关心的是空间点过程常常关心的是一些分布的随机样本点目标是特征

不一定是欧式几何中的空间统计, 也不一定是标量场的统计

Spatial clustering description

一种方式是在空间格点中计数 $N$

估计密度 $n=V/N$ , 可以定义平均密度 $\bar{n}=\braket{n}=\braket{N}/V$ 同样有 overdensity $\delta =\frac{n-\bar{n}}{\bar{n}}$

Counts - in -cells

现在从一个计数的得到一个分布 $p(N|V)$ 对于不同的格点 $V$

对于一个随机的样本, CiC 的结果是 Poisson 分布

则随机样本的 overdensity 的方差 $\sigma_V^2=\mathrm{Var}(N)/\braket{N}$

对于一般的样本, 一般是一个 poisson 成分加上在格子中的 clustering 成分

这里 $\xi(\mathbf{r})$ 是两点相关函数

2 - point correlation function

考虑距离为 $\mathbf{r}$ 的两个体积元, 问期望有多少点对

一般的形式为

\mathrm{d}\mathcal{P}_{12}=\bar{n}^2(1+\xi(\mathbf{r}))\mathrm{d}V_1\mathrm{d}V_2

$\xi$ 即两点相关函数

$\xi>0$ 两点是相关的
$\xi=0$ 两点是无关的
$\xi$ <0 两点负相关

注意到局域的数密度为

n(\mathbf{x})=\bar{n}(1+\delta(\mathbf{x}))

则成对点的期望

\begin{align}\mathrm{d}\mathcal{P}_{12}&=\braket{n\mathrm{d}V_1\cdot n\mathrm{d}V_2}\\&=\\&=\bar{n}^2[1+\braket{\delta\delta}]\end{align}

即相关函数的定义为

\xi(\mathbf{r})=\braket{\delta(\mathbf{x+r})\delta(\mathbf{x})}

在真实的数据中, 这个平均值的计算容易收到选择效应影响比如角向的选择效应与完备度, 径向也存在不均匀性处理这些东西需要一个随机样本做参照

比如一个被画了一些mask的天区, 需要一个随机样本作为参照这些随机样本可以将一些边界的效应修正

则可以从计数中得到分布函数去问距离为 $\Delta r$ 的点对有多少 $\widehat{DD}$ , 对随机样本也这样做 $\widehat{RR}$ , 也可以去用随机样本的数据样本做点对 $\widehat{DR}$ 进行归一化

DD = \frac{\widehat{DD}}{N_D(N_D-1)/2}\quad RR=\frac{\widehat{RR}}{N_R(N_R-1)/2}\quad DR=\frac{\widehat{DR}}{N_R N_D}

则相关函数的估计为

\hat{\xi}_{PH}=\frac{DD}{RR}-1

经常被用在周期性的盒子里, 经常在模拟中使用
问题是受边界条件影响很大

并且模拟此时 $RR$ 的结果是解析的

RR = \frac{4\pi}{3}\frac{(r+\Delta r)^3-r^3}{V}

在真实的数据中, 需要考虑 $DR$ 项

Landy - Szalay estimator

\hat{\xi}_{LS}=\frac{DD-2DR+RR}{RR}

也有 Hamilton estimator

真实的两点关联函数为在尖尖处对应重子声波振荡, 这是一个用于标定宇宙膨胀的

同样可以做各向异性的测量, 把距离按视线方向分解

\mathbf{s}_{\parallel}

可以定义夹角

测量的结果是则可以用来测距, 或者检验广义相对论

对于大量数据, 还可以做一些压缩方式, 比如多极展开比如按 Legendre 展开

\xi_l(s)=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1\xi(s,\mu)\mathcal{L}_l(\mu)\mathrm{d}\mu

然后去看这个谱的分布

在数据不够好的时候, 也可以做径向压缩, 得到投影相关函数

w_p()

角向也可以做

另一种做法是计算 marked 2PCF 即按照一些物理量分布的权重给不同点加权

\mathcal{M}(\mathbf{r})=\frac{1+W(\mathbf{r})}{1+\xi(\mathbf{r})}

当 $\mathcal{M}>1$ 时,

除了标量场, 其他场也可以做相关函数比如速度场, 形变场(张量场) , Lyman $\alpha$ 森林分布, 温度场, 极化场

tools

第一个介绍的是老师写的

Clustering models from

现在去理解宇宙学中计算得到的相关函数有什么含义

Hierarchical universe — 1900s 认为宇宙是一个分层的结构今天我们对宇宙结构的理解也差不多, 并且主导宇宙的相互作用都是引力, 所以每层的结构也很像

怎么给宇宙建模?

Neyman - Scott process - 1953 认为宇宙的第一级结构是一些随机分布的星系团, 然后在第二级结构给每个星系团按照 Gauss 分布分配星系 halo model
$\xi = \xi_{2h} +\xi_{1h}$
2 - halo term 考察 haloes 之间的关联 1 - halo term 考察 haloes 内部的关联在无噪声的情形, 2 - halo terms 是 0
$\xi_{1h}\propto \int \rho(\mathbf{x})\rho(\mathbf{x+r})\mathrm{d}^3x$
这样

对于真实宇宙, 按上面的结果计算 1 - halo term : 一个 universal 的密度分布

Navarro -
E

2 - halo term : 有偏的采样, 偏差反映了暗物质密度分布

\xi_{2h}(r)\approx b_1^2\xi_m(r)

对于暗物质分布, 可以通过 CMB 的分布得到涨落大小为 $10^{-5}$ 来源于宇宙早期的量子涨落, 这是 Gauss 随机场即涨落的分布是 gauss分布

Gauss 随机场

这是一个多维 gauss 分布

p(\mathbf{\delta})=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\mathbf{M}|^{1/2}}\exp\left[-\frac{1}{2}\mathbf{\delta}^T\mathbf{M}^{-1}\delta\right]

协方差矩阵实际上是两点相关函数

即一个均匀的 Gauss 随机场可以由它的两点分布函数完全决定

Fourier 空间中的密度场

则一个 gauss 场的 fourier 变换后还是 gauss 场

问: 这个 gauss 场的协方差矩阵是什么, 则可以用原 gauss 场计算

在各向同性的假设下

即

于是可以定义功率谱, 即相关函数的 fourier 变换

得到

即这个协方差矩阵是对角的, 不同的模式之间是不相关的 (对 gauss 分布甚至是独立的)

gauss 随机场生成

考虑在 k 空间生成不同的 guass 分布 (不同模式是独立的)

gauss 分布可以使用 Box - Muller 变换得到

做逆变换即可得到 gauss 场

CMB 的结果接近于 $\alpha=-1$ 的功率谱

窗函数

对于有限的观测窗口, 观测到的实际上相差一个窗函数

在 k 空间变为卷积

这个结果将 k 空间不同模式的不相关性破坏了

一般会使用带权的结果作为 estimator

如果做 FFT 需要均匀采样即做 particle assignment

一种方式是 NGP CIC

最后的功率谱是

按照不同的网格进行这么做

宇宙学上的功率谱

同样可以做角向的功率谱, 即做球谐函数展开

对于各向同性场

这就是 CMB 的结果

Beyond 2 - point

引力会让分布不再 gaussian

分布会变得更奇怪, 2 点相关函数不能提取分布的所有信息了

一个例子是此时这两种情形分布的功率谱是一致的实际上差别在相位上

一种推广是去做多点相关函数

比如 3 点相关函数

并且在傅立叶空间也有对应物

同样有拓扑结构的统计按照空间点按照半径的连接结构和半径的关系

同样的东西比如最小生成树

也有去找宇宙中的空洞的方法

上面的拓扑方法需要连续分布, 对于离散场需要做一个 estimator 得到连续场的估计

实际上这些方法在地理中使用得更多因为地理在估计地形的时候不能在所有位置采样一些方法比如三角化, 这在计算机图形学中使用三角化方法也有一些问题, 比如三角化方法不唯一, 一种好的方法是三角剖分 Delaunay Triangulation 这种方法在不存在四点共圆的情形时三角化的方法是唯一的是 Vorono

这种方法也常用于宇宙学中的密度估计

层级估计

不去做点的估计, 而是直接正向建模场, 再去拟合场本身

lec 13 spatial statistics