Ayaya Notes

week 1

上课前的闲谈

费曼3开设的初衷是, 学校的同学们学习各种各样的课程, 但是然后呢, 能做什么? 所以希望这门课能帮助同学们度过从学习到科研的鸿沟. 安排:

  1. 内容: feynman第三卷的 chapter1 到chapter20 + chapter21 (除去chapter14, 本章主要讲的是当时很新的半导体, 同学以后能学到更完整的内容, 故略去), chapter21 主要是 feynman 给同学们做的seminar, 并不在课程要求里.
  2. 形式: 板书, 更像是研讨会. 可以随意提问, 同时完成课程的任务, 希望同学们在课堂上至少提问一次.

手上的硬功夫(计算) + 讨论(需要interaction)

这门课带着理论物理研究者的”偏见” , 如: 有趣的错误胜于平庸的正确 什么叫理论物理? 像是拍照片, 每一个点都有自己的 value, 原则上知道每点的 value 就知道整张照片, 但这不是理论物理, 理论物理更像是街头的画师, 仅用几笔就能勾勒出一个人 不仅是一门技艺, 更是艺术

! Note

学无定法 避免逻辑的洁癖:

  1. 不要用数学的严格性指导做物理
  2. 物理理论的正确性来源于物理世界的定量实验, 实验就一定有有限的精度, 一门理论一定是近似理论, 要理解的是理论的来源
  3. 尽早地适应碎片化的学习, 不要一味要求前置知识的学习, 放弃单一线程的逻辑链学习方式

不要空谈美学与哲学: seminar不是辩论会 —“理论物理是一门实验科学” , 像玩电子游戏一样会遇到各种问题, 多去问 “what if” question , 虽然课上组织了一套较完备的物理知识, 但这不够, 今后的 “what if” question 才会在开路中发挥作用

积累方法: 不要把量子力学当成一套字典, 应该像练武功, 积累各种招式, 知道在今后的研究中哪些招式是有用的

教材与讲义用法:(optional): 用费曼的讲义预习, 用课上的讲义复习 作业 & 习题课 : 从费曼的习题集中选择(一周一交), 习题课内容从作业的情况中选择, 并补充课上内容的拓展

考核: 闭卷考试, 期中(mid-term)第十周周三: ch1 - ch10 , 期末(考试周统一安排): ch11 - ch20 成绩计算 = 0.3 平时作业 + 0.3 min⁡{期中和期末成绩}\min\{\text{期中和期末成绩}\} + 0.4 max⁡{期中和期末成绩}\max\{期中和期末成绩\}

Chapter 1 量子行为

任何物理理论或者现象在背后都有一个不可理解的核心, 我们所做的就是承认这个不可理解的核心, 并用数学刻画它

例如: 经典力学中的牛顿引力, 牛顿选择不回答这个问题 在量子力学中, 同样是这样, 我们所做的应该是接受这一点, 来用数学构建一套理论 为了引入量子力学, feynman 选择了一个思想实验: 电子的双缝干涉, 从这个现象能总结出什么结论 实验的刻画: 见书 我们将实验结果作为事实: 将两个孔全开, 测量 N(x)N(x) , 实际上形成了具有干涉条纹的图样

N(x)=N1(x)+N2(x)+干涉项N(x)=N_{1}(x)+N_{2}(x)+\text{干涉项}

怎样理解这个实验结果? 这是电子的集体效应吗?(例如水波, 可以说是水分子的干涉) feynman 说这可以用实验去回答 任意一个电子到屏上都进入了某个确定的探测器, 而发射电子足够多后便形成了干涉条纹, 这表明不是电子集体效应: 可以在足够长的时间间隔后发射下一个电子. 那么, 电子只能自己和自己干涉(这是什么意思?) 电子如果能和自己干涉, 它必须同时知道有两个孔, 则电子是从哪个孔穿过去的? “Which-way” : 这也可以通过实验解决, 可以在孔的后面放一个光源, 再放置两个特别的探测器: 如果电子从一个孔穿过, 电子就会和该孔处的光子发生相互作用, 使得光子被探测器探测到(且不会被另一个探测器探测) (这已经在实验中实现) feynman : 如果做这件事情, 就有

N(x)=N1(x)+N2(x)N(x)=N_{1}(x)+N_{2}(x)

干涉项消失 (这是事实, 不用去问为什么), 这在经典上也可以理解, 因为光源相当于一次测量, 就会带来干扰, 然而量子力学说, 这种测量的干扰是不可消除的 能否改进实验减小这种扰动? 同学回答: 给一个反冲的光子, 降低光子的能量, 降低光的亮度

  1. 降低光的亮度: 逐渐降低单位时间发射光子的个数, 这时慢慢地不可忽略光的粒子性了! 到某一个时刻, 光也具有粒子性了, 这样就会有一些电子没有与光子发生相互作用, 从而不知道这些电子是从哪个孔穿过的. 这样那些电子在屏上又会呈现干涉条纹, 并且我们能区别哪些电子与光子发生了相互作用, 这样: 没有相互作用的电子呈现干涉条纹, 有相互作用的电子呈现简单相加条纹
  2. 降低光子的能量: 即降低光子的频率, 或增加光的波长, 当光的波长增加到一个程度, 如远长于两个孔的距离, 此时散射后的光子可以进入两个探测器了, 无法再区分电子从哪个孔经过, 最后干涉项恢复了

不管尝试什么样的办法, 可以发现: 电子干涉和确知从哪个孔穿过不可同时实现. 即 Heisenberg 不确定原理 (从逻辑上不应该是从哪个公理证明得到的定理, 这来自于实验) : 当你做测量时, 测量会干扰对象, 并且这种干扰本质上不可消除

量子力学的第一原理: (找一种数学方法刻画电子干涉) 可以从光的干涉中获得灵感, 刻画光波干涉时可以使用复振幅, feynman 说 如果想刻画电子干涉的结果, 必须引入

概率幅ϕ∈C\text{概率幅}\quad\phi\in \mathbb{C}

而电子打到屏上的概率为

概率P=∣ϕ∣2\text{概率}\quad P=|\phi|^2

而计算双缝干涉电子打到屏上的振幅为 (要求必须为振幅相加)

ϕ(x)=ϕ1(x)+ϕ2(x)\phi(x)=\phi_{1}(x)+\phi_{2}(x)

则

P(x)=∣ϕ(x)∣2=∣ϕ1∣2+∣ϕ2∣2+(ϕ1ϕ2†+c.c.)P(x)=|\phi(x)|^2=|\phi_{1}|^2+|\phi_{2}|^2+(\phi_{1}\phi_{2}^{\dagger}+\text{c.c.})

即出现干涉项

! Note
  1. 量子力学提供概率性的语言{1a.演化是确定的(Schrodinger方程)1b.不确定性来自于测量\left\{\begin{array}{l}1a.\text{演化是确定的(Schrodinger方程)}\\1b.\text{不确定性来自于测量} \end{array}\right.
  2. “精确” : 这是目前最精确的理论

课下的讨论及可能的回答: 如果去掉光子的探测器, 干涉条纹会出现吗? 不会, 因为实际上光子与电子发生相互作用已经改变电子的相干性了, 探测器探测的是光子, 和电子的性质无关 考虑电子获得了加速度, 发出电磁辐射, 接受电磁辐射来判断电子穿过的孔, 可行吗? 那么这要求发出的电磁波的波长比孔之间的距离小, 也就是能量足够大, 电子具有可观的加速度, 使电子具有可观的加速度可能已经造成了某种观测使干涉项丢失 什么是测量

网络学堂上有远远过多的参考书, 有余力可以看, 还有一个pdf , 在读参考书之前, 请读 pdf 网络学堂上放了一套参考试题, 请预判考试的难度(在退课之前)

Chapter 2 波粒二象性

回顾上次课的双缝干涉试验 电子一颗一颗地打到屏上, 不会分叉 — 电子具有粒子性 将大量的电子打到屏上, 可以看到屏上形成了干涉图像 — 电子具有波动性

什么样的物理图像可以理解电子同时具有波动性和粒子性?

波粒二象性 wave-particle duality , 谈谈 duality, 一般译作对偶, 对偶出现的时候一般是我们不知道怎么去刻画系统, 用波或者粒子去刻画都是不完全的. 在后面的课中我们会知道正确的描述一个系统的方式是用 态 state , 在态中有一些像波动, 有一些像粒子 — 仅此而已

de Brogile 关系 第一个关系是 Planck 提出的

E=ℏωE=\hbar \omega

即能量-频率关系: 刻画光子时可以将光波的能量和频率联系起来, (ℏ\hbar 的数值不好记, 一般认为它为 11) 第二个关系是 de Brogile 提出的

p⃗=ℏk⃗\vec{p}=\hbar\vec{k}

即动量-波数关系, 这两个关系的提出相差几十年, 这是不可思议的, 因为在狭义相对论中我们知道 (E,p⃗)(E,\vec{p}) 是一个 Lorentz-4矢量, (ω,k⃗)(\omega,\vec{k}) 也构成 Lorentz-4矢量. 如果 Einstein 在建立狭义相对论论时对第一个式子做一个 Lorentz 变换, 就可以得到第二个关系, 然而第二个关系提出时广义相对论都几乎建立了. — 概念的跨越是非常困难的. 如果我们有两种方式描述一个系统, 结合起来可能会得到一些新的东西

下面具体进入主要内容, 先从平面波说起 (复习 Fourier 变换)

平面波: 具有固定波数 k⃗\vec{k} 的波动 ψk⃗(x⃗)=eik⃗⋅x⃗\psi_{\vec{k}}(\vec{x})=e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}} 从现在开始不关系比例系数, 可以认为是正比(前面的比例系数不依赖于空间) 任意性质”好”的函数 f(x⃗)f(\vec{x}) 都可以用平面波线性展开(用线性代数的视角理解)

f(x⃗)=∫R3d3k⃗(2π)3e+ik⃗⋅x⃗f~(k⃗)(逆)Fourier变换f(\vec{x})=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathrm{d}^3\vec{k}}{(2\pi)^3}e^{+i\vec{k}\cdot\vec{x}}\tilde{f}(\vec{k})\quad \text{(逆)Fourier变换}

一个问题是我只知道 f(x⃗)f(\vec{x}) 可以被展开成这个样子, 但 f~(k⃗)\tilde{f}(\vec{k}) 是什么就不知道 — 去反过来变换

f~(k⃗)=∫R3d3x⃗e−ik⃗⋅x⃗f(x⃗)\tilde{f}(\vec{k})=\int_{\mathbb{R}^3}\mathrm{d}^3\vec{x}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}f(\vec{x})\quad

系数什么都不重要, 重要的是反过来变换的时候指数的符号改变了, 为什么可以这样做, 来源自平面波是一组正交归一的基 正交归一性:

∫d3x⃗e−ik⃗⋅x⃗eil⃗⋅x⃗=(2π)3δ3(k⃗−l⃗)\int\mathrm{d}^3\vec{x}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}e^{i\vec{l}\cdot\vec{x}}=(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}-\vec{l}) ∫d3x⃗(2π)3e−ik⃗⋅x⃗eik⃗⋅y⃗=δ3(x⃗−y⃗)\int\frac{\mathrm{d}^3\vec{x}}{(2\pi)^3}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{y}}=\delta^3(\vec{x}-\vec{y})

解释一下 delta 函数, 比如在写 δ3(x⃗)\delta^3(\vec{x}) 是指它可以被三个一维的 delta 函数拼起来 重要的是在波数的正交归一性时在 δ\delta 带有 2π2\pi , 而在坐标的归一性时 d\mathrm{d} 处带有 2π2\pi

Delta 函数: 一般定义为

δ(x)=0if x≠0∫−∞+∞dxδ(x)=1\delta(x)=0\quad \text{if} \,x\neq 0\quad \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\delta(x)= 1

数学上严格地讲, delta 函数是一种分布 distribution, 意思是当给一个分布时, 不需要告诉你分布在各点处的值是多少, 而是需要知道任给一个函数 ff ,它和分布乘在一起积分的值是多少. 即这是一个从函数空间到实数的映射

∫−∞+∞dxD(x)f(x)=D[f]\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x D(x)f(x)=D[f]

对于 dirac 函数, 定义为

∫−∞∞dxδ(x−y)f(x)=f(y)\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\delta(x-y)f(x)=f(y)

实际上 delta 函数也可以被理解为一种 “单位矩阵”

单位矩阵: II

δij={1i=j0i≠j\delta_{ij}=\begin{cases}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{cases}

对有限维线性代数

∑j=1Nδijfj=fi\sum_{j=1}^N\delta_{ij}f_{j}=f_{i}

比较两者, 可以看到它们在做同一件事情, 无非是把离散指标的求和变成了连续指标的积分, 我们也可以理解前面的积分式为什么可以称为 “正交归一关系” : 无非是可以用一组完备的基表示 当然单位矩阵和 delta 函数 也有区别: 它们的量纲不同, 单位矩阵是没有量纲的, 但是 delta 函数是有量纲的

同学问题: 如果把 delta 函数当作单位矩阵, 矩阵的乘法是怎样的? 类比矩阵乘法

∫dyδ(x−y)δ(y−z)=δ(x−z)\int \mathrm{d}y\delta(x-y)\delta(y-z)=\delta(x-z)

这不是显然的 (请证明)

只需要证明这坨东西和右边的 delta 函数的作用一样

现在用数学工具来理解 wave-particle duality

可以做两个观察:

  1. 具有固定动量 p⃗\vec{p} (根据 de Brogile 关系解释) 的粒子出现在 x⃗\vec{x} 的概率?

    P(x⃗)=∣eik⃗⋅x⃗∣2=constP(\vec{x})=|e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}|^2=\text{const}

    这个常数与坐标无关. 即: 如果粒子的动量是确定的, 则它的位置是完全不确定的

  2. 具有确定位置 x⃗\vec{x} 的粒子的动量为? 根据不确定性关系, 我们不能确定粒子的动量. 我们只能问粒子处于某个动量 q⃗\vec{q} 的概率是多少, 实际上这就是 Fourier 变换

ψ~(q⃗)=∫d3x⃗e−ik⃗⋅x⃗δ(x⃗)=1\tilde{\psi}(\vec{q})=\int\mathrm{d}^3\vec{x}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\delta(\vec{x})=1

(粒子在哪不重要) , 重要的是这个概率也是一个和 q⃗\vec{q} 无关的数, 即: 一个具有确定位置的粒子, 它的动量是完全不确定的

在最一般的情形, 像教室里的大家, 位置和动量都是大概确定的 — 大家都是波包, 所以应该考虑波包 课上涉及的波包只会是最简单的 Gauss 波包

Gauss 波包刻画了一个概率分布

P(x)=Nexp⁡(−x2/(2σx2))P(x)=N\exp(-x^2/(2\sigma_{x}^2))

还可以画它的图像, 重要的是 Gauss 波包有一个中心值, 上面的例子是 x=0x=0 , 并且有一个展宽 σx\sigma_{x} , 可以理解为粒子的位置的不确定度, 然后确定归一化系数 NN , 实际上就是把上面的概率积分 问: 在位置空间中一个由 Gauss 波包刻画的粒子, 具有某个动量 p⃗\vec{p} 的概率是多少? 方法是做 Fourier 变换抽取 p⃗\vec{p} 处的分量 先要得到粒子的概率幅

ψ(x)∼exp⁡(−x2/4σx2)\psi(x)\sim \exp(-x^2/4\sigma_{x}^2)

严格来讲这是不对的, 因为会丢失一个相因子, 不过现在不关心相因子. 从而

ψ~(p)=∫dxexp⁡(−ipx/ℏ)ψ(x)∼∫dxexp⁡(−ipx/ℏ)exp⁡(−x2/4σx2)\tilde{\psi}(p)=\int\mathrm{d}x\exp(-ipx/\hbar)\psi(x)\sim\int\mathrm{d}x\exp(-ipx/\hbar)\exp(-x^2/4\sigma_{x}^2)

为什么对概率幅做 Fourier变换, 不对概率? 概率幅可以叠加但概率不可叠加, 而 Fourier 变换实际上是叠加

积分怎么做, 平移积分变量变成标准 Gauss 积分, 为什么平移一个复数是对的? 不要滑溜溜地跳过它! 实际上是 C\mathbb{C} 上在实轴积分, 然后把实轴往上平移了一些, 声称这两部分积分是相同的, 连接两条轴, 实际上就是一个长方形的环路积分! 只要是解析的, 两条宽能够抵消就能证明

算出来即为

ψ~(p)∼exp⁡(−σx2p2/ℏ2)×const\tilde{\psi}(p)\sim \exp(-\sigma_{x}^2p^2/\hbar^2)\times\text{const}

则可以计算出动量的不确定度

∣ψ~(p)∣2∼exp⁡(−2σx2p2/ℏ2)|\tilde{\psi}(p)|^2\sim \exp(-2\sigma_{x}^2p^2/\hbar^2)

把它和动量空间标准的 Gauss 波包比较, 有

σp=ℏ2σx  ⟹  σxσp=ℏ2\sigma_{p}=\frac{\hbar}{2\sigma_{x}}\implies \sigma_{x}\sigma_{p}=\frac{\hbar}{2}

可以对各种波包做这件事情, 可以发现上式无法被改进, 即无法降低右侧的值, 一般地(还没有证明)

σxσp≥ℏ2\boxed{\sigma_{x}\sigma_{p}\geq \frac{\hbar}{2}}

关于不确定性关系: 回顾前面的推导, 实际上不确定性关系是一个经典关系, 任何经典波动实际上都有不确定性关系, 即

ΔxΔk≥12\Delta x\Delta k \geq \frac{1}{2}

这件事情对于任何波动都是正确的 为什么不用低音提琴演奏野蜂飞舞? 这里存在一个物理上的原则性困难, 当在用乐器演奏时, 当我们听见声音, 说他的音高是多少时, 实际上是说声音的频率在一个近似范围内的频率区间. 如果一个声音具有确定的频率, 那它的持续时间必须是无穷长! 即演奏的频率应该正比于声音持续时间的倒数 再比如引力波, 测量引力波时, 可以发现测量频率具有一个不可逾越的下界, 比如打开机器测一年, 频率的精确度不会好于 10−7Hz10^{-7}\text{Hz} (请记住 1年=107秒\text{1年} = 10^7\text{秒}) . 请适应量级估计!(考试会出现) 量级估计: Chigago 有多少钢琴调音师?

原子的大小 第一个问题是: 氢原子为什么是稳定的 我们都知道氢原子是一个电子绕着一个质子转, 而电动力学说具有加速度的带电粒子会辐射电磁波, 所以这个电子在辐射电磁波, 损失能量, 电子应该会掉向质子. 在有限长的时间内氢原子应该会消失 地球也是在辐射引力波, 理论上地球也会掉向太阳 (前提太阳不会爆炸)

请估计经典氢原子的寿命 (这个时间是很短的)

不确定关系解释: 经典电子的能量

E=p22me−e2aE=\frac{p^2}{2m_{e}}-\frac{e^2}{a}

如果电子绕在一个圆轨道上运动, 则它的位置的不确定度大概是半径 aa 的量级

Δx∼a\Delta x\sim a

则其动量的不确定度

Δp∼ℏa\Delta p\sim\frac{\hbar}{a}

如果电子在不停辐射电磁波, 则电子的半径会逐渐减少, 使得动量的不确定度增大 在很大的 pp 处总有可观的概率发现电子, 这会导致能量可能升高! 这时不可能的, 这表明这个过程总会在某个位置处停止, 例如是能量最小时 问: 氢原子稳定在什么位置, 实际上就是在找能量的最小值点

dEda=0  ⟹  a0=ℏ2e2mBhor 半径\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}a}=0\implies a_{0}=\frac{\hbar^2}{e^2m}\quad \text{Bhor 半径}

请记住

a0∼0.5A∘1A∘=10−10ma_{0}\sim 0.5 \overset{\circ}{A} \quad 1\overset{\circ}{A}=10^{-10}\mathrm{m}

还可以计算出基态氢原子的能量

E0=−e4m2ℏ2∼−13.6 eVE_{0}=-\frac{e^4m}{2\hbar^2}\sim-13.6\,\mathrm{eV}

希望大家带着怀疑的眼光看上面的结果, 因为我们已经知道经典理论已经有问题了, 上面的计算实际上还是有经典的部分! 为什么电子的能量是动能 + 势能? 电子在基态半径实际上还是在转, 为什么没有辐射?

比较好的解释是基态电子处于 1s1s 态, 是球对称的, 在电动力学中, 辐射必须要至少存在变化的偶极矩(不要太快相信, 为什么 2s2s 态就可以辐射了?)

能级

束缚态的能级是离散的 (什么意思) 比如都计算过, 琴弦的频率取值是离散的, 在量子力学中, 常常用离散的横线来表示一个能级

理解一个束缚态, 就是理解它的能级

为什么乐器都是一维的? 二维的好像就只有鼓之类的乐器, 但鼓的声音不是很干净, 为什么发音比较干净的乐器都是一维的 你们自己想想, 和离散的能级的间距有关系, 去理解束缚态能级的 pattern 比如 氢原子的能级不是等间距的

En=−1n2E_{n}=-\frac{1}{n^2}

谐振子的能级是等间距的

En∼n+constE_{n}\sim n+\text{const}

还有一个事情是为什么我们理解的时空都是 3+1 维的, 可以知道如果引入别的维度, 可以统一一些理论 可以说, 我们只能看到这几维, 一种理解是额外的维度比如像 R3×X4\mathbb{R}^3\times X_{4} “卷” 起来了, 像卷成一个圈 如果存在这种额外维, 则我们所处的世界的基本粒子的质量谱就会有特别的形式, 因为

E2=p2+m2=p三维2+p(4)2+m2E^2=p^2+m^2=p^2_{\text{三维}}+p^2_{(4)}+m^2

如果额外维卷成一个圈, 则它的能级就是等间距排列的, 正比于 n2n^2 , 所以知道如果存在额外维, 则它们的质量谱就会存在一个 tower , 在其之上有质量越来越高的粒子, 所以我们会使用一些对撞机去制造越来越高能的东西, 就能发现这些粒子

上面我们讲的东西都是从简单的不确定性关系得到的. 所以对简单的物理定律的理解很重要

问: Fourier 变换里面为什么有个指数有负号 这其实上是复共轭