是通过粒子的统计性质产生的同样, 费米子之间有一种等效的排斥力

费米子像构成世界的砖块, 而玻色子像砖块之间的胶水

末态相空间的积分: (连续的语言)

上面给定方向的说法也是糟糕的, 正确的说法是某个方向的很小立体角范围内, 故这可以变成探测器上的某个小面积元

定义: 粒子 $A$ 进入方向 $1$ 附近单位面积元的概率幅为 $A_{1}$ , 即进入方向 $1$ 附近单位面积元的概率为

P=\int_{\Delta S_{1}}\mathrm{d}S_{1}\,|a_{1}|^2\simeq |a_{1}|^2\Delta S_{1}

在连续的语言中, 原来没有量纲的量都获得了量纲回忆之前的 delta 函数

异种粒子 $(A,B)$

P(A,B\to 1,2)=\int_{S_{1}}\mathrm{d}S_{1}\int_{S_{2}}\mathrm{d}S_{2}\times(|a_{1}b_{2}|^2+|a_{2}b_{1}|^2)\simeq (|a_{1}b_{2}|^2+|a_{2}b_{1}|^2)\Delta S_{1}\Delta S_{2}

但全同粒子的散射在连续的意义上怎么做, 可以发现应该在被积函数中相加概率幅, 这会很复杂

先看一个例子:

方向 $1$ 同时接受到 $A,B$ 的概率方法1: 经典做法

|a_{1}|^2\Delta S_{1}|a_{2}|^2\Delta S_{2}

但这无法推广到全同粒子, 但用上面的做法, 取 $2\to 1$ , 则结果会多一个 $2$ , 实际上是因为积分多数了一遍方法2: 在原先相空间积分时, 在积分测度上先除以 $2$ , 即

\int\frac{\mathrm{d}S_{1}\mathrm{d}S_{2}}{2}\times \text{概率密度}

如果是 $n$ 个粒子, 就需要除 $n!$ (给每个粒子选一个探测器, 这就是多数的次数)

\int\frac{\mathrm{d}S_{1}\cdots\mathrm{d}S_{N}}{N!}[\underbrace{|a_{1}b_{2}\cdots|^2+\text{所有可能全排列}}_{N!}]

用这个方法做全同粒子: 将概率相加修改成概率幅相加

|a_{1}b_{2}\cdots|^2+\text{所有可能全排列} \to |a_{1}b_{2}\cdots+\text{所有可能全排列}|^2

但模方会出来 ${N!}^2$ 项即 $A$ 粒子进入到 $N-1$ 粒子末态的概率是进入 $0$ 粒子末态的 $N!$ 倍

问: 真实世界中为什么会有 $2$ 维材料? 任意子存在吗?

黑体辐射

再次问有没有人读讲义(

假期后复习前面的内容:

两种粒子的统计
玻色子, 如何计算玻色子相空间的积分

P(nA\to 1) =\int_S \frac{\mathrm{d}S_{1}\cdots\mathrm{d}S_n}{n!} |a_1\cdots a_n +\text{全排列}|^2 = n! |a_1\cdots a_n|^2(\Delta S)^n

这个式子有不同的解释: 后面会用到的是:

P(A\to 1_{n-1}) = n P(A\to 1_{n-2})=\cdots = n! P(A\to 1)

将一个玻色子放入 $n$ 粒子末态的概率是放入 $0$ 粒子末态的 $n+1$ 倍

但是上面其实没有写这个式子( , 真正表示这个意思的是
$P((n+1)A \to 1 ) = (n+1)|a|^2 \Delta S \times P(nA\to1)$
多余的因子被理解为将一个玻色子放入一个已有 $n$ 个玻色子的态

同样, 快速过一遍费米子:

Pauli 不相容原理
白矮星, 中子星等的简并压
元素周期律

回到之前的玻色子全同玻色子统计的应用: 黑体辐射

问: 简并压到底是什么形式? 回忆上次课玻色子和费米子的等效吸引力, 排斥力, 实际上是概率的大小, 这里没有任何相互作用多提一句: 白矮星是靠电子的简并压实现的, 而中子星是中子的简并压实现的, 而两种粒子的相互作用非常不一样中子有电磁相互作用吗? 有, 因为有磁矩

大部分量子力学教科书都从黑体辐射讲起, 则有一些奇怪的说法(盒子中的电磁波) 而今天的可能会清楚一点

黑体辐射背景: 先不提什么叫黑体先看一个盒子, 给盒子加热, 让它达到热平衡, 温度是某个给定值 $T$ , 我们知道盒子是某些原子, 可以发射光子, 于是盒子中就有一堆光子在里面撞来撞去, 和盒子壁达到热平衡, 换句话说这就是光子气体然后在盒子上开一个小孔, 让光子从盒子里面飞出来, 然后用一个光栅接收光子, 在光栅后面放一个望远镜, 就可以统计一件事情: 得到一张图, 横轴是光子的频率, 纵轴是能量因为我们总在某个频率区间, 可以问光的亮度是多少, 假设一切处于平衡, 则亮度正比于能量我们知道绝对黑体可以得到一个黑体谱, 这节课的目标就是得到这个黑体谱(这是完全可以测量的)

我们应该怎么做这个统计? 最直接的办法是对光子状态做统计: 直接研究光子态 (即对电磁波做正确的量子化) —1926 实际上这就是量子场论 Einstein 最初用了一个迂回的办法: 研究盒壁的原子 — 1916 因为我们知道盒子处于热平衡, 则可以用盒子壁的原子的统计性质反推光子的统计性质顺带提一句: Lorentz 在 1901? 年做到了正确的结果, 承认光子的量子化的假设, 但他并不知道怎么正确地量子化

采用第二种方法来做首先认为原子有两种态: 基态 $g$ 和激发态 $e$ 并且原子在从激发态到基态之间跃迁会发射能量为能级差 $E=\hbar \omega$ 的光子会用到一个后面才会推出的事实: 过程 $A\to B$ 的逆过程的概率幅: $\langle A\mid B\rangle = \langle B\mid A\rangle^*$

所谓光子统计性质就是知道光子在某个频率区间的数量

设原子态向真空发射一个光子的幅为 $a$ , 则逆过程: 原子态从 $1$ 粒子态吸收 1 个光子的幅为 $a^*$ 现在考虑盒子里的光子: 盒子里应该有 $n$ 个光子问: 在盒子里再放 $1$ 个光子的概率幅, 实际上就是 $\sqrt{n+1} a$ (概率是 $n+1$ 倍)当然应该有一个相因子, 但在这里不重要, 即

\langle n+1\mid n\rangle= \sqrt{n+1} a

注意这不是内积, 从而逆过程

\langle n\mid n+1 \rangle = \sqrt{n+1} a^*

切换一下变量

\langle n-1 \mid n \rangle = \sqrt{n} a^*

我们差不多就得到了全部的东西: 知道概率幅就知道了概率, 从而可以计算发射吸收现在需要新的输入: 盒子壁的原子处于热平衡

热平衡的刻画一个系统满足 Boltzmann 分布
$\frac{N_e}{N_g}= e^{-\Delta E/kT}=e^{-\hbar\omega/kT}$

使用发射率 = 吸收率的关系

\text{发射率} \sim N_e |a|^2 (\overline{n_\omega}+1)

上面的占有数 $\overline{n_\omega}$ 是一个奇怪的记号, 指定频率并没有指定光子的状态, 比如光子的运动方向, 所以这应该是一个平均意义上的东西, 即频率为给定值 $\omega$ 的光子的平均占有数

\text{吸收率}\sim N_g |a|^2 (\overline{n}_\omega)

利用 Boltzmann 分布, 得到

\overline{n}_\omega = \frac{1}{e^{\hbar\omega/kT}-1}

为什么把不同极化的光子看作全同粒子? 深刻的问题: 左旋和右旋的光子是同一种光子可以去 boost 一个光子, 即不同的动量的粒子是同一种光子照镜子可以把光子从左旋变为右旋, 但这不是物理上的操作这种变换叫对称性变换: 即如果有一种对称性变换能把粒子变成另一个粒子, 则这两个粒子是同一种粒子在一般的散射问题中, 自旋可以被改变, 但在 coulomb 散射中, 不同自旋的粒子就是不同的粒子可以发现: 全同粒子的概念是某种近似质子和中子的同位旋

如果 coulomb 散射中使用全同粒子的观点, 能够回到非全同情形. 前面已经提过这一点

即频率处于某一个确定的值上的平均光子数被热平衡条件控制需要问: 这些光子有哪些状态?

数光子的模式 (mode) 简化的假设: 一维的盒子, 循环边界条件, 实际上就是一个圈问: 圈上允许的光子的模式有哪些

循环边界条件实际上是在说刻画圈上的电磁波, 即头和尾的电场是相同的, 包括一阶导这就确定了整个电磁场

则允许的模式

k =\frac{2\pi n}{L}\quad n=\pm 1,\pm2,\cdots

解读为: 在某一个给定的波数区间 $\Delta k$ 里允许的状态数 $\Delta N$ 为

\Delta N =\frac{L}{2\pi}\Delta k

对于三维的方盒子 $(L_x,L_y,L_z)$ , 满足循环边界条件, 则允许的条件:

\vec{k}=2\pi (\frac{n_x}{L},\frac{n_y}{L},\frac{n_z}{L}) \quad n_x =\pm1 ,\pm2 \cdots

同样, 在区间 $\Delta\vec{k}$ 的状态数

\Delta N = \Delta N_x \Delta N_y \Delta N_z=\frac{L_x L_y L_z}{(2\pi)^3}\Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z

在连续极限下

\mathrm{d}N = V\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}

发现盒子的信息完全消失掉了, 可能觉得这个结果和边界条件无关, 这不完全对简单的答案是: 如果不用立方盒子, 则光子波长和尺度匹配的光子肯定状态数分布不同, 但波长很小的光子不太受影响, 而我们总是加热到一个温度使得里面大部分光子的波长相对于盒子尺度比较小

问: 光子气体具有频率在 $(\omega , \omega +\Delta\omega)$ 区间的模式数再加上一个条件: 光子有两个独立的极化

2\times \frac{V}{(2\pi)^3}\times 4\pi k^2 \mathrm{d}k

光子的色散关系 $\omega =c k$ 故在 $k$ 空间中, 频率为 $\omega$ 到 $\omega +\Delta \omega$ 的光子分布在一个 $k$ 到 $k+\Delta k$ 的球壳上这需要更换体积元, 实际上就是先对球上的方向做一次积分

在频率区间内光子的能量

\boxed{\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\omega}=\frac{V}{\pi^2c^3}\omega^2\times \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar\omega/kT}-1}}

数固定频率区间上光子的模式数
问一个给定的状态上的光子的平均数
考虑每个光子的能量

这就是你在光栅上看到的频率谱

什么叫绝对黑体? 上面推导的结果完全不介意盒子和光子是如何相互作用的!只需要知道他们有相互作用所谓绝对黑体即为: 你考虑的任意频率的光子都能在盒壁上找到对应的原子和他发生吸收发射的相互作用故上面虽然是二能级系统, 但一般的绝对黑体也有效这显然是一个近似, 你用足够高能的光子可以打穿一根粉笔而不和粉笔发生相互作用

上面考虑的是自由粒子, 即光子和光子之间没有相互作用如何谈热平衡? 在这个例子中光子可以和盒壁发生相互作用在更一般的例子中, 你可以先放入一些相互作用, 让他们达到热平衡, 然后再抽掉这个相互作用这也是为什么统计力学中计算热平衡有效的原因

量子场论

Born , Heisenberg , Jordan — 1926

Jordan 在二战时加入了纳粹, 故被物理学界除名了, 所以你很少见到他

波完全是经典的, 这不是量子场论

谈谈 Schrodinger 方程当盒子壁上有两个状态, 它们是能量的本征态, 是不含时的, 怎么会凭空抛出一个光子实际上是扰动激发态的原子为什么会辐射, 没有量子力学是几乎不可理解的

这里面存在某种不确定性: 盒子里面即使没有光子, 电磁场也不为 0

电磁场的量子理论 (量子场论) 简化假设: 一维盒子, 循环边界条件, 忽略极化出发点是 Maxwell 方程

(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t ^2}-\nabla^2)A_{\mu}(x,t)=0

忽略极化, 可以把矢势当标量场 $\phi$

(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t ^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2})\phi(x,t)=0

去做 Fourier 变换

\phi(x,t)=\phi_k(x)e^{ik x}

下面取 $c =1$

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\phi_k + \omega^2 \phi_k =0

Fourier 变换是把一个导数算子对角化的线性变换, 对角元就是 $\omega^2$

把 $\phi_k$ 就理解为一个谐振子, 而量子化一个谐振子我们是知道的, 量子场论就是在量子化空间中的谐振子

对于一个谐振子, 量子化的结果:

E =\hbar \omega(n+\frac{1}{2})\quad n=0,1,2,\cdots

这里重要的是 $\frac{1}{2}$ , 即使在基态, 谐振子的能量相对于势能的零点也不为 $0$ 即即使在电磁场的基态, 电磁场的能量也不为 $0$ , 这是电磁场量子化的结果

相互作用与测温度测温度就一定有相互作用, 使用不同的相互作用的测温物质测温都得到的是同一个温度, 实际上这隐藏着统计力学在时间上的假设, 时间必须足够长, 使得相互作用到达热平衡

电磁场的共轭变量实际上共轭变量来自于 Lagrange 的语言, 可以直接推广

课后练习: 考虑三态系统, 再次重复上面的计算, 可以发现占据数和假设的一堆发射概率无关