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chapter 2 群表示

群表示

基本概念

群表示的概念来自将群元素视为线性空间上的线性变换, 我们已经看到了很多例子, 下面给出一个一般的表述

为了方便, 下面先简单假设讨论有限群, 对非有限群的情况会特地区分

定义

考虑群 GG , 一个群 GG 在线性空间 VV 上的线性表示是指一个同态

ρ ⁣:G→GL(V)\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)

同态结构可以给出一些简单的性质

ρ(1G)=IdVρ(g−1)=ρ(g)−1\rho(1_G)=\mathrm{Id}_V\quad \rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}

称 VV 是 GG 的表示空间, 在不混淆的情况, 也称 VV 是 GG 的一个表示

同样, 我们先假设 VV 是有限维的

称 VV 的维数为表示的维数, 不难看到, 若选择了 VV 上的一组基 (ei)(e_i) 之后, GG 的线性表示能写成矩阵形式, 此时称为矩阵表示

从结构性的观点上看, 表示 VV 并不代表一个表示, 真正的关键是空间 VV 的同构类, 这导致我们应该也明确一个表示如何分类

定义 同构/相似

若 VV 和 V′V' 都是群 GG 的表示, 称他们相似/同构 isomorphic , 若存在线性空间的同构 τ ⁣:V→V′\tau \colon V\to V' 满足

τ∘ρs=ρs′∘τ∀s∈G\tau\circ \rho_s = \rho'_s \circ \tau \quad \forall s\in G

特别的, 同构的表示具有相同的维数

先看群表示的一些例子, 从中可以看出有限群的一些结构

群 GG 的一个一维表示是一个函数

ρ ⁣:G→C×\rho\colon G\to\mathbb{C}^{\times}

由于 GG 是有限群, 这表明 ρ(s)\rho(s) 都是 C\mathbb{C} 上的单位根(每个群元素都是有限阶的, 在同态下给出 C\mathbb{C} 上的代数方程), 特别的 ∣ρ(s)∣=1|\rho(s)|=1

设群 GG 的阶为 gg , 且 VV 的维数为 gg , 选择由群元素 tt 标记的一组基 (et)t∈G(e_t)_{t\in G} 对 s∈Gs\in G , 让 ρs\rho_s 将 ete_t 映至 este_{st} . 这实际上定义了一个线性表示, 这称为 GG 的 regular representation

表示的维数等于 GG 的阶, 注意到实际上 VV 上的基可以被 ρs\rho_s 生成 es=ρs(e1G)e_s=\rho_s(e_{1_G}) , 即 e1e_1 的像生成了 VV 的一组基

相反地, 取子空间 WW , 使其被其包含的向量 ww 在 GG 的表示的所有像下能形成 WW 的一组基

W=Span{ρs(w):s∈G}W=\mathrm{Span}\{\rho_s(w):s\in G\}

则 WW 同构于 GG 的 regular representation . 因为可以定义同构 τ:V→W\tau:V\to W 合于 τ(es)=ρs(w)\tau(e_s)=\rho_s(w)

更一般地, 考虑群 GG 作用在有限集 XX 上, 让 VV 选择一组由 XX 中的元素标记的基 (ex)x∈X(e_x)_{x\in X} 定义表示 ρs(ex)=esx\rho_s(e_{x})=e_{sx} 对 s∈Gs\in G , 如此给出的线性表示叫 permutation representation associated with XX

上面的 ρs\rho_s 定义为什么是线性表示, 这来自于群作用的置换性, 因为 ρs(et)=est\rho_{s}(e_t)=e_{st} 现在改变 tt 则 ρs\rho_s 在这组基下的像一一遍历了整个基, 所以这是一个同构, 并且可以看到在这组基下表示矩阵为置换矩阵 在下面群作用的例子是上面这个版本的推广

子表示与不可约表示

定义 子表示

设 ρ ⁣:G→GL(V)\rho \colon G\to \mathrm{GL}(V) 是线性表示, WW 是 VV 的线性子空间. 若 WW 在 GG 的作用下封闭, 即任意 x∈Wx\in W , 都有 ρs(x)∈W\rho_s(x)\in W 对任意 s∈Gs\in G , 则 ρsW=ρs∣W\rho_s^W=\rho_s \big|_W 是 WW 到自身的同构, 并且满足同态, 则

ρW ⁣:G→GL(W)\rho^W\colon G\to\mathrm{GL}(W)

是 WW 的线性表示, 称其为 VV 的子表示

一个子表示的例子来自于正则表示, 取由 x=∑s∈Gesx=\sum_{s\in G} e_s 生成的线性空间, 则限制在其上得到一个 1 维表示, 满足 ρsx=x\rho_s x=x 对任意 s∈Gs\in G , 并且 WW 同构于单位表示

在区分出子表示后, 直觉上被子表示排除开的那一部分空间应该也对表示封闭, 这给出了一种对表示空间的分割方法

定理

设 ρ ⁣:G→GL(V)\rho\colon G \to \mathrm{GL}(V) 是一个线性表示, 且子空间 WW 在表示下封闭, 则存在 WW 在 VV 中的补空间 W0W^0 使其也对表示封闭

证:

证明的想法来自于线性代数, 即将这个补空间视作某种投影映射给出的子空间, 注意到补空间并非唯一, 而补空间实质上都是投影映射的核, 如果这个投影与任意表示都是交换的, 则表示对核也是封闭的, 故需要构造一个合适的投影

首先选取 WW 在 VV 中的任意补空间, 并给出一个投影 p ⁣:V→Wp\colon V\to W , 则补空间 W′=ker⁡pW' =\ker p 但是一般情况下

pρs≠ρspp\rho_s \neq \rho_sp

无法让交换性质满足, 这需要使用一种平均化的想法, 构造一个新的投影

p0=1∣G∣∑s∈Gρs−1⋅p⋅ρsp^0 =\frac{1}{|G|}\sum_{s\in G}\rho_s^{-1}\cdot p\cdot\rho_s

先证明这是投影, 由于 p ⁣:V→Wp\colon V\to W , 且 ρs\rho_s 对 WW 封闭, 故这是一个投影, 然后再说明交换

对任意 t∈Gt\in G , 按照群本身的置换性质

ρt−1⋅p0⋅ρt=p0  ⟹  ρt⋅p0=p0⋅ρt\rho_t^{-1} \cdot p^0\cdot \rho_t=p ^0\implies \rho_t \cdot p^0 =p^0\cdot \rho_t

从而对于任意 x∈ker⁡p0x\in \ker p^0 , 有

p0(ρt(x))=ρt(p0(x))=0  ⟹  ρt(x)∈ker⁡p0p^0 (\rho_t(x))=\rho_t (p^0(x))=0\implies \rho_t(x)\in \ker p^0

即对该补空间 W0=ker⁡p0W^0=\ker p^0 封闭

如果 VV 上还配备了内积结构 (⋅∣⋅)(\cdot|\cdot) , 则还可以采取平均化的手段定义群作用不变的内积

(x∣y)=1∣G∣∑t∈G(ρtx∣ρty)(x|y)=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}(\rho_tx|\rho_t y)

这样, 由该内积诱导的正交补也是一个对表示封闭的子空间, 并且注意到该内积对表示不变, 意味着若 VV 的基为标准正交基, 则 GG 的矩阵表示为酉矩阵, 因为

(ρs)ij=(ei∣ρsej)=(ρs−1ei∣ej)=(ρs−1)ji∗  ⟹  (ρs)ik(ρs)jk∗=(ρs)ik(ρs−1)kj=δij(\rho_s)_{ij} =(e_i|\rho_se_j)=(\rho_s^{-1}e_i|e_j)=(\rho_s^{-1})_{ji}^*\implies (\rho_s)_{ik}(\rho_s)_{jk}^*=(\rho_s)_{ik}(\rho_s^{-1})_{kj}=\delta_{ij}

这正是酉矩阵的定义

接着, 对任意 x∈Vx\in V 我们都有分解 x=w+w0x=w+w^0 满足 w∈W,w0∈W0w\in W,w^0\in W^0 , 由 ρs\rho_s 的封闭性, 我们有

ρsx=ρsw+ρsw0\rho_s x=\rho_sw+\rho_sw^0

每项各自仍在各自的子空间中, 这表明只需要知道 WW 和 W0W^0 上的表示就足以确定 VV 上的表示

并且有自然的直和分解

V=W⊕W0V= W\oplus W^0

这告诉我们在 WW 和 W0W^0 构造的基 (w,w0)(w,w^0) 上, W⊕W0W\oplus W^0 上的矩阵表示有自然的分块对角形式

(Rs00Rs′)\begin{pmatrix}R_s&0\\0&R'_s\end{pmatrix}

定义 不可约表示

设 ρ ⁣:G→GL(V)\rho\colon G\to \mathrm{GL}(V) 是 GG 的线性表示, 称表示是不可约的或者简单(simple)的, 若对于非空的 VV , 除了 {0}\{0\} 和 VV 以外, 没有对 GG 封闭的子空间.

根据上面的定理, 实际上在说 VV 不可能是两个子表示的直和, 除了 trivial 的分解. 一个 1 维表示显然是不可约的

不可约表示可以从一个表示逐步拆分, 做法是找表示的稳定子空间

定理

任何表示都是不可约表示的直和

证: 做法是对表示的维数归纳, 对 dim⁡V=0\dim V=0 的情况显然是成立的, 现在考虑 dim⁡V≥1\dim V\geq 1

若 VV 是不可约的, 则已经证完了, 反之按照定义, 存在稳定子空间的直和分解

V=V′⊕V′′V=V'\oplus V''

并且 dim⁡V′,dim⁡V′′<dim⁡V\dim V',\dim V'' <\dim V , 根据归纳假设, 它们是不可约表示的直和, 完成证明

一般来说这样的直和分解不一定是唯一的, 例如对于表示 ρs=Id\rho_s =\mathrm{Id} 可以一直做直和分解做到每个基生成的子空间上去, 但是基的选择不是唯一的. 但是后面会看到不可约子表示的数量不依赖于分解

表示的张量积

直和是对表示空间的分解的内在观点, 当然也可以构造更大的表示空间, 但是对于一般的两个空间, 例如在真实的物理问题中涉及的空间, 强行构造直和可能没有直观的理解. 另一种构造更大表示的方式是通过张量积, 也叫 Kronecker 积

定义 张量积

对于线性空间 V1,V2V_1,V_2 , 和线性空间 WW , 若配备映射 (x1,x2)↦x1⋅x2(x_1,x_2)\mapsto x_1\cdot x_2 从 V1×V2→WV_1\times V_2 \to W 称 WW 为 V1V_1 和 V2V_2 的张量积, 若满足

  1. x1⋅x2x_1\cdot x_2 对两个变量都是线性的
  2. 若 (ei1)(e_{i_1}) 是 V1V_1 的一组基, (ei2)(e_{i_2}) 是 V2V_2 的一组基, 则 (ei1⋅ei2)(e_{i_1}\cdot e_{i_2}) 是 WW 的一组基

这个空间存在, 且至多相差一个同构意义下唯一, 记作 V1⊗V2V_1\otimes V_2

现在考虑表示 ρ1 ⁣:G→GL(V1)\rho^1\colon G \to\mathrm{GL}(V_1) 和 ρ2 ⁣:G→GL(V2)\rho^2\colon G\to\mathrm{GL}(V_2) , 对任意 s∈Gs\in G , 可以构造 ρs∈GL(V1⊗V2)\rho_s\in\mathrm{GL}(V_1\otimes V_2)

ρs(x1⋅x2)=ρs1(x1)⋅ρs2(x2)∀x1∈V1,x2∈V2\rho_s(x_1\cdot x_2)=\rho^1_s(x_1)\cdot \rho^2_s(x_2)\quad \forall x_1\in V_1,x_2\in V_2

张量积空间的双线性性保证这是一个线性映射

一种验证方式是按照张量积的思路, 首先这个映射是 V1×V2V_1\times V_2 的双线性函数, 限制到张量积上给出唯一的线性映射. 这使用了张量积的泛性质: 张量积空间可以被使得 V1×V2V_1\times V_2 上的双线性函数线性化的空间唯一定义 另一种做法是按照上面的关系先定义所有基的像, 然后逐向量地定义其在 ρs\rho_s 下的像, 这样定义一个线性映射

而表示满足对 GG 为同态和 ρs\rho_s 是同构都可以约化到原空间表示上进行

将其记作

ρs=ρs1⊗ρs2\rho_s =\rho_s^1\otimes \rho_s^2

若选择了各自的基, 则也可以写出张量积表示的矩阵表示

ρs(ej1⋅ej2)=∑i1,i2ri1j1(s)ri2j2(s) ei1⋅ei2\rho_s(e_{j_1}\cdot e_{j_2})=\sum_{i_1,i_2}r_{i_1j_1}(s)r_{i_2 j_2}(s)\, e_{i_1}\cdot e_{i_2}

这看起来就不一定能写成一个简单矩阵了, 但是在张量积空间矩阵表示下这是一个矩阵 因为每个基实际携带了两个指标

张量积空间的对称与反对称化

考虑 V1=V2=VV_1=V_2=V 的情况, 我们有自然的 V⊗VV\otimes V 上的自同构

θ(ei⋅ej)=ej⋅ei∀i,j\theta(e_i\cdot e_j)=e_j\cdot e_i \quad \forall i,j

这导致 θ(x⋅y)=y⋅x\theta(x\cdot y)= y\cdot x 对 x,y∈Vx,y\in V , 并且 θ\theta 无关基的选取, 合于 θ2=1\theta^2 =1 , 根据 θ\theta 的特征子空间, V⊗VV\otimes V 上有自然的直和分解

V⊗V=Sym2(V)⊕Alt2(V)V\otimes V= \mathbf{Sym}^2 (V)\oplus \mathbf{Alt}^2(V)

其中 Sym2(V)\mathbf{Sym}^2(V) 满足任意 zz 有 θ(z)=z\theta (z)=z , 另一个就是 θ(z)=−z\theta(z)=-z 两个空间的一组基为

(ei⋅ej+ej⋅ei)i≤j∈Sym2(V)(ei⋅ej−ej⋅ei)i<j∈Alt2(V)(e_i\cdot e_j+e_j\cdot e_i)_{i\leq j}\in \mathbf{Sym}^2(V)\quad (e_i\cdot e_j-e_j\cdot e_i)_{i<j}\in \mathbf{Alt}^2(V)

并且维数关系

dim⁡Sym2(V)=n(n+1)2dim⁡Alt2(V)=n(n−1)2\dim \mathbf{Sym}^2 (V)=\frac{n(n+1)}{2}\quad \dim \mathbf{Alt}^2(V)=\frac{n(n-1)}{2}

这两个空间在 GG 下封闭, 故将其称为表示的对称块与反对称块

以对称块为例子看看为什么封闭, 注意到

ρs∘θ=θ∘ρs\rho_s \circ \theta=\theta \circ \rho_s

则任意 x∈Sym2(V)x\in \mathbf{Sym}^2(V) , 有

θ(ρs(x))=ρs(θ(x))=ρs(x)  ⟹  ρs(x)∈Sym2(V)\theta(\rho_s(x))=\rho_s(\theta(x))=\rho_s(x)\implies \rho_s(x)\in\mathbf{Sym}^2(V)

对反对称块是同理的, 即张量积空间的表示天然存在对称化与反对称化的直和分解

特征标

表示的特征

前面说到, 所关注的并非一个线性空间 VV 上的表示, 而是一族 VV 的同构类, 故也需要寻找表示得到的线性映射在 VV 的同构类上的性质. 即需要找到同构的表示之间的不变量. 对于矩阵表示, 一个熟知的不变量即为迹, 现在来正式定义它

定义 特征

设 ρ ⁣:G→GL(V)\rho\colon G\to \mathrm{GL}(V) 是线性表示, 对任意 s∈Gs\in G , 定义

χρ(s)=Trace(ρs)\chi_\rho(s)=\mathrm{Trace} (\rho_s)

称为表示的特征 character , 可以想像, 这几乎储存了表示的所有坐标无关的信息

不难验证, 特征有以下简单性质

  1. χρ(1G)=n\chi_\rho(1_G) = n , nn 是表示的维数
  2. χρ(s−1)=χρ(s)∗\chi_{\rho}(s^{-1})=\chi_{\rho}(s)^* 对任意 s∈Gs\in G
  3. χρ(sts−1)=χρ(t)\chi_{\rho}(sts^{-1})=\chi_{\rho}(t) 对任意 s,t∈Gs,t\in G

证明是简单的, 1. 来自于表示将 1G1_G 打到单位, 2. 来自矩阵表示 3. 来自表示是同态

当然, 2. 的性质来自于矩阵是酉的, 这源于有限群

对于 3. 的性质, 可以将它抽象出来

定义 类函数

将所有定义在 GG 上的函数 ff , 合于

f(sts−1)=f(t)s,t∈Gf(sts^{-1})=f(t)\quad s,t\in G

的函数称为 类函数 class function

由两表示生成的直和与张量积空间的特征也可以直接得到

命题 直和/张量积 表示的特征

设 ρ1 ⁣:G→GL(V1)\rho_1 \colon G \to \mathrm{GL}(V_1) 和 ρ2 ⁣:G→GL(V2)\rho_2 \colon G\to \mathrm{GL}(V_2) 是 GG 上的两个线性表示, χ1,χ2\chi_1,\chi_2 是对应的特征, 则

  1. ρ1⊕ρ2\rho_1 \oplus \rho_2 的特征为 χ1+χ2\chi_1 +\chi_2
  2. ρ1⊗ρ2\rho_1\otimes \rho_2 的特征为 χ1⋅χ2\chi_1 \cdot \chi_2

证: 证明是直接的, 对于 1. , 可以知道 ρ1⊕ρ2\rho_1\oplus \rho_2 的矩阵表示有分块对角形式

(Rs00Rs′)\begin{pmatrix}R_s&0\\0&R'_s\end{pmatrix}

则

χ(s)=∑i=1,2∑jλji=∑j1λj1+∑j2λj2=χ1(s)+χ2(s)\chi(s)=\sum_{i=1,2}\sum_{j} \lambda_{j_i}=\sum_{j_1}\lambda_{j_1}+\sum_{j_2}\lambda_{j_2}=\chi_1(s)+\chi_2 (s)

对于 2. 同样放到矩阵表示上做

χ(s)=∑i1,i2Ri1i1(s)Ri2i2(s)=(∑i1Ri1i1(s))(∑i2Ri2i2(s))=χ1(s)χ2(s)\begin{align}\chi(s)=\sum_{i_1,i_2}R_{i_1i_1}(s)R_{i_2i_2}(s)&=(\sum_{i_1}R_{i_1i_1}(s))(\sum_{i_2}R_{i_2i_2}(s))\\&=\chi_1(s)\chi_2(s)\end{align}

对于 V⊗VV\otimes V 上的表示, 由于有自然的直和分解

V⊗V=Sym2(V)⊕Alt2(V)V\otimes V=\mathbf{Sym}^2(V)\oplus \mathbf{Alt}^2(V)

故可以写出在每个子空间上的表示, 做法是直接计算迹

例如 Sym2(V)\mathbf{Sym}^2(V) (以下记号是标准的)

考虑选择 VV 上的对角基 (ei)(e_i) 那么

ρs⊗2(ei⋅ej±ej⋅ei)=λiλj(ei⋅ej±ej⋅ei)\rho_s^{\otimes 2}(e_i\cdot e_j\pm e_j\cdot e_i)=\lambda_{i}\lambda_j (e_i\cdot e_j\pm e_j\cdot e_i)

在新的张量积空间的基都是张量积表示的本征向量, 那么

χσ2(s)=∑i≤jλiλj=∑iλi2+∑i<jλiλj\chi_\sigma^{2}(s)=\sum_{i\leq j}\lambda_i\lambda_j=\sum_{i}\lambda_i^2+\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j

做一点计算技巧

2∑i<jλiλj=(∑iλi)2−∑iλi22\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j=(\sum_i\lambda_i)^2-\sum_i\lambda_i^2

即

χσ2(s)=12(∑iλi2+(∑iλi)2)=12(χ(s2)+χ(s)2)\chi_\sigma^2(s)=\frac{1}{2}(\sum_i\lambda_i^2+(\sum_i\lambda_i)^2)=\frac{1}{2}(\chi(s^2)+\chi(s)^2)

利用直和分解, 可以求出反对称部分的特征

χα2(s)=12(χ(s)2−χ(s2))\chi_\alpha^2(s)=\frac{1}{2}(\chi(s)^2-\chi(s^2))

Schur 引理

特征理论的一个重要结论是 Schur 引理

命题 Schur 引理

设 ρ1 ⁣:G→GL(V1)\rho^1\colon G\to \mathrm{GL}(V_1) 和 ρ2 ⁣:G→GL(V2)\rho^2 \colon G\to\mathrm{GL}(V_2) 是 GG 的两个不可约表示, 设 f ⁣:V1→V2f\colon V_1\to V_2 合于

ρs2∘f=f∘ρs1∀s∈G\rho_s^2\circ f =f\circ \rho_s^1\quad\forall s\in G

则有以下两条性质

  1. 若 ρ1\rho^1 和 ρ2\rho^2 不是同构的, 则 f=0f=0
  2. 若 V1=V2V_1=V_2 且 ρ1=ρ2\rho^1=\rho^2 , 则 ff 是一个 homothety (一个标量乘单位)

证: 对 1. , 首先 f=0f=0 的情况是 trivial 的, 现在考虑 f≠0f\neq 0 , 由于两个表示不同构, 则 ff 的逆不存在, 现在需要这一点去逼出 f=0f=0 , 为此, 考察 W1=ker⁡fW_1=\ker f , 则对任意 x∈W1x\in W_1 , 有 ρs2(0)=f(ρs1(x))\rho_s^2(0)=f(\rho_s^1(x)) 即 W1W_1 对表示封闭, 而 ρ1\rho^1 是不可约表示, 这表明 W1=0W_1=0 或者 W1=V1W_1=V_1 , 后者已经被排除, 则只有 W1=0W_1=0 , 同样的方法可以说明 im f=V2\mathrm{im}\,f=V_2 , 这表明 ff 是同构, 与题设矛盾

对 2. 相同的想法是由于这个性质对任意 s∈Gs\in G , 都成立, 这说明 ff 同构于自身, 或者说 ff 与任意 ρs\rho_s 都交换, 这预示着 ff 可能是一个标量单位, 但是最后可能的情况是考虑 ff 存在特征值的时候, 所以先考虑 ff 的任意一个特征值 λ\lambda , 定义

f′=f−λ⋅Idf'=f-\lambda\cdot\mathrm{Id}

然后考虑 f′f' 的核, 由于存在特征向量, ker⁡f′≠0\ker f'\neq 0 , 任取 x∈ker⁡f′x\in \ker f' , 由于 f′f' 仍与 ρ\rho 交换, 那么有

ρs(f′(x))=f′(ρs(x))=0\rho_s(f'(x))=f'(\rho_s(x))=0

同样, 这导致 ker⁡f′=V\ker f'=V , 即 f′=0f'=0 , 所以 f=λ⋅Idf=\lambda\cdot\mathrm{Id} , 这实际上也证明了只存在一个特征值

由于特征值的关系, 实际上这个定理必须在域 C\mathbb{C} 上

推论

设 hh 是 V1V_1 到 V2V_2 的线性映射, 定义

h0=1∣G∣∑t∈G(ρt2)−1hρt1h^0=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}(\rho_t^2)^{-1}h\rho^1_t

则 h0h^0 满足 Schur 引理, 且对于第二点, λ=1nTr(h)\lambda =\frac{1}{n}\mathrm{Tr}(h) 证: 只需要说明 h0h^0 满足 Schur 引理的条件, 并求出特征值即可

这是因为

(ρs2)−1h0ρs1=1∣G∣∑t∈G(ρts2)−1hρts1=h0(\rho_s^{2})^{-1}h^0\rho_s^1=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}(\rho_{ts}^2)^{-1}h\rho^1_{ts}=h^0

后一个等号来自于群的重排性质, 这满足 Schur 引理, 并且

Tr(h0)=1∣G∣∑t∈GTr(h)=Tr(h)=nλ  ⟹  λ=Tr(h)n\mathrm{Tr}(h^0)=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\mathrm{Tr}(h)=\mathrm{Tr}(h)=n\lambda\implies \lambda =\frac{\mathrm{Tr}(h)}{n}

将其改写为矩阵形式

ρt1=(ri1j1(t))ρt2=(ri2j2(t))\rho_t^1=(r_{i_1j_1}(t))\quad \rho_t^2=(r_{i_2j_2}(t))

则根据 hh 给出的矩阵, 给出了 h0h^0 的矩阵表示

(h0)i2i1=1∣G∣∑t∈G,j1,j2ri2j2(t−1)hj2j1rj1i1(t)(h^0)_{i_2i_1}=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G,j_1,j_2}r_{i_2j_2}(t^{-1})h_{j_2j_1}r_{j_1i_1}(t)

右边对 hj1j2h_{j_1j_2} 线性, 在 Schur 引理 1. 的条件对任意映射下处处消失, 这表明系数为 0

ρ1,ρ2\rho^1,\rho^2 不同构是事实, 可以在中间选任意一个映射 hh 按照上面的构造得到 Schur 引理

即: 在 Schur 引理 1. 的条件下, 有

1∣G∣∑t∈Gri2j2(t−1)rj1i1(t)=0\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}r_{i_2j_2}(t^{-1})r_{j_1i_1}(t)=0

对任意 i1,i2,j1,j2i_1,i_2,j_1,j_2

在第二种情况, 有 h0=λh^0=\lambda , 于是 hi2i10=λδi2i1h^0_{i_2i_1}=\lambda \delta_{i_2i_1} , 则给出

λδi1i2=1∣G∣∑t∈G,j1,j2ri2j2(t−1)hj2j1rj1i1(t)\lambda \delta_{i_1i_2}=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G,j_1,j_2}r_{i_2j_2}(t^{-1})h_{j_2j_1}r_{j_1i_1}(t)

若改写为 λ=1n∑δj2j1hj2j1\lambda=\frac{1}{n}\sum\delta_{j_2j_1}h_{j_2j_1}

1∣G∣∑t,j1,j2ri2j2(t−1)hj2j1rj1i1(t)=1n∑j1,j2δi2i1δj2,j1hj2j1\frac{1}{|G|}\sum_{t,j_1,j_2}r_{i_2j_2}(t^{-1})h_{j_2j_1}r_{j_1i_1}(t)=\frac{1}{n}\sum_{j_1,j_2}\delta_{i_2i_1}\delta_{j_2,j_1}h_{j_2j_1}

同样, 对任意映射 hh 的矩阵元 hj2,j1h_{j_2,j_1} 这给出

1∣G∣∑tri2j2(t−1)rj1i1(t)=1nδi2i1δj2j1\frac{1}{|G|}\sum_{t}r_{i_2j_2}(t^{-1})r_{j_1i_1}(t)=\frac{1}{n}\delta_{i_2i_1}\delta_{j_2j_1}

这两者给出

1∣G∣∑t∈Gri2j2(t−1)rj1i1(t)=1nδi2i1δj2j1={1/nif i1=i2 and j1=j20otherwise\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}r_{i_2j_2}(t^{-1})r_{j_1i_1}(t)=\frac{1}{n}\delta_{i_2i_1}\delta_{j_2j_1}=\begin{cases}1/n&\quad \text{if }i_1=i_2\text{ and }j_1=j_2\\0&\quad \text{otherwise}\end{cases}

这里 ri1j1r_{i_1j_1} 和 ri2j2r_{i_2j_2} 是两个不可约表示的矩阵表示, 这里省略了表示的记号 !

! 注意到之前定义在

GG 上的函数 ϕ,ψ\phi,\psi 的内积

\braket{\phi,\psi}=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\phi(t^{-1})\psi(t)=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\phi(t)\psi(t^{-1})

有 $\braket{\psi,\phi}=\braket{\phi,\psi}$ 并且这对两个位置都是线性的

上面的结果可以写为

⟨ri2j2,rj1i1⟩=0and⟨ri2j2,rj1i1⟩=1nδi2i1δj2j1\langle r_{i_2j_2},r_{j_1i_1}\rangle=0\quad\mathrm{and}\quad\langle r_{i_2j_2},r_{j_1i_1}\rangle=\frac{1}{n}\delta_{i_2i_1}\delta_{j_2j_1}

如果选择一组基, 使得 rr 是 unitary 的, 则上式即给出了一种正交归一性

特征的正交关系

首先约定一些记号, 若 ϕ,ψ\phi,\psi 是 GG 上的复值函数, 则

(ϕ∣ψ)=1∣G∣∑t∈Gϕ(t)ψ(t)∗(\phi|\psi)=\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}\phi(t)\psi(t)^*
! 这里 serre 写的内积是对左侧线性, 和一般 dirac 符号的约定不一样

满足对 ϕ\phi 线性, 对 ψ\psi semilinear , 并且正定

若 ψ~\tilde{\psi} 满足关系 ψ~(t)=ψ(t−1)∗\tilde{\psi}(t)=\psi(t^{-1})^* 则有

(ϕ∣ψ)=⟨ϕ,ψ~⟩(\phi|\psi)=\braket{\phi,\tilde{\psi}}

特别地, 若 χ\chi 是特征, 则 χ=χ~\chi =\tilde{\chi} , 则对特征来说上面两种记号没有区别

定理

  1. 若 χ\chi 是不可约表示的特征, 有 (χ∣χ)=1(\chi|\chi)=1
  2. 若 χ\chi 和 χ′\chi' 是不同构的两个不可约表示的特征, 则 (χ∣χ′)=0(\chi|\chi')=0

证: 考虑表示 ρ\rho , 及其特征 χ\chi , 若 ρ\rho 的矩阵表示为 (rij(t))(r_{ij}(t)) 则

(χ∣χ)=⟨χ,χ⟩=∑ij⟨rii,rjj⟩(\chi|\chi)=\braket{\chi,\chi}=\sum_{ij}\braket{r_{ii},r_{jj}}

按照 Schur lemma 的结果

⟨rii,rjj⟩=1nδij  ⟹  (χ∣χ)=1n∑ijδij=1\braket{r_{ii},r_{jj}}=\frac{1}{n}\delta_{ij}\implies(\chi|\chi)=\frac{1}{n}\sum_{ij}\delta_{ij}=1

对于 2. , 同样可以由 Schur lemma 得到 (这同样利用了两个不同构的不可约表示的矩阵元关系 ,当然不是下面这个)

1∣G∣∑t∈Gri2j2(t−1)rj1i1(t)=1nδi2i1δj2j1={1/nif i1=i2 and j1=j20otherwise\frac{1}{|G|}\sum_{t\in G}r_{i_2j_2}(t^{-1})r_{j_1i_1}(t)=\frac{1}{n}\delta_{i_2i_1}\delta_{j_2j_1}=\begin{cases}1/n&\quad \text{if }i_1=i_2\text{ and }j_1=j_2\\0&\quad \text{otherwise}\end{cases}

当然, 上面都是对同一个群 GG 的表示而言的

定理

设 VV 是 GG 的线性表示, 特征 ϕ\phi , 考虑 VV 有不可约表示的直和分解

V=W1⊕⋯⊕WkV=W_1\oplus \cdots\oplus W_k

则, 若 WW 是特征 χ\chi 的不可约表示, 同构于 WW 的 WiW_i 的数量为特征的标量积 (ϕ∣χ)=⟨ϕ,χ⟩(\phi|\chi)=\braket{\phi,\chi}

证: 这几乎是上面定理的直接结果, 考虑 VV 的特征的直和分解

ϕ=χ1+⋯+χk\phi =\chi_1+\cdots+\chi_k

用 χ\chi 做内积, 与 WW 同构的特征得到 1 , 不同构的得到 0 , 即

(ϕ∣χ)=∑Wi同构于W(χi∣χ)=∑Wi同构于W1(\phi|\chi)=\sum_{W_i \text{同构于} W}(\chi_i|\chi)=\sum_{W_i\text{同构于}W}1
推论

同构于 WW 的数量 WiW_i 不依赖于具体的分解

这实际上是来自于 (ϕ∣χ)(\phi|\chi) 不依赖于具体的分解

推论

两个具有相同特征的表示是同构的

记住特征相同的意思是: 定义在一个群 GG 上的函数相同, 而不是一个数、 同时该命题的意思是: 如果有一个群 GG , 它的两个表示如果具有相同的特征, 则它们是同构的

证明的方式是把表示分解为不可约表示, 然后逐分量比较

上面的讨论中的精神是: 总是将一个表示分解为不可约表示的直和

V=m1W1⊕⋯⊕mhWhmi∈Z≥0V=m_1W_1\oplus \cdots\oplus m_hW_h\quad m_i\in \mathbb{Z}_{\geq 0}

特别地, 张量积可以用相同的符号计算, 例如 Wi⊗WjW_i\otimes W_j 这两个不可约表示的张量积的特征也可以进行分解

\chi_i\cdot\chi_j=\sum_km_{ij}^k \chi_k

正交归一性给出

(ϕ∣ϕ)=∑i=1hmi2(\phi|\phi)=\sum_{i=1}^{h}m_i^2

这立即导致下面的结果

定理

若 ϕ\phi 是表示 VV 的特征, 则 (ϕ∣ϕ)(\phi|\phi) 是正整数, 且满足 (ϕ∣ϕ)=1(\phi|\phi)=1 当且仅当 VV 是不可约的

证明是显然的

借助 Schur lemma 给出的正交归一性, 我们可以给出一个表示的不同分解方式

表示的分解

正则表示的分解

继承前面的记号, 用 χ1,⋯ ,χh\chi_1,\cdots,\chi_h 表示 GG 的所有不可约特征, 用 n1,⋯ ,nhn_1,\cdots ,n_h 标记表示的维度, 注意 ni=χi(1)n_i=\chi_i(1)

并记 RR 为 GG 的正则表示, 注意到正则表示上自然诱导出一组基 (et)t∈G(e_t)_{t\in G} 即 ρset=est\rho_se_t =e_{st} 若 s≠1s\neq 1 , 则有 st≠tst\neq t 对任意 tt : 这表明在该基上, ρs\rho_s 的矩阵表示的对角项是 0, 特别地, 我们有

Tr(ρs)=0\mathrm{Tr}(\rho_s)=0

注意这里还没有内积, 由于正则表示实际上都是置换, 那么

\rho_s(e_t)=e_{st}\neq e_t

即不存在对角项 即不存在对角项

而对于 s=1s=1 , 有

Tr(ρs)=Tr(1)=dim⁡R=∣G∣\mathrm{Tr}(\rho_s)=\mathrm{Tr}(1)=\dim R=|G|

命题

正则表示的特征 rGr_G 由下式给出

rG(1)=g,order of G,rG(s)=0if s≠1.\begin{aligned}&r_{\mathbf{G}}(1)=g,&&\text{order of G,}\\&r_{\mathbf{G}}(s)=0&&if\,s\neq1.\end{aligned}
推论

任何不可约表示 WiW_i 都包含在正则表示中, 并且容易给出它的数量 nin_i

⟨rG,χi⟩=1∣G∣∑s∈GrG(s−1)χi(s)=χi(1)=ni\braket{r_G,\chi_i}=\frac{1}{|G|}\sum_{s\in G}r_G(s^{-1})\chi_i(s)=\chi_i(1)=n_i
推论

继续上面的结果

证: 这几乎是上面的结果, 只需要对正则表示取不可约分解即可

为了计算不可约表示的分解, 我们先考察不可约表示的数量

不可约表示的数量

命题

设 ff 是 GG 上的一个类函数, 且 ρ ⁣:G→GL(V)\rho \colon G\to \mathrm{GL}(V) 是一个线性表示, 取 ρf\rho_f 是一个 VV 上的线性映射, 定义为

ρf=∑t∈Gf(t)ρt\rho_f =\sum_{t\in G} f(t)\rho_t

若 VV 是一个维数为 nn , 特征为 χ\chi 的不可约表示, 则 ρf\rho_f 是一个单位, 且系数为

λ=1n∑t∈Gf(t)χ(t)=gn(f∣χ∗)\lambda =\frac{1}{n}\sum_{t\in G} f(t)\chi(t)=\frac{g}{n}(f|\chi^*)

这是 Schur lemma 的一个推论, 只需要计算

ρs−1ρfρs=∑t∈Gf(t)ρs−1ρtρs=∑t∈Gf(s−1ts)ρs−1ts=ρf\rho_s^{-1}\rho_f\rho_s=\sum_{t\in G}f(t)\rho_s^{-1}\rho_t \rho_s=\sum_{t\in G}f(s^{-1}ts)\rho_{s^{-1}ts}=\rho_f

故满足 Schur lemma 的结果, 表明 ρf\rho_f 是一个单位, 取 trace 得到

nλ=∑t∈Gf(t)χ(t)=g(f∣χ∗)n\lambda =\sum_{t\in G} f(t)\chi(t)=g (f|\chi^*)

引入 GG 上的类函数的空间 HH , 则不可约特征都是 HH 中的元素

定理

不可约表示的特征 χ1,⋯ ,χh\chi_1,\cdots ,\chi_h 构成 HH 的正交基

证: 之前已经证明了不同构的不可约表示的特征之间是正交的, 现在只需要证明这套正交系统生成 HH , 那么只需要证明: HH 中任意正交于 χi∗\chi_i^* 的元素都是 0.

考虑 f∈Hf\in H , 对于表示 ρ\rho 定义

ρf=∑t∈Gf(t)ρt\rho_f =\sum_{t\in G} f(t)\rho_t

按照上面的定义, ff 正交于所有 χi∗\chi_i^* , 而若 ρ\rho 是不可约表示, 则由上面的结果, ρf=0\rho_f=0 因为系数都是 0. 从而得出 ρf\rho_f 总是 0 , 那么考虑正则表示 RR , 计算 ρf\rho_f 在基向量上的像

ρfe1=∑t∈Gf(t)ρte1=∑t∈Gf(t)et=0\rho_f e_1 =\sum_{t\in G}f(t)\rho_t e_1=\sum_{t\in G}f(t)e_t =0

这就表明对所有 t∈Gt\in G 都有 f(t)=0f(t)=0 完成证明

当然我们也可以从另一个角度证明: ρf\rho_f 满足 Schur 引理的要求, 若取 ρ\rho 是一个不可约表示的话 则

nλ=∑t∈Gf(t)χ(t)=g(f∣χ∗)n\lambda = \sum_{t\in G}f(t)\chi(t)=g(f|\chi^*)

后续证明相同

同样, 回忆起对于一个群 GG , 可以按共轭关系对群做等价类的分解, 我们有如下结果

定理

群 GG 的不可约表示数量等于 GG 的共轭类的数量 证: 考虑群 GG 的共轭类 C1,⋯ ,CkC_1,\cdots,C_k , 称一个函数 ff 是类函数, 当且仅当它在共轭类上为常数, 则它被每个共轭类上的值, 共 kk 个值决定. 这表明 HH 的维数是 kk , 另一方面, 该维数也等于 GG 的不可约表示的数量

命题

让 s∈Gs\in G , 且 c(s)c(s) 为 ss 所在共轭类的元素的数量, 则

证: 考虑 ss 所在共轭类上的示性函数, 并且按照不可约表示分解

fs=∑i=1hλiχiλi=(fs∣χi)=c(s)gχi∗(s)f_s =\sum_{i=1}^h \lambda_i\chi_i\quad \lambda_i =(f_s|\chi_i)=\frac{c(s)}{g}\chi_i^*(s)

则有对 t∈Gt\in G

fs(t)=c(s)g∑i=1hχi∗(s)χi(t)f_s(t)=\frac{c(s)}{g}\sum_{i=1}^h \chi_i^*(s)\chi_i(t)

这给出命题的结果

例子

考虑 GG 是三个元素的置换群, 有 g=3!=6g=3! =6 , 按照类函数 HH 的想法, 我们需要先找出一些类函数, 首先给出 GG 共轭类划分与其代表元: 单位 ee, 三个对换 tt, 两个轮换 cc , 我们有 t2=1,c3=1,tc=c2tt^2=1,c^3 =1,tc =c^2t 我们知道这里存在两个一维特征: 单位 χ1\chi_1 和置换的符号 χ2\chi_2 , 从而表明还存在另一个特征 θ\theta 首先有维数关系 12+12+n2=6  ⟹  n=21^2+1^2+n^2=6 \implies n=2 , 还有一个二维表示的特征, 实际上根据正则表示的特征

rG=χ1+χ2+2θr_G =\chi_1+\chi_2+2\theta

可以确定特征在每个共轭类上的值, 首先 θ(1)=2\theta(1)=2 , 再代入 tt , 有

1−1+2θ(t)=0  ⟹  θ(t)=01-1+2\theta(t)=0\implies \theta(t)=0

同样

1+1+2θ(c)=0  ⟹  θ(c)=−11+1+2\theta(c)=0\implies \theta(c)=-1

这给出了特征的完整刻画

表示的正则分解

现在考虑构造一个比不可约分解更稀疏的直和分解, 并且我们要求这种分解是唯一的

考虑 GG 的不可约表示 W1,⋯ ,WhW_1,\cdots,W_h 有特征 χ1,⋯ ,χh\chi_1,\cdots,\chi_h , 维数 n1,⋯ ,nhn_1,\cdots,n_h . 若考虑

V=U1⊕⋯⊕UmV=U_1\oplus\cdots\oplus U_m

是 VV 的一个直和分解, 若用 ViV_i 表示前者的一些直和, 它由那些同构的 WiW_i 直和得到则有

V=V1⊕⋯⊕VhV=V_1\oplus \cdots\oplus V_h

这几乎就是正则分解

定理

分解 V=V1⊕⋯⊕VhV=V_1\oplus \cdots \oplus V_h 不依赖于最初选择的 VV 的不可约表示分解 且投影 pi ⁣:V→Vip_i \colon V\to V_i 在该分解下由下式给出 (注意 χi\chi_i 的定义来自前面)

pi=nig∑t∈Gχi∗(t)ρtp_i =\frac{n_i}{g}\sum_{t\in G}\chi_i^*(t)\rho_t

证: 先证第二条, 可以用该公式来定义 ViV_i , 考虑映射

qi=nig∑t∈Gχi∗(t)ρtq_i =\frac{n_i}{g}\sum_{t\in G}\chi_i^*(t)\rho_t

由于特征是一个 类函数, 可以使用上面的结果, 这表明 pip_i 限制在一个特征为 χ\chi 维度为 nn 的不可约表示 WW 上的限制是一个单位(将 ρ\rho 限制在它的不可约子表示上是不可约的), 并且系数为

nin(χi∣χ)={1χi=χ0χi≠χ\frac{n_i}{n}(\chi_i|\chi)=\begin{cases}1 \quad \chi_i=\chi\\ 0\quad \chi_i\neq \chi\end{cases}

即 qiq_i 是某个同构于 WiW_i 不可约表示上的单位, 并且在其他地方取 0 . 于是可用该像来定义 ViV_i 如果对 x∈Vx\in V 做分解

x=x1+⋯+xhx=x_1+\cdots+x_h

于是有

qi(x)=qi(x1+⋯+xh)=xiq_i(x)=q_i(x_1+\cdots+x_h)=x_i

故这是一个投影

现在对 VV 的分解方式有更多了, 第一种分解方式是正则分解

V=V1⊕⋯⊕VhV=V_1\oplus \cdots\oplus V_h

算法只需要用前文定义的投影 pip_i 来构造出 ViV_i (这需要先找出不可约特征标) 如果有必要的话, 就可以对每个 ViV_i 做不可约表示的分解, 则至多同构于 WiW_i 的意义下有如下结果

Vi=Wi⊕⋯⊕WiV_i=W_i\oplus\cdots\oplus W_i

后面这一步的分解就不是唯一的了

例子

考虑群 G={1,s}G=\{1,s\} , 这个群有两个不可约的一维表示 W+,W−W^+,W^- 合于 ρs=+1,ρs=−1\rho_s=+1,\rho_s=-1 故正则分解为

V=V+⊕V−V=V^+\oplus V^-

则两个投影显式构造为

p+x=12(x+ρsx)p−x=12(x−ρsx)p^+ x=\frac{1}{2}(x+\rho_s x)\quad p^- x =\frac{1}{2}(x-\rho_s x)

表示的显式分解

继续保持上一节的记号, 上一节我们显式构造出来了一个正则分解, 现在我们可以引入一个方法, 它能显式构造 ViV_i 至多相差一个同构的不可约表示分解 WiW_i 在标准基 (e1,⋯ ,en)(e_1,\cdots,e_n) 下记 WiW_i 为 (rαβ(s))(r_{\alpha\beta}(s)) , 同时有 χi=∑αrαα(s)\chi_i =\sum_{\alpha}r_{\alpha\alpha}(s) 和 n=ni=dim⁡Win=n_i=\dim W_i

对每个 α,β\alpha,\beta 对, 可以定义投影 (这实际上是比使用特征更精细的投影)

pαβ=ng∑t∈Grβα(t−1)ρtp_{\alpha\beta}=\frac{n}{g}\sum_{t\in G}r_{\beta\alpha}(t^{-1})\rho_t

则我们有如下结果

定理

(a) 映射 pααp_{\alpha\alpha} 是一个投影, 且在 Vj,j≠iV_j,j\neq i 上为 0 , 它的像 Vi,α⊂ViV_{i,\alpha}\subset V_i , 且 ViV_i 是 Vi,α,α=1,⋯ ,nV_{i,\alpha},\alpha=1,\cdots, n 的直和 我们有

pi=∑αpααp_i=\sum_{\alpha}p_{\alpha\alpha}

(b) 线性映射 pαβp_{\alpha\beta} 在 Vj,j≠iV_j,j\neq i 上为 0 , 同样在 Vi,γ,γ≠βV_{i,\gamma},\gamma\neq \beta 上也为 0 . 这是一个 Vi,βV_{i,\beta} 到 Vi,αV_{i,\alpha} 的同构

(c) 让 x1x_1 是 Vi,1V_{i,1} 的非零元, 且 xα=pα1(x1)∈Vi,αx_{\alpha}=p_{\alpha 1}(x_1)\in V_{i,\alpha} , 则 xαx_{\alpha} 是线性无关的且张成一个子空间 W(x1)W(x_1) 在 GG 下稳定且维数为 nn , 对每个 s∈Gs\in G , 有

ρs(xα)=∑βrβα(s)xβ\rho_s(x_{\alpha})=\sum_{\beta}r_{\beta\alpha}(s)x_{\beta}

(d) 若 (x1(1),⋯ ,x1(m))(x_1^{(1)},\cdots,x_1^{(m)}) 是 Vi,1V_{i,1} 的一组基, 则表示 ViV_i 是上面子表示 W(x1(1)),⋯ ,W(x1(m))W(x_1^{(1)}),\cdots, W(x_1^{(m)}) 的直和

证: 首先将该算子作用在 WiW_i 上, 我们有

ng∑t∈Grβα(t−1)ρt(eγ)=ng∑δ∑t∈Grβα(t−1)rδγ(t)eδ\frac{n}{g}\sum_{t\in G}r_{\beta\alpha}(t^{-1})\rho_t(e_\gamma)=\frac{n}{g}\sum_{\delta}\sum_{t\in G}r_{\beta\alpha}(t^{-1})r_{\delta\gamma}(t)e_{\delta}

后一个等号来自不可约表示的矩阵表示 按照前面的结果, 里面是一个双 delta, 再求和求掉一个

pαβ(eγ)={eαβ=γ0β≠γp_{\alpha\beta}(e_\gamma)=\begin{cases}e_{\alpha}\quad \beta=\gamma \\0\quad \beta\neq \gamma\end{cases}

可以看到这将 WiW_i 的基中选择 eβe_\beta 的部分, 并将其打到 eαe_\alpha 上 同样, 作用在 Wj,j≠iW_j,j\neq i 上会直接给出 0 (按照 Schur lemma 给出的不可约表示矩阵元的正交关系) 由于 VV 有不可约表示分解, 可以看到投影算子会保留 WiW_i 的一些成分, 完全去掉 WjW_j 中的成分

在之前我们使用了 ViV_i 为一系列不可约表示的同构类的直和, 在这里我们将其理解为一系列投影算符的像的直和, 我们需要证明这两者一致

按照定义

Vi,α=ImpααV_{i,\alpha}=\mathrm{Im} p_{\alpha\alpha}

(注意 label ii 出现是因为我们使用了 WiW_i 的表示矩阵构造投影) 按照上面的计算, 实际上 pααp_{\alpha\alpha} 保持了 WiW_i 上的基 eαe_\alpha 和打到 WiW_i 的同构类上的对应的基, 把这些所有的基收集起来, 就得到整个 ViV_i , 即

Vi=⨁αVi,αV_i=\bigoplus_{\alpha} V_{i,\alpha}

对应的就有完整的投影, 当然这实际上就是上面正则分解的投影方式

pi=∑αpααp_i=\sum_{\alpha}p_{\alpha\alpha}

如果已经理清了 ViV_i 的结构, 所以投影 pαβp_{\alpha\beta} 在 VjV_j 上都是 0 , 同时按照数基的方式, 这是一个同构

pαβ ⁣:Vi,β→Vi,αp_{\alpha\beta}\colon V_{i,\beta}\to V_{i,\alpha}

所做的只不过是将基的 label 从 β\beta 切换到 α\alpha

进一步, 若非零元 x1∈Vi,1x_1\in V_{i,1} (它是所有 WiW_i 的同构类的 11 方向坐标子空间的直和) , 按上面的同构, 将其打到 Vi,αV_{i,\alpha} 上

xα=pα1(x1)x_{\alpha}=p_{\alpha1}(x_1)

则 xαx_{\alpha} 是线性无关的, 只需要先回到直和分解再回到各自子表示的基上就可证明 同样, 这也表明张成的子空间在 GG 下封闭 (实际上想象一下就是同时转动指标 α\alpha, 不同组分之间只相差一些同构带来的冗余, 不影响这个转动)

ρs(xα)=ρsng∑t∈Gr1α(t−1)ρt(x1)=ng∑st∈Gr1α((st)−1s)ρst(x1)=ng∑t∈G∑βr1β(t−1)rβα(s)ρt(x1)=∑βrβα(s)xβ\rho_s(x_\alpha)=\rho_s \frac{n}{g}\sum_{t\in G}r_{1\alpha}(t^{-1})\rho_t(x_1)=\frac{n}{g}\sum_{st\in G}r_{1\alpha}((st)^{-1}s)\rho_{st}(x_1)=\frac{n}{g}\sum_{t\in G}\sum_{\beta}r_{1\beta}(t^{-1})r_{\beta\alpha}(s)\rho_t(x_1)=\sum_{\beta}r_{\beta\alpha}(s) x_\beta

(d) 的结果就是我们前面叙述的, 当然我们只需要说明 W(x1(1))W(x_1^{(1)}) 等是子表示, 这直接来自于 c 的结果

本章主线

这一章的核心问题可以理解为: 给定有限群 GG 的表示 VV , 如何把 VV 分解成不可约表示. 前面的 Schur 引理、特征标、正则表示和投影算子都是围绕这个问题展开的.

这件事大致分成三层. 第一层是存在性: 通过平均化证明子表示存在 GG-稳定补空间, 从而任意表示都可以拆成不可约表示的直和. 第二层是计数: 具体的不可约分解不唯一, 但每种不可约表示出现的次数唯一. Schur 引理说明不可约表示之间的 GG-等变映射非常刚性, 不同构时为零, 同构时为标量, 由此推出矩阵元正交关系和不可约特征标正交关系. 若

V≅m1W1⊕⋯⊕mhWhV\cong m_1W_1\oplus\cdots\oplus m_hW_h

则重数由

mi=(χV∣χi)m_i=(\chi_V|\chi_i)

给出.

第三层是构造: 特征标不仅可以计算重数, 还可以构造投影算子. Serre 所说的正则分解是

V=V1⊕⋯⊕VhV=V_1\oplus\cdots\oplus V_h

其中 ViV_i 是所有同构于不可约表示 WiW_i 的部分合在一起. 这个分解唯一, 但 ViV_i 内部继续拆成若干个 WiW_i 副本的方式不唯一. 对应投影为

pi=nig∑t∈Gχi∗(t)ρtp_i=\frac{n_i}{g}\sum_{t\in G}\chi_i^*(t)\rho_t

这里 χi∗(t)\chi_i^*(t) 只是复数 χi(t)\chi_i(t) 的共轭, 不是新定义的函数记号.

正则表示 RR 不是任意表示 VV , 也不是给 VV 选一组基. 它是特殊表示 C[G]\mathbb{C}[G] , 满足

ρs(et)=est\rho_s(e_t)=e_{st}

它的作用是作为研究所有不可约表示的全局工具. 它分解为

R≅n1W1⊕⋯⊕nhWhR\cong n_1W_1\oplus\cdots\oplus n_hW_h

其中 ni=dim⁡Win_i=\dim W_i , 由此得到

∑ini2=∣G∣\sum_i n_i^2=|G|

正则表示还帮助证明不可约特征标构成类函数空间的正交基, 从而不可约表示个数等于共轭类个数. 类函数在这里有两个角色: 一方面特征标本身是类函数, 因为 χ(sts−1)=χ(t)\chi(sts^{-1})=\chi(t) ; 另一方面不可约特征标构成整个类函数空间的一组正交基, 因此可以作为类函数空间的坐标系.

最后, 若要把 ViV_i 继续显式拆出具体的 WiW_i 副本, 需要使用更精细的矩阵元投影

pαβ=nig∑t∈Grβα(t−1)ρtp_{\alpha\beta}=\frac{n_i}{g}\sum_{t\in G}r_{\beta\alpha}(t^{-1})\rho_t

并且

pi=∑αpααp_i=\sum_\alpha p_{\alpha\alpha}

直观上, pip_i 是按不可约类型投影, 抓出整个 WiW_i-等型分量; 而 pαβp_{\alpha\beta} 是按不可约表示内部的坐标方向投影, 用来进一步显式拆出具体的 WiW_i 副本.

因此本章的总地图是

group theory ch2 representation decomposition map

完全可约→Schur 引理→矩阵元正交→特征标正交→重数公式→正则表示→类函数空间→正则分解投影→显式分解投影.\text{完全可约} \to \text{Schur 引理} \to \text{矩阵元正交} \to \text{特征标正交} \to \text{重数公式} \to \text{正则表示} \to \text{类函数空间} \to \text{正则分解投影} \to \text{显式分解投影}.

更口语地说, 先证明表示能拆; 再用 Schur 引理说明不可约块之间互不干扰; 再用特征标计算每种块出现几次; 最后用投影算子把对应的块真正构造出来.