Heisenberg 模型
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Heisenberg 模型的 Hilbert 空间
H = ⨂ n = 1 N H n dim H = 2 N \mathcal{H} =\bigotimes_{n=1}^N \mathcal{H}_{n}\quad \dim\mathcal{H}=2^N H = n = 1 ⨂ N H n dim H = 2 N 基础态
∣ s 1 , ⋯ , s n ⋯ , s N ⟩ = ∣ s 1 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ s n ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ s N ⟩ \ket{s_1,\cdots,s_n\cdots,s_N}=\ket{s_1}\otimes\cdots\otimes\ket{s_n}\otimes\cdots\otimes\ket{s_N} ∣ s 1 , ⋯ , s n ⋯ , s N ⟩ = ∣ s 1 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ s n ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ s N ⟩ 正交条件
⟨ s 1 ′ , ⋯ , s n ′ , ⋯ , s N ′ ∣ s 1 , ⋯ , s n ⋯ , s N ⟩ = δ s 1 ′ s 1 ⋯ δ s N ′ s N \braket{s'_1,\cdots,s'_n,\cdots,s'_N|s_1,\cdots,s_n\cdots,s_N}=\delta_{s'_1s_1}\cdots \delta_{s'_Ns_N} ⟨ s 1 ′ , ⋯ , s n ′ , ⋯ , s N ′ ∣ s 1 , ⋯ , s n ⋯ , s N ⟩ = δ s 1 ′ s 1 ⋯ δ s N ′ s N 1 = ∑ s 1 , ⋯ , s N ∣ s 1 ⋯ s N ⟩ ⟨ s 1 ⋯ s N ∣ 1=\sum_{s_1,\cdots,s_N}\ket{s_1\cdots s_N}\bra{s_1\cdots s_N} 1 = s 1 , ⋯ , s N ∑ ∣ s 1 ⋯ s N ⟩ ⟨ s 1 ⋯ s N ∣ 哈密顿量为
H = − A ∑ n = 1 N − 1 ( S n , n + 1 − 1 ) H = -A\sum_{n=1}^{N-1}(\mathcal{S}_{n,n+1}-1) H = − A n = 1 ∑ N − 1 ( S n , n + 1 − 1 ) A A A
下一步应该做的是对角化哈密顿
但这是一个复杂的事情, 这里做的只是稍微解一下, 得到一些特殊的本征态
一个特殊的态是真空态 ∣ v a c ⟩ = ∣ + ⋯ + ⟩ \ket{\mathrm{vac}}=\ket{+\cdots+} ∣ vac ⟩ = ∣ + ⋯ + ⟩ ∣ n ⟩ = ∣ s 1 ⋯ s N ⟩ \ket{n} = \ket{s_1\cdots s_N} ∣ n ⟩ = ∣ s 1 ⋯ s N ⟩ n n n + + +
数学地说
定义 p - 粒子态空间
H ( p ) = S p a n { ∣ p 粒子态 ⟩ } \mathcal{H}^{(p)}=\mathrm{Span}\{\ket{p\,\text{粒子态}}\} H ( p ) = Span { ∣ p 粒子态 ⟩ } 则这是哈密顿的不变子空间
在 n -粒子态分解下, 哈密顿为
( 0 0 0 ⋯ 0 H 0 粒子 0 ⋯ 0 0 H 1 粒子 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & \boxed{H_{0 \text{粒子}}} & 0 & \cdots \\
0 & 0 & \boxed{H_{1 \text{粒子}}} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix} 0 0 0 ⋮ 0 H 0 粒子 0 ⋮ 0 0 H 1 粒子 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ 而 1 - 粒子态实际上就是前面讨论的晶格中的电子系统, 即
dim H ( 1 ) = N \dim \mathcal{H}^{(1)}=N dim H ( 1 ) = N 1 - 粒子态对角化的结果是 bloch 波, 可以想象下一波要做的就是对角化 2 - 粒子态, 3 - 粒子态…
这种做法实际上是某种能量的做法
如果画一个能量关于位置的函数, 对于真空态, 所有格点的能量是相同的, 所以能量是平凡的
对于 1 - 粒子态, 实际上就是翻转了某个位置的自旋, 实际上是构造一种能量在局域的激发
— 对真空施加某种局域的操作, 得到了一个新的状态, 这个状态具有非零的能量, 局限在有限大的范围里
这就是我们对粒子的刻画
在 Heisenberg 模型中更特殊的是, 考虑在一个一半范围内翻转自旋, 这也是一种局域在有限范围内的激发
因为能量只发生在自旋不同的位置上
这和 1 - 粒子态的关系是什么?
在大 N N N
前面提到了 Goldstone 定理
系统原本具有三维旋转对称性, 但在选定真空解的时候破坏了这种对称性, 我们得到了简并的真空, 而如果试图在空间之间做变换, 这种变换需要的能量可以是 0
这种 mode 即 Goldstone mode
二粒子态
即
∣ x n , x m ⟩ = ∣ + ⋯ − n ⋯ − m ⋯ + ⟩ \ket{x_n,x_m} = \ket{+\cdots \underset{n}{-} \cdots \underset{m}{-} \cdots +} ∣ x n , x m ⟩ = + ⋯ n − ⋯ m − ⋯ + ⟩
Notice
∣ x n , x m ⟩ ≠ ∣ x n ⟩ + ∣ x m ⟩ \ket{x_n,x_m}\neq \ket{x_n}+\ket{x_m} ∣ x n , x m ⟩ = ∣ x n ⟩ + ∣ x m ⟩ 二粒子态不是两个单粒子态加在一起, 正确构造多粒子态的做法是张量积
∣ x n , x m ⟩ ≅ ∣ x n ⟩ ⊗ ∣ x m ⟩ \ket{x_n,x_m}\cong \ket{x_n}\otimes \ket{x_m} ∣ x n , x m ⟩ ≅ ∣ x n ⟩ ⊗ ∣ x m ⟩ 重要的是这个同构是近似的, 原因是当如果把两个单粒子态的张量积认成一个二粒子态的时候, 已经假设了这两个粒子没有相互作用, n , m n,m n , m
真正的二粒子态没有一个粒子放在另一个粒子上的情形, 但是我们忽略掉这个特殊情况, 考虑将两个粒子看作独立的激发, 然后看看会发生什么
同样, H H H ∣ x n , x m ⟩ \ket{x_n,x_m} ∣ x n , x m ⟩ n , m n,m n , m
∣ ψ ( k 1 , k 2 ) ⟩ = ∑ n , m e i k 1 n b + i k 2 m b ∣ x n , x m ⟩ \ket{\psi(k_1,k_2)}=\sum_{n,m}e^{ik_1 nb+ik_2mb}\ket{x_n,x_m} ∣ ψ ( k 1 , k 2 ) ⟩ = n , m ∑ e i k 1 nb + i k 2 mb ∣ x n , x m ⟩ 甚至在这里引入了一些从来没有提到的状态, 比如 ∣ x n , x n ⟩ \ket{x_n,x_n} ∣ x n , x n ⟩
不过先忽略这些东西, 代入 Schrodinger 方程, 我们能解出 10 23 10^{23} 1 0 23
E = 2 A ( 1 − cos k 1 b ) + 2 A ( 1 − cos k 2 b ) E = 2A(1-\cos k_1b)+2A(1-\cos k_2b) E = 2 A ( 1 − cos k 1 b ) + 2 A ( 1 − cos k 2 b ) 能量是两个单粒子的动能直接相加, 忽略了两个粒子之间的相互作用的能量
短程力的来源源于哈密顿量是短程的相互作用 — 这就是独立粒子近似
认同这一点, 可以做到 n - 粒子情形, 但是当 n 很大的时候, 这是一个糟糕的近似
但不变的事实是 n - 粒子态空间是哈密顿的不变子空间
即任意粒子态空间 H ( p ) \mathcal{H}^{(p)} H ( p )
H = ⨁ p = 0 N H ( p ) \mathcal{H}=\bigoplus_{p=0}^N\mathcal{H}^{(p)} H = p = 0 ⨁ N H ( p ) 实际上有一个简单的等式
2 N = ∑ p = 0 N dim H ( p ) = ∑ p = 0 N ( N p ) 2^N=\sum_{p=0}^N\dim\mathcal{H}^{(p)}=\sum_{p=0}^N \binom{N}{p} 2 N = p = 0 ∑ N dim H ( p ) = p = 0 ∑ N ( p N )
这种不变子空间的构造叫做 Fock Construction
即把完整的态空间分解为一些不变子空间的直和
这些不变子空间中有真空态, n -粒子态, 并且 n - 粒子态同构于 n 个单粒子态的张量积
只要能做到这件事情, 就能定义粒子
不管是什么样的系统, 只要能这样做, 就能定义粒子
为什么能这样做
事实是从真实的物理系统中, 想要去加入能量做有限大的激发时, 只能得到态空间的很小一部分
有趣的事情是 N → ∞ N\to\infty N → ∞
2 N = ∑ p = 0 N ( N p ) 2^N=\sum_{p=0}^N \binom{N}{p} 2 N = p = 0 ∑ N ( p N ) 这个等式是不成立的, 左边是 ℵ 1 \aleph_1 ℵ 1 ℵ 0 \aleph_0 ℵ 0
在公理化的物理理论中, 一般要求无穷多维数不能很无穷, 意思是只能是 ℵ 0 \aleph_0 ℵ 0
现在进一步走进连续极限
Chapter 16 振幅对位置的依赖
基本逻辑
从有限维系统 N N N
于是现在做的也是一堆格点, 但不同的是在每个格点放置的是一个一般的态空间
取单粒子态空间的基础态 ∣ n ⟩ \ket{n} ∣ n ⟩
系数 C n = ⟨ n ∣ ψ ⟩ C_n =\braket{n|\psi} C n = ⟨ n ∣ ψ ⟩
i ℏ ∂ ∂ t C n = E 0 C n − A ( C n − 1 + C n + 1 ) i\hbar \frac{\partial}{\partial t}C_n = E_0 C_n -A(C_{n-1}+C_{n+1}) i ℏ ∂ t ∂ C n = E 0 C n − A ( C n − 1 + C n + 1 ) 有平面波解
C n ∼ e − i E t / ℏ + i k n b C_n \sim e^{-iEt/\hbar +iknb} C n ∼ e − i E t /ℏ + ik nb 色散关系
E = E 0 − 2 A cos k b E=E_0-2A\cos kb E = E 0 − 2 A cos k b 在长波极限下有效质量
m = ℏ 2 A k 2 b 2 m = \frac{\hbar^2}{Ak^2b^2} m = A k 2 b 2 ℏ 2 现在想取连续极限, 即 b → 0 b\to 0 b → 0 m m m
C n = C ( x n ) , x n = n b C_n =C(x_n)\quad ,\quad x_n=nb C n = C ( x n ) , x n = nb 这样 Schrodinger 方程改写为
i ℏ ∂ ∂ t C ( x n ) = ℏ 2 2 m b 2 ( 2 C ( x n ) − C ( x n − 1 ) − C ( x n + 1 ) ) i\hbar \frac{\partial}{\partial t}C(x_n)=\frac{\hbar^2}{2m b^2}(2C(x_n)-C(x_{n-1})-C(x_{n+1})) i ℏ ∂ t ∂ C ( x n ) = 2 m b 2 ℏ 2 ( 2 C ( x n ) − C ( x n − 1 ) − C ( x n + 1 )) 在 b → 0 b\to 0 b → 0
2 C ( x n ) − C ( x n − 1 ) − C ( x n + 1 ) b 2 = − ∂ 2 ∂ x 2 C ( x n ) \frac{2C(x_n)-C(x_{n-1})-C(x_{n+1})}{b^2}=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}C(x_n) b 2 2 C ( x n ) − C ( x n − 1 ) − C ( x n + 1 ) = − ∂ x 2 ∂ 2 C ( x n ) 擦掉指标 n n n
i ℏ ∂ ∂ t C ( x , t ) = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 C ( x , t ) i\hbar \frac{\partial }{\partial t}C(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}C(x,t) i ℏ ∂ t ∂ C ( x , t ) = − 2 m ℏ 2 ∂ x 2 ∂ 2 C ( x , t )
这当然不是 Schrodinger 方程的公理形式, Schrodinger 方程只在这种特殊的形式下长成这样
一般管 C ( x , t ) C(x,t) C ( x , t ) ψ ( x , t ) \psi(x,t) ψ ( x , t )
推广是简单的, 只需要增加空间坐标, 具体地, 做替换
∂ 2 ∂ x 2 → ∑ i ∂ 2 ∂ x i 2 = ∇ 2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}\to\sum_{i}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=\nabla^2 ∂ x 2 ∂ 2 → i ∑ ∂ x i 2 ∂ 2 = ∇ 2 这种方程的解是简单的, 首先有一种解我们已经知道了, 即平面波解
ψ ( x , t ) ∝ e − i E t / ℏ + i k ⃗ ⋅ x ⃗ \psi(x,t)\propto e^{-iEt/\hbar+i\vec{k}\cdot \vec{x}} ψ ( x , t ) ∝ e − i E t /ℏ + i k ⋅ x 当然还有球面波解
ψ ( x ⃗ , t ) ∝ 1 ∣ x ⃗ ∣ e − i E t / ℏ + i k x \psi(\vec{x},t)\propto \frac{1}{|\vec{x}|}e^{-iEt/\hbar+ikx } ψ ( x , t ) ∝ ∣ x ∣ 1 e − i E t /ℏ + ik x 这种解没有确定的动量方向
同样, 下一步是讨论正交归一条件, 从离散版本的连续极限入手
在离散版本
⟨ m ∣ n ⟩ = δ m n , ∑ n ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ = 1 \braket{m|n}=\delta_{mn}\quad,\quad \sum_{n}\ket{n}\bra{n}=1 ⟨ m ∣ n ⟩ = δ mn , n ∑ ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ = 1 在连续极限下 ∣ x n ⟩ = 1 b ∣ n ⟩ \ket{x_n}=\frac{1}{\sqrt{b}}\ket{n} ∣ x n ⟩ = b 1 ∣ n ⟩
⟨ m ∣ n ⟩ = 1 b δ m n , ∑ n b ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ = 1 \braket{m|n}=\frac{1}{b}\delta_{mn}\quad,\quad \sum_{n} b\ket{n}\bra{n}=1 ⟨ m ∣ n ⟩ = b 1 δ mn , n ∑ b ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ = 1 对任意态 ∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ ψ ( x n ) = ⟨ n ∣ ψ ⟩ \psi(x_n) =\braket{n|\psi} ψ ( x n ) = ⟨ n ∣ ψ ⟩ b → 0 b\to 0 b → 0
∣ ψ ⟩ = ∑ n b ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ ψ ⟩ → ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ψ ⟩ \ket{\psi}=\sum_{n}b\ket{n}\braket{n|\psi}\to\int\mathrm{d}x\ket{x}\braket{x|\psi} ∣ ψ ⟩ = n ∑ b ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ ψ ⟩ → ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ψ ⟩ 特别的, 基础态的正交归一条件
⟨ x ∣ y ⟩ = δ ( x − y ) \braket{x|y}=\delta(x-y) ⟨ x ∣ y ⟩ = δ ( x − y ) 实际上这里给了一种 delta 函数的新的定义, 后果是
⟨ x ∣ x ⟩ ≠ 1 \boxed{\braket{x|x}\neq 1} ⟨ x ∣ x ⟩ = 1 这不是一个 “归一化” 好的状态, 或者说这些态 ∣ x ⟩ \ket{x} ∣ x ⟩ ∣ x ⟩ \ket{x} ∣ x ⟩ ∣ x ⟩ \ket{x} ∣ x ⟩
到底发生了什么? 另见泛函分析
挖坑(
波函数 ψ ( x ) \psi(x) ψ ( x )
这是一个量子力学中标准的量, 这不是一个观测量, 但在这里他有明确的意义, 他是一个状态在位置基础态下的坐标
即态空间中的某种列向量, 只不过这个列的指标是一个连续变量
如果意识到这件事情, 前面对波函数的操作都被赋予的线性代数的意义
比如内积
⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ = ∫ d x ⟨ ψ ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ϕ ⟩ = ∫ d x ψ ∗ ϕ \braket{\psi|\phi}=\int\mathrm{d}x\braket{\psi|x}\braket{x|\phi}=\int\mathrm{d}x\psi^*\phi ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ = ∫ d x ⟨ ψ ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ϕ ⟩ = ∫ d x ψ ∗ ϕ 特别的, 熟知的归一化条件
⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = ∫ d x ∣ ψ ∣ 2 = 1 \braket{\psi|\psi}=\int\mathrm{d}x |\psi|^2=1 ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = ∫ d x ∣ ψ ∣ 2 = 1 即波函数平方可积
动量表象
用完全相同的方式, 可以取动量基础态
∣ k ⟩ = C k ∫ d x e − i k x ∣ x ⟩ \ket{k}=C_k\int \mathrm{d}x e^{-ikx}\ket{x} ∣ k ⟩ = C k ∫ d x e − ik x ∣ x ⟩ C k C_k C k
练习: 写出动量表象下的自由粒子 Schrodinger 方程
即
i ℏ ∂ ∂ t C p = p 2 2 m C p i\hbar \frac{\partial}{\partial t}C_p = \frac{p^2}{2m}C_p i ℏ ∂ t ∂ C p = 2 m p 2 C p 做法是对 Schrodinger 方程做 Fourier 变换
现在把前面的内容推广到任意的经典力学系统
推广到方式有各种考虑, 但在路径积分时我们讨论过, 一个做法是如果系统有对应的经典极限, 就可以找到对应的量子理论, 做法是把系统的作用量塞进路径积分里
当然也有其他方式, 比如一种叫正则量子化 (qua) 的做法
在任何经典力学系统中, 刻画一个系统的方式是通过相空间, 即
广义坐标 q 1 , ⋯ , q N q_1,\cdots ,q_N q 1 , ⋯ , q N p 1 , ⋯ , p N p_1,\cdots,p_N p 1 , ⋯ , p N
{ q i , p j } = δ i j \{q_i,p_j\}=\delta_{ij} { q i , p j } = δ ij
这里 { } \{\} { }
{ f , g } ≔ ∑ i ∂ f ∂ q i ∂ g ∂ p i − ∂ g ∂ q i ∂ f ∂ p i \{f,g\}\coloneqq \sum_{i}\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial g}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i} { f , g } : = i ∑ ∂ q i ∂ f ∂ p i ∂ g − ∂ q i ∂ g ∂ p i ∂ f
这和对易括号很像, 实际上正则量子化的做法就是在经典力学的相空间和量子力学中的态空间建立某种联系
做法是把 广义坐标, 动量这些变量的 Poisson 括号解释为 坐标, 动量算符的对易子
{ q i , p i } = δ i j ↔ [ x i , p j ] = i ℏ δ i j \{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\leftrightarrow [x_i,p_j]=i\hbar \delta_{ij} { q i , p i } = δ ij ↔ [ x i , p j ] = i ℏ δ ij 在有限维系统中无法做到对易关系
经典力学系统中的广义坐标甚至不一定是可数的
比如电磁场, 坐标像 A ⃗ ( x ) \vec{A}(x) A ( x ) E ⃗ ( x ) \vec{E}(x) E ( x )
正则量子化
只要一个理论存在经典极限, 则可以从刻画经典力学的相空间的语言出发, 寻找一种量子力学的态空间的构造
做法是把正则坐标的 Poisson 括号变成态空间算符的对易括号
比如电磁场的正则量子化, 前面提到过电磁场类似于无穷多个无耦合的谐振子, 而每一个谐振子的正则量子化是简单的, 只需要做无穷多个 tensor product
但是做无穷多个 tensor product 是糟糕的事情, 甚至每个态空间都是可数无穷维
正确的做法是做成 Fock space 的 direct product 的形式
即构造真空中的单粒子态, 二粒子态…
则我们自动获得了光子的概念, 必须要有电磁场的光子的解释!
这个做法在量子力学里有一个迷惑的术语: 二次量子化 second quantu
我们永远只做一次量子化!
二次量子化是指做了正则量子化之后把张量积态空间重新解释为 Fock space 的直和
这些量子化的方式是唯一的吗, 为什么是对的?
例如在做电磁场的量子化时我们把电磁场的每一个模式当作一个谐振子
重要的是怎么正确理解量子化: 找到一个量子理论, 让它的经典极限是经典理论
实际上经典理论和量子理论之间没有边界, 他只是量子理论的一个特殊极限, 完全可以存在多个不等价的量子力学系统, 让他们的经典极限对应这个经典理论, 我们找到一个就够了
在正则量子化中, 任意性体现在如何选取态空间, 不同的选取通常导致不同的量子力学系统
在路径积分量子化中, 任意性体现在如何定义路径积分的测度, 不同的测度定义通常可以给出不同的量子力学
既然有多个不等价的量子力学系统, 我们的世界是哪个量子力学?
不等价的意思是他们对观测量的预言不同
由实验决定
带有相互作用的 Schrodinger 方程
怎么在 Schrodinger 方程中加入相互作用?
首先看有哪些相互作用
外势场 V ( x ⃗ ) V(\vec{x}) V ( x )
粒子间的相互作用
依赖于速度的相互作用
可以分类为
幺正的相互作用: 比如 Lorentz 力 , 保持概率守恒
耗散 dissapative 的相互作用: 比如摩擦力, 怎么把依赖于速度的力写入作用量, 是一个好玩的事情, 即需要修改正则动量
实际上当说外势场时, 总是在某种近似的意义上刻画粒子间的相互作用
比如一个平行板电容, 里面的外势场都是板上的带电粒子产生的粒子间的相互作用
即在波恩 - 奥本海默近似意义下的粒子间的相互作用
结果是
i ℏ ∂ ∂ t ψ ( t , x ⃗ ) = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( x ⃗ ) ] ψ ( t , x ⃗ ) i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi(t,\vec{x})=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{x})\right]\psi(t,\vec{x}) i ℏ ∂ t ∂ ψ ( t , x ) = [ − 2 m ℏ 2 ∇ 2 + V ( x ) ] ψ ( t , x ) 一维非相对论性的粒子 + 外势场
多粒子 Schrodinger 方程的例子
首先需要一个刻画多粒子的波函数, 推广是直接的 (不是直接加在一起, 这是一个单粒子态)
正确的做法是张量积
ψ ( t , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 ) = ⟨ x ⃗ 1 , x ⃗ 2 ∣ ψ ⟩ \psi(t,\vec{x}_1,\vec{x}_2)=\braket{\vec{x}_1,\vec{x}_2|\psi} ψ ( t , x 1 , x 2 ) = ⟨ x 1 , x 2 ∣ ψ ⟩ 比如说考虑两个带电粒子
i ℏ ∂ ∂ t ψ ( t , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 ) = [ − ℏ 2 2 m 1 ∇ 1 2 − ℏ 2 2 m 2 ∇ 2 2 + q 1 ϕ ( x ⃗ 1 ) + q 2 ϕ ( x ⃗ 2 ) + q 1 q 2 ∣ x ⃗ 1 − x ⃗ 2 ∣ ] ψ ( t , x ⃗ 1 , x ⃗ 2 ) i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi(t,\vec{x}_1,\vec{x}_2)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2+q_1\phi(\vec{x}_1)+q_2\phi(\vec{x}_2)+\frac{q_1q_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|}\right]\psi(t,\vec{x}_1,\vec{x}_2) i ℏ ∂ t ∂ ψ ( t , x 1 , x 2 ) = [ − 2 m 1 ℏ 2 ∇ 1 2 − 2 m 2 ℏ 2 ∇ 2 2 + q 1 ϕ ( x 1 ) + q 2 ϕ ( x 2 ) + ∣ x 1 − x 2 ∣ q 1 q 2 ] ψ ( t , x 1 , x 2 ) 比如说考虑氢原子的时候, 这就是完整的 Schrodinger 方程
而波恩 - 奥本海默近似
首先先按住原子核, 控制他们的位置, 则这些粒子的势场就变成了一种外势场, 再去解方程, 解出来之后再去看电子的波函数对原子核的反作用, 结果就是所谓交换力, 即共价键
我们也能理解为什么要按住原子核, 因为动能项被粒子质量控制, 在质子质量无穷大的极限下, 质子位置改变就不重要了
传播态和束缚态
前面提到: 自由传播的粒子态的能级往往是连续的, 而束缚的粒子态的能级是离散的
离散的结果并不奇怪, 这在经典力学中也存在: 有限范围内的波动的振动模式也是连续的
1 d 的单粒子
i ℏ ∂ ∂ t ψ ( t , x ) = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( x ) ] ψ ( t , x ) i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi(t,x)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)\right]\psi(t,x) i ℏ ∂ t ∂ ψ ( t , x ) = [ − 2 m ℏ 2 ∇ 2 + V ( x ) ] ψ ( t , x ) 首先找定态
ψ ( t , x ) = φ ( x ) e − i E t / ℏ \psi(t,x)=\varphi(x)e^{-iEt/\hbar} ψ ( t , x ) = φ ( x ) e − i E t /ℏ 得到
E φ ( x ) = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( x ) ] φ ( x ) E\varphi(x)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)\right]\varphi(x) E φ ( x ) = [ − 2 m ℏ 2 ∇ 2 + V ( x ) ] φ ( x ) 即定态 Schrodinger 方程
实际上是做时间的傅立叶变换, 让时间导数对角化了, 但是由于 V ( x ) V(x) V ( x )
束缚态, by definition
即粒子被局限在一个有限大的范围内(并不是概率为 0 ) , 相对于无穷远的自由粒子的能量更低
例如取 V ( x ) : x → ± ∞ V ( x ) → 0 V(x) \colon\quad x\to \pm\infty\quad V(x)\to0 V ( x ) : x → ± ∞ V ( x ) → 0 V ( x ) < 0 ∀ x ∈ R V(x)<0 \quad \forall x\in \mathbb{R} V ( x ) < 0 ∀ x ∈ R E < 0 E<0 E < 0
推荐用 mma 手动凹一个势函数做数值计算玩一玩
这里如何放置边界条件?
理解这个事情的办法是在很远的地方放一个坑, 于是在远处这个地方的坑的波函数就不是 0
在左手边放入一个指数小的边界条件, 然后看 Schrodinger 方程给出右手边的大小
一般只有能量取某些值时右手边的波函数才是指数小
从稍微靠左边的时候开始, 放入一个初始值, 然后往右解
一般来说在解到自由运动的区域时, 波函数会波动, 当碰到右手边的区域时, 右手边的波函数行为与波动的相位十分敏感
要么指数发散要么指数衰减, 一般来说都是指数发散, 于是可以一步一步调整 E E E
定解条件
在 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ V → 0 E < 0 V\to 0\quad E<0 V → 0 E < 0
ψ ( x ) ∼ e ± κ x κ = 2 m ∣ E ∣ / ℏ > 0 x → − ∞ \psi(x)\sim e^{\pm\kappa x}\quad \kappa=\sqrt{2m|E|}/\hbar>0\quad x\to-\infty ψ ( x ) ∼ e ± κ x κ = 2 m ∣ E ∣ /ℏ > 0 x → − ∞ 则
ψ ( x ) = c 1 ψ 1 ( x ) + c 2 ψ 2 ( x ) \psi(x)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x) ψ ( x ) = c 1 ψ 1 ( x ) + c 2 ψ 2 ( x ) 取
ψ 1 ( x ) ∼ e κ x ψ 2 ( x ) ∼ e − κ x \psi_1(x)\sim e^{\kappa x}\quad \psi_2(x)\sim e^{-\kappa x} ψ 1 ( x ) ∼ e κ x ψ 2 ( x ) ∼ e − κ x 所以为了 ψ \psi ψ − ∞ -\infty − ∞ c 2 = 0 c_2=0 c 2 = 0 ψ ( x ) = c 1 ψ 1 ( x ) \psi(x)=c_1\psi_1(x) ψ ( x ) = c 1 ψ 1 ( x )
另一端 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ ψ 1 , ψ 2 \psi_1,\psi_2 ψ 1 , ψ 2 e ± κ x e^{\pm\kappa x} e ± κ x ψ 1 , ψ 2 \psi_1,\psi_2 ψ 1 , ψ 2 x → ∞ x\to\infty x → ∞
ψ 1 → d 1 e + κ x + d 2 e − κ x x → ∞ \psi_1\to d_1e^{+\kappa x}+d_2e^{-\kappa x}\quad x\to\infty ψ 1 → d 1 e + κ x + d 2 e − κ x x → ∞ 归一化要求 d 1 = 0 d_1=0 d 1 = 0
d 1 ( m , V ( x ) , E ) = 0 d_1\left(m,V(x),E\right)=0 d 1 ( m , V ( x ) , E ) = 0 一般来说给定物理系统时, 我们只能去动束缚态的能量
d 1 ( E ) = 0 d_1(E)=0 d 1 ( E ) = 0
只要方程里的势函数不太坏, 则方程解的系数关于方程参数的函数应该是一个行为良好的函数
即 d 1 ( E ) = 0 d_1(E)=0 d 1 ( E ) = 0
推广
让 V V V E E E
如果在远处仍存在一个坑的话, 可以想象的事情是存在一个有限大的隧穿率
所以完整的定态应该是这些波函数的线性组合, 而这个隧穿率应该是任意小的, 则隧穿需要的时间应该是任意长的
所以实际上我们对势函数的形式做了某种外推, 我们并不知道无穷远处有没有势井, 这个近似不仅是势函数在某点的值, 更是我们将理论局限在了一个有限大, 有限长时间的范围内, 在无穷大的时间中粒子可能隧穿到无穷远处的坑
物理理论大抵如此
势的形式和宇宙的命运息息相关
前面提到了 Higgs 粒子
Higgs 势能的坑给了每个粒子质量, 但是这种势是在我们外推的意义上的
而这个势垒的行为和top 夸克的质量 171 G e V 171 GeV 171 G e V 125 G e V 125GeV 125 G e V
Chapter 17 对称性与守恒律
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对称性
某种变换下的不变性, 即我们把对称性理解成了某种变换, 但是问题是这种变换下是什么样的不变性?
这里就存在很多故事
一个例子 H 2 + H_2^+ H 2 + ∣ 1 ⟩ , ∣ 2 ⟩ \ket{1},\ket{2} ∣ 1 ⟩ , ∣ 2 ⟩ P P P
P ∣ 1 ⟩ = ∣ 2 ⟩ P ∣ 2 ⟩ = ∣ 1 ⟩ P\ket{1}=\ket{2}\quad P\ket{2}=\ket{1} P ∣ 1 ⟩ = ∣ 2 ⟩ P ∣ 2 ⟩ = ∣ 1 ⟩ 也许应该存在一个相因子, 但是这不是本质的, 我们可以重定义态消去相因子
我们关注的对称性总是某种动力学对称性, 在时间演化的意义下
动力学对称性(时间演化)
对任意一个系统
∣ A ( t 1 ) ⟩ = c 1 ∣ 1 ⟩ + c 2 ∣ 2 ⟩ \ket{A(t_1)}=c_1\ket{1}+c_2\ket{2} ∣ A ( t 1 ) ⟩ = c 1 ∣ 1 ⟩ + c 2 ∣ 2 ⟩ 然后我们让这个系统做时间演化 t 1 → t 2 t_1\to t_2 t 1 → t 2 ∣ A ( t 2 ) ⟩ \ket{A(t_2)} ∣ A ( t 2 ) ⟩
我们同样可以去对初始态做 parity 变换 P ∣ A ( t 1 ) ⟩ = ∣ B ( t 1 ) ⟩ P\ket{A(t_1)}=\ket{B(t_1)} P ∣ A ( t 1 ) ⟩ = ∣ B ( t 1 ) ⟩ t 2 t_2 t 2 ∣ B ( t 2 ) ⟩ \ket{B(t_2)} ∣ B ( t 2 ) ⟩
动力学对称性的意思是在时间演化之后, 两个独立的状态同样通过 P P P P ∣ A ( t 2 ) ⟩ = ∣ B ( t 2 ) ⟩ P\ket{A(t_2)}=\ket{B(t_2)} P ∣ A ( t 2 ) ⟩ = ∣ B ( t 2 ) ⟩
比如有一个电影, 对他照一次镜子, 你看这个电影能不能看出这个电影被照过镜子
此处有一交换图
这样的后果是
P U ( t 2 , t 1 ) = U ( t 2 , t 1 ) P P\mathcal{U}(t_2,t_1)=\mathcal{U}(t_2,t_1)P P U ( t 2 , t 1 ) = U ( t 2 , t 1 ) P Taylor 展开的结果是
[ P , H ] = 0 [P,H]=0 [ P , H ] = 0 这是对称性的一种定义, 对称变换与哈密顿对易
这显然不只有这种对称性的定义, 如果只和哈密顿交换的话
比如在二态系统, 我们能找到无数种对称性
考虑哈密顿的本征态, 此时哈密顿是对角的, 在这组坐标基下, 可以去写任意的一个算符
Λ = ( λ 1 0 0 λ 2 ) λ 1 , λ 2 ∈ C \Lambda =\begin{pmatrix}\lambda_1& 0\\0 & \lambda_2\end{pmatrix}\quad \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{C} Λ = ( λ 1 0 0 λ 2 ) λ 1 , λ 2 ∈ C 这样的算符都和哈密顿对易, 但显然不是任意的这种算符都叫对称性
比如投影
P = ( 1 0 0 0 ) P =\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} P = ( 1 0 0 0 ) 这也和哈密顿对易, 但我们不把这种东西叫对称性
当我们说一个变换下的不变性的时候, 到底是什么不变?
Wigner: 如果一个变换是对称性的话, 应该保证观测量不变
而全部的观测量都应该有这样的形状
∣ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 − Wigner |\braket{\chi|\psi}|^2\quad- \text{Wigner} ∣ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 − Wigner 去问: 满足上面这种东西不变的算符有什么性质?
考虑一个可能的对称性变换
∣ ψ ⟩ → U ∣ ψ ⟩ \ket{\psi}\to\mathcal{U}\ket{\psi} ∣ ψ ⟩ → U ∣ ψ ⟩ 要点是这个算符应该作用在所有态上
∣ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 → ∣ ⟨ χ ∣ U † U ∣ ψ ⟩ ∣ 2 |\braket{\chi|\psi}|^2\to|\braket{\chi|\mathcal{U}^\dagger \mathcal{U}|\psi}|^2 ∣ ⟨ χ ∣ ψ ⟩ ∣ 2 → ∣ ⟨ χ ∣ U † U ∣ ψ ⟩ ∣ 2 观测量的不变性要求这个结果不变
这种对称性的刻画不涉及系统的动力学!
这和时间演化没有关系
所以满足这种等式的算符都是什么?
一种可能是
⟨ χ ∣ ψ ⟩ = ⟨ χ ∣ U † U ∣ ψ ⟩ \braket{\chi|\psi}=\braket{\chi|\mathcal{U}^\dagger \mathcal{U}|\psi} ⟨ χ ∣ ψ ⟩ = ⟨ χ ∣ U † U ∣ ψ ⟩ 这种情况下
1 = U † U 1=\mathcal{U}^\dagger\mathcal{U} 1 = U † U 即 U \mathcal{U} U
这件事情几乎是对的
Wigner 定理
保持量子力学中所有观测量不变的对称性算符 U \mathcal{U} U
U \mathcal{U} U 1 = U † U 1=\mathcal{U}^\dagger\mathcal{U} 1 = U † U U \mathcal{U} U
这个很重要, 一定要记住
奇怪的事情是时间反演, 时间在量子力学中是非常特殊的
量子力学刻画一些时间反演不变的系统, 一般来讲 Schrodinger 方程刻画一些时间反演不变的系统
但是 Schrodinger 方程是时间的一阶方程, 如果做一次时间反演会出现一个负号
如何保证 Schrodinger 方程是时间反演不变的?
回忆热扩散方程
∂ u ∂ t + D ∇ 2 u = 0 \frac{\partial u}{\partial t}+D\nabla^2u=0 ∂ t ∂ u + D ∇ 2 u = 0 但 Schrodinger 方程中有复数, 如果做时间反演的同时再去做复共轭, 方程又不变号了
时间反演
这不可以是一个线性算符
考虑时间反演算符 T \mathcal{T} T
T X ^ T − 1 = X ^ T P ^ T − 1 = − P ^ \mathcal{T}\hat{X}\mathcal{T}^{-1}=\hat{X}\quad\mathcal{T}\hat{P}\mathcal{T}^{-1}=-\hat{P} T X ^ T − 1 = X ^ T P ^ T − 1 = − P ^ 后果是对于量子力学的对易关系
[ X ^ , P ^ ] = i ℏ [\hat{X},\hat{P}]=i\hbar [ X ^ , P ^ ] = i ℏ 得到
− [ X ^ , P ^ ] = T ( i ℏ ) T − 1 = − i ℏ -[\hat{X},\hat{P}]=\mathcal{T}(i\hbar)\mathcal{T}^{-1}=-i\hbar − [ X ^ , P ^ ] = T ( i ℏ ) T − 1 = − i ℏ 这表明
[ i , T ] ≠ 0 T i = − i T [i,\mathcal{T}]\neq 0\quad \mathcal{T}i=-i\mathcal{T} [ i , T ] = 0 T i = − i T 这表明刻画时间反演的算符是一个反线性, 反幺正的算符
但是让我们忘掉时间反演
假设对称性算符就是幺正算符
即幺正算符形如
U = ( e i δ 1 ⋱ e i δ n ) \mathcal{U}=\begin{pmatrix}e^{i\delta_1}\\ & \ddots & \\ &&e^{i\delta_n}\end{pmatrix} U = e i δ 1 ⋱ e i δ n 这和第一种动力学对称性的关系是什么?
有没有和 H H H
虽然你知道如果变换和哈密顿不对易, 就可能找不到守恒量
但在经典力学中, 作用量在 Lorentz 变换下是不变的
在狭义相对论中, 可以说 Lorentz 变换导致一个守恒量, 但这和上面似乎是矛盾的
宇称 parity
在氢分子离子系统中, 宇称的定义是简单的
P ∣ 1 ⟩ = ∣ 2 ⟩ P ∣ 2 ⟩ = ∣ 1 ⟩ P\ket{1}=\ket{2}\quad P\ket{2}=\ket{1} P ∣ 1 ⟩ = ∣ 2 ⟩ P ∣ 2 ⟩ = ∣ 1 ⟩ 容易验证哈密顿的两个本征态也是宇称的本征态
P ∣ ± ⟩ = ± ∣ ± ⟩ P\ket{\pm}=\pm\ket{\pm} P ∣ ± ⟩ = ± ∣ ± ⟩ 叫 + + + − - −
这个也要记忆
即什么的状态叫偶宇称, 什么叫奇宇称
这已经假设了这个态是宇称的本征态
这件事可以推广到一般系统
对任意系统, 可以对角化宇称算符
P = ( e i δ 1 ⋱ e i δ n ) P=\begin{pmatrix}e^{i\delta_1}\\ & \ddots & \\ &&e^{i\delta_n}\end{pmatrix} P = e i δ 1 ⋱ e i δ n 注意到
P 2 − 1 = 0 P^2-1=0 P 2 − 1 = 0
原则上也许是
P 2 − e i δ = 0 P^2 -e^{i\delta}=0 P 2 − e i δ = 0 重要的是这个相位应该对所有态是一样的, 则可以重定义态 or 重定义算符, 使得 δ = 0 \delta =0 δ = 0
这表明
e i δ j = ± 1 e^{i\delta_j}=\pm 1 e i δ j = ± 1 即宇称变换只有两个本征态: 奇宇称和偶宇称
若宇称守恒 [ P , H ] = 0 [P,H]=0 [ P , H ] = 0
能级意思是 哈密顿的本征态
例子:
考虑一个哈密顿的本征态 ∣ E ⟩ \ket{E} ∣ E ⟩
H ∣ E ⟩ = E ∣ E ⟩ H\ket{E} =E\ket{E} H ∣ E ⟩ = E ∣ E ⟩ 考虑宇称变换 P ∣ E ⟩ P\ket{E} P ∣ E ⟩
H ( P ∣ E ⟩ ) = E ( P ∣ E ⟩ ) H(P\ket{E})=E (P\ket{E}) H ( P ∣ E ⟩ ) = E ( P ∣ E ⟩ ) 一定有 P ∣ E ⟩ ∝ ∣ E ⟩ P\ket{E}\propto \ket{E} P ∣ E ⟩ ∝ ∣ E ⟩ ∣ E ⟩ \ket{E} ∣ E ⟩
到底什么是宇称?
需要引入一些新的术语
左右手系与分立变换
前面讲的宇称变换的意思是照镜子, 即反一个坐标的符号, 这导致左手系和右手系变换
什么叫左和右?
比如在一个系 ( x ^ 1 , x ^ 2 , x ^ 3 ) (\hat{x}^1,\hat{x}^2,\hat{x}^3) ( x ^ 1 , x ^ 2 , x ^ 3 )
ϵ i j k x ^ 1 i x ^ 2 j x ^ 3 k = { + 1 右手系 − 1 左手系 \epsilon_{ijk}\hat{x}_1^i\hat{x}_2^j\hat{x}_3^k=\begin{cases}+1 \quad \text{右手系}\\ -1\quad\text{左手系}\end{cases} ϵ ij k x ^ 1 i x ^ 2 j x ^ 3 k = { + 1 右手系 − 1 左手系 但这是一个假的标量, 这个标量在宇称变换下改变符号, 即 pseudo scalar
有多种定义宇称变换的方法
照镜子 z → − z z\to -z z → − z x ^ → − x ^ \hat{x}\to-\hat{x} x ^ → − x ^
如果空间旋转是对称性, 那么这两种定义是等价的
因为第一种宇称变换为
P 1 = ( 1 1 − 1 ) P_1 =\begin{pmatrix}1 \\&1&\\&&-1\end{pmatrix} P 1 = 1 1 − 1 第二种定义为
P 1 = ( − 1 − 1 − 1 ) P_1 =\begin{pmatrix}-1 \\&-1&\\&&-1\end{pmatrix} P 1 = − 1 − 1 − 1 他们相差一个旋转
在更高维度下看 , 宇称是和单位变换不连通的那个变换, 即分立变换
例子, 在 d = 2 d=2 d = 2
P = ( 1 − 1 ) P =\begin{pmatrix}1\\&-1\end{pmatrix} P = ( 1 − 1 ) 和
P = ( − 1 − 1 ) P =\begin{pmatrix} -1&\\&-1\end{pmatrix} P = ( − 1 − 1 ) 可以看见第二种不是宇称变换, 它是旋转
在 n n n
弱相互作用宇称不守恒
强, 电磁, 引力相互作用宇称守恒
这里在讨论的总是一个量子系统
哈密顿为
H = H free + H weak + H strong + H EM + H gravity H = H_{\text{free}}+H_{\text{weak}}+H_{\text{strong}}+H_{\text{EM}}+H_{\text{gravity}} H = H free + H weak + H strong + H EM + H gravity 所以宇称不守恒的意思是
[ P , H weak ] ≠ 0 [P,H_{\text{weak}}]\neq 0 [ P , H weak ] = 0 这实际上是世界上的费米子是分手性的, 它们通过宇称变换联系在一起
后面是一些科普(
为什么 DNA 是右旋的? 为什么分子有宇称破坏
当时人们都没有想过宇称和时间反演居然可以不是自然界的基本对称性
Λ 0 \Lambda^0 Λ 0 Λ 0 \Lambda^0 Λ 0 0 0 0 s = 1 / 2 s=1/2 s = 1/2 m ≃ 1116 MeV m\simeq 1116\,\text{MeV} m ≃ 1116 MeV ( u d s ) (uds) ( u d s )
( u d ) ( c s ) ( t b ) + 2 3 − 1 3 \begin{pmatrix}u\\ d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\ s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\ b\end{pmatrix}\quad\begin{align}+\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{align} ( u d ) ( c s ) ( t b ) + 3 2 − 3 1 知道
Λ 0 → p + + π − \Lambda^0 \to p^+ +\pi^{-} Λ 0 → p + + π − 这个过程由弱作用控制, 其中
Λ 0 = u d s p + = u u d π − 1 = d u ‾ \Lambda^0 =uds\quad p^{+}=uud\quad \pi^{-1}=d\overline{u} Λ 0 = u d s p + = uu d π − 1 = d u 当时物理学家并不知道这个, 但已经知道了这个反应被弱作用控制
弱作用的意思是在考虑的能量区间里, 弱作用的效应很弱
即由弱作用主导的粒子衰变的寿命是很长的
称带电的 π \pi π π \pi π
当 Λ 0 \Lambda^0 Λ 0 W , Z W, Z W , Z s s s W − W^- W − π − \pi^- π − u d ud u d u u d uud uu d s s s W + W^+ W +
我不明白.
结果是标准模型中发射 Z Z Z