Ayaya Notes

lec 12 time series analysis

时间序列 实际上一般是二维数据

目标是

典型的时间序列 包括周期性的 periodic , 比如变星的光变曲线 爆发性的 burst , 比如 gamma 射线暴 chirp 比如引力波 但是一般的真实数据并不是这样的 总之我们将面临的数据: 采样不均匀, 误差极大, 存在 gap , 探测极限等

基本方法 时域分析 频域分析 时-频域分析

傅立叶分析

傅立叶变换即

实际上是使用了周期性的基函数 频谱包含两部分: 振幅和相位

傅立叶变换的有很多性质

同样也有对称性

卷积性质

事实上大自然有一大部分卷积过程

Summary

在采样等间隔的情形 Fourier 变换是容易进行的, 此时为 DFT

Nyquist frequency

fNyf_{Ny}

考虑一个 Gauss 在高频采样下得到的傅立叶变换

在低频区域可以复原原先函数的信息

但如果采样点较稀疏, 高频信息会混合, 在 Nyquist frequency 以外部分的信息丢失了

功率谱, 即描述了傅立叶基的权

P(f)=∣H(f)∣2+∣H(−f)∣2P(f)=|H(f)|^2 + |H(-f)|^2

有 parseval’s theorem

在离散情形也有估计

FFT: Fast Fourier Transform 将计算复杂度降低到 O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N\log N)

对于真实数据, 同样采用的是 Bayes 方法

直接的 DFT 并不容易使用, 即使对于均匀采样也有噪声导致的问题

另一种策略为 periodogram

对于采样的数据 Schuster periodogram

PS(f)=2NV[R(f)2+I(f)2]P_S(f)=\frac{2}{NV}[R(f)^2+I(f)^2]

在没有噪声时等价于 DFT

例子: 假设对一个周期函数加上 gauss 噪声

即使加了一个 gauss 噪声, 也能看出一个主要的频率

同样考虑 aliasing 效应

对于这种非均匀采样, 同样有periodogram

此时真实数据采样的有效数据比前面均匀采样的数量多

为何非周期采样的效果有这么强 Jaynes 证明了对于简单的单频率信号, 即使有 gauss 噪声, 此时的频率后验正比于 periodogram 的exp 指数把这种效应更放大了

这种方法等价于 chi - squared 方法

对于更多推广 VanderPlas

Localized & stochastic signals

对于爆发信号

yB(t∣)y_B(t|)

同样, 对于 chirp 信号

这两种信号都是局域的, 此时傅立叶变换就不是一个好方法了

另一种方法为 spectrogram

spectrogram 即为短时的傅立叶变换

对于 chirp 类型的事件是有用的

一个例子是 LIGO 的数据处理

Wavelet Transform

实际上也是局域的傅立叶变换, 即选择一个特定的窗口函数

Hw(t0;f0,Q)=∫−∞∞H_{w}(t_0;f_0,Q)=\int_{-\infty}^{\infty}

窗函数为小波函数

可以得到小波功率谱 scalogram

对于 burst 信号

对于 chirp 信号

表现得很好

随机过程 stochastic process

一个随机过程是一系列被时间标记的随机变量 {y(t):t∈R}\{y(t):t\in\mathbb{R}\}

一些例子是

自相关函数

描述不同点之间的关联, 可以引入相关函数

CF(τ)=1σfσglim⁡T→∞CF(\tau)=\frac{1}{\sigma_{f}\sigma_g}\underset{T\to\infty}{\lim}

同样有自相关函数

ACF 的性质

  • ACF(0)=1ACF(0)=1
  • 对于
  • 实际上是功率谱的傅立叶变换

一个例子是有阻尼的随机游走 即为

y(t+Δt)=y(t)e−Δt/τy(t+\Delta t)=y(t) e^{-\Delta t/\tau}

现在需要提取衰减信号, 做法是做离散版本自关联函数

模拟计算得到