群

群的基本知识

定义 群

$G$ 是一个集合, 在 $G$ 中定义了乘法 $\times \colon G\times G\to G$ , 若乘法满足下面的条件

1. 封闭性: 任意 $f,g\in G$ , 有 $f g\in G$
2. 结合律: 任意 $f,g,h\in G$ , 有 $(fg)h=f(gh)$
3. 单位元: 存在 $e\in G$ , 使得任意 $f\in G$ , 有 $ef=fe=f$
4. 逆元: 任意 $f\in G$ , 存在 $g\in G$ , 使得 $fg=gf=e$ 则称 $(G,\times)$ 为一个群

最简单的群只有一个元素, 即幺元, 称为平凡群

定义 群的阶数

称群 $G$ 作为集合的基数 $|G|$ 为群的阶数

定义 子群

若 $G$ 为群, 而 $H$ 为 $G$ 的子集, 若满足下述条件

1. $1_G\in H$
2. 对乘法封闭
3. 对逆封闭 则称 $H$ 为 $G$ 的子群, 即 $(H,\times)$ 也为群

$G$ 有自然的子群 $G$ 和 $\{1\}$ , 称后者为平凡子群, 对于 $H\subsetneq G$ 的子群为真子群

定义 群的中心

对任意群 $G$ , 定义

即和 $G$ 的任意元素都交换的元素, 这是一个子群

定义 半群与幺半群

继续拆解群的定义, 若只保留结合律, 则为半群, 若保留结合律, 幺元存在的性质, 则有幺半群

定义 群的生成

若 $G$ 为群, $S$ 为 $G$ 的子集, 则定义 $\braket{S}$ 为所有形如 $s_1^{a_1}\cdots s_m^{a_m}$ 的元素构成的子集, 其中 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0},s_i\in S$ 而 $a_i\in\mathbb{Z}$ , 这构成一个群, 且为 $G$ 的子群 , 称为 $S$ 生成的子群 从定义上, $\braket{S}$ 是包含 $S$ 的最小子群, 若 $G=\braket{S}$ , 则称 $S$ 生成 $G$ 或 $S$ 是 $G$ 的一族生成元 若 $G$ 能被有限子集生成, 则称为有限生成的

定义 - 命题 群的直积

设 $(G_i)_{i\in I}$ , 其中 $I$ 为非空集, 则在集合的积 $\prod_{i\in I}G_i$ 上定义乘法

即元素逐分量相乘, 则 $\prod_{i\in I}G_i$ 构成群, 幺元为 $(1_{G_i})_{i \in I}$ , 逆元为 ${(x_i)_{i\in I}}^{-1}=({x_i}^{-1})_{i\in I}$ 若所有 $G$ 都为同一个群的情形, 积记为 $G^I$

同态与同构

在群上也可构造对应的态射

定义 群同态

设 $f\colon G\to G'$ 为群之间的映射, 若 $f$ 与乘法相容, 即下述条件, 则称 $f$ 为群同态

定义 群同构

设 $f\colon G\to G'$ 为群同态, 若存在群同态 $g\colon G'\to G$ 合于 $gf=\mathrm{id}_G$ 和 $fg=\mathrm{id}_{G'}$ , 则称 $f$ 为群同构, $g$ 为 $f$ 的逆

命题

设 $f\colon G\to G'$ 为群同态, 同时 $f$ 还是作为集合的双射, 则 $f$ 是群同构

证: 所做之事不过验证 $f$ 由集合映射定义的逆也是群同态 即需考察

这说明 ( $f$ 是集合意义上的同构)

即 $f^{-1}$ 是同态

循环群

定义 循环群

由单个元素生成的群称为循环群

命题

设 $G$ 为循环群, 由元素 $\sigma$ 生成

• 若 $G$ 无穷, 则有同构 $\mathbb{Z}\overset{\sim}{\operatorname*{\rightarrow}}G$ , 映 $k$ 为 $\sigma^k$
• 若 $G$ 有限, 记 $n=|G|$ , 则有同构 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\overset{\sim}{\to} G$ , 映 $k+n\mathbb{Z}\to\sigma^k$ 且在有限的情形, $|G|=\min\{k\in\mathbb{Z}_{\geq 1}\colon \sigma^k =1\}$

证: 我们总有满射 $\mathbb{Z}\to G$ 映 $k$ 为 $\sigma^k$ , 现在讨论单射性质 若这个映射是单的, 则为群同构, 此时 $G$ 无穷, 否则这个映射不是单的 若 $G$ 是有限集, 即存在 $l\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 合于 $\sigma_l=1$ , 那么取 $n =\min\{k\in \mathbb{Z}_{\geq 1}:\sigma^k=1\}$ . 满射仍然满足, 现在证单性: 若 $n> k\geq l>0$ 且 $\sigma^k=\sigma^l$ , 这表明 $\sigma^{k-l}=1$ , 由上文, $k-l=0$ 表明单性, 于是我们有同构 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\overset{\sim}{\to} G$ 同样验证同态:

这确实是同态, 于是给出群同构

命题

设 $n$ 为非零整数, 则同余类 $a+n\mathbb{Z}$ 生成加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 当前仅当 $a$ 和 $n$ 互素

证: 由于加法群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 由同余类 $1+n\mathbb{Z}$ 生成, 故 $a+n\mathbb{Z}$ 也生成 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 表明 $1+n\mathbb{Z}\in \braket{a+n\mathbb{Z}}$ . 即存在 $k\in \mathbb{Z}$ 合于 $1=ka\quad \mathrm{mod} n$ , 该方程有解的充要条件是 $\mathrm{gcd}(a,n)=1$

推论

设 $G$ 是有限循环群, $n\coloneqq |G|$ , 则 $G$ 的生成元个数为 $\varphi(n)$

陪集分解

考虑群 $G$ 和子群 $H$ , 对 $x,y\in G$ , 在这之上可以定义一种关系:

• 若存在 $h\in H$ 合于 $x=hy$ , 则 $x\sim_{\text{左}} y$
• 若存在 $h\in H$ 合于 $x=yh$ , 则 $x\sim_{\text{右}} y$

上述定义关系实际为等价关系

引理

上面定义的两个关系为 $G$ 上的等价关系

证: 简单验证即可

• 自反性: $1\in H$ , 则 $x=1x$ 即 $x\sim x$
• 对称性: $h\in H$ , 则 $x=hy\implies y=h^{-1}x$ 子群性质保证 $y\sim x$
• 传递性: $g,h\in H$ 合于 $x=gy,y=hz$ , 那么 $x=g(hz)=(gh)z$ 即 $x\sim z$ 可以看到, 等价关系来自于子群性质

而任何等价关系将集合划分为等价类, 于是对所有 $g\in G$ , 有如下 $G$ 的子集

这两个等价类有特殊的名字

定义 左/右陪集

设 $H$ 为群 $G$ 的子群, 则右陪集是形如 $Hg$ 的子集, 左陪集是形如 $gH$ 的子集, 其中 $g\in G$

由于陪集实则为等价关系定义出的等价类, 具有等价类的性质, 即任意两个等价类之间无交或相同, $G$ 能分解为陪集的无交并 这些等价关系给出的商集也有对应的符号

定义

设 $H$ 为群 $G$ 的子群, 记

若对任意子集 $A\subset G$ , 记 $A^{-1}\coloneqq \{a^{-1}\colon a\in A\}\subset G$

引理

设 $g\in G$ , 则有 $(Hg)^{-1}=g^{-1}H$

证: 任意 $a\in Hg$ , 即存在 $h\in H$ 合于 $a=hg$ , 则 $a^{-1}=g^{-1} h^{-1}\implies (Hg)^{-1}\subset g^{-1}H$ 同样的理由 $a=g^{-1}h\implies a^{-1}=h^{-1}g\implies a=(h^{-1}g)^{-1}\in (Hg)^{-1}\implies g^{-1}H\subset (Hg)^{-1}$

定义 - 命题 子群的指数

设 $H$ 为群 $G$ 的子群, 映射 $Hg\mapsto(Hg)^{-1}$ 给出从 $H\backslash G$ 到 $G/H$ 的双射, 因此两者作为集合有相同的基数, 记为 $(G:H)$ , 称为 $H$ 在 $G$ 中的指数

证: 只需要验证这是一个双射, 首先验证良定义: 像与代表元的选取无关 由前者引理 $(Hg)^{-1}=g^{-1}H$ 于是这是一个右陪集到左陪集到映射, 设 $g\in Hg'$ 即 $g=h'g'$,那么

反之亦然, 表明 $Hg$ 和 $Hg'$ 被打到同一左陪集, 故映射是良定义的, 并且由陪集的性质 而 $g^{-1}\in G$ , 故这是满射, 同时, 若 $g^{-1}H=g'^{-1}H$ , 这表明 $g^{-1}=g'^{-1}h\implies g=h^{-1}g'\implies Hg=Hg'$ 故这是单的

定理 (J.- L. Lagrange)

若 $H$ 是群 $G$ 的子群, 则有

对于无穷群, 则理解为集合的基数

证: 要点在于要给出双射

双射的构造是自然的

这里 $h_{C}$ 是从等价类里面选取的一个代表元, 现在证明这是双射 (这个映射与代表元的选取有关, 但不管怎么选都是双射) 满性: 陪集分解表明任意 $g\in G$ , 存在一个等价类 $C$ 合于 $g\in C$ , 即 $g$ 可被表为 $g=hx_{C}$ 的形式 单性: 若 $h'x_{C'}=hx_C\implies x_{C'}=h'^{-1}hx_{C}$ , 这表明 $x_{C'}$ 和 $x_C$ 属同一个等价类, 则 $x_{C}=x_{C'}$ , 那么消去律表明 $h=h'$ 两者作为集合存在双射, 即有相同的基数, 这给出上面的等式

推论

若 $G$ 是有限群, 则所有子群 $H$ 的阶数 $|H|$ 都整除 $|G|$

这是 Lagrange 定理的直接结果, 包括下面

定义 元素的阶

设 $\sigma$ 为群 $G$ 的元素, 定义 $\mathrm{ord}\coloneqq |\braket{\sigma}|$ , 称为 $\sigma$ 的阶

推论

设 $G$ 是有限群, $n\coloneqq |G|$ , 则对任何 $\sigma\in G$ , 有 $\mathrm{ord}{\sigma}\mid n$

推论

若 $G$ 是有限群, $|G|$ 是素数, 则 $G$ 是循环群

证: 设 $|G|=p$ 是素数, 那么任取 $g\in G\setminus\{1\}$ , 用其生成一个循环群 $\braket{g}$ , 那么 $|\braket{g}|\mid G$ , 但 $\mathrm{ord} g\neq 1$ , 这表明 $G=\braket{g}$

命题

设 $H$ 为群 $G$ 的子群, $K$ 为群 $H$ 的子群, 则 $(G:K)=(G:H)(H:K)$

证: 同样利用陪集分解, 不断把子群做分解, 对每个陪集 $C\in H\backslash G$ 和 $D\in K\backslash H$ 选取代表元 $x_C$ 和 $y_D$ , 故有如下陪集分解

于是

这表明

群作用

定义 群作用

群 $G$ 在非空集 $X$ 上的左作用即为满足下述性质的映射 $a\colon G\times X\to X$

通常记 $a(g,x)$ 为乘法 $gx$ 或 $g\cdot x$ , 因此条件实则在说这种映射和群结构相容 改变 $g$ 的位置, 同样可以定义右作用, 但一般习惯使用左作用

定义 轨道与稳定化子

设群 $G$ 作用到 $X$ 上, 对所有的 $x\in X$ , 定义其

• 轨道 $Gx\coloneqq\{gx: g\in G\}$ , 又称为 $G$ - 轨道
• 稳定化子 $\mathrm{Stab}_G(x)\coloneqq \{g\in G:gx=x\}\subset G$

稳定化子 $\mathrm{Stab}_G(x)$ 自动是 $G$ 的子群

定义 - 命题

设群 $G$ 作用在非空集 $X$ 上. 在 $X$ 上定义二元关系 $\sim_G$ 合于 $x\sim_G y$ 当且仅当存在 $g\in G$ 使得 $y=gx$ , 则

1. $\sim_G$ 是等价关系
2. 对 $\sim_G$ 的等价类即为 $X$ 中的 $G$ - 轨道 对应的商集记为 $G\backslash X$ , 对于右作用也有对应结果, 对应的商集记为 $X/G$

证: 首先证明等价关系

• 自反性: $x=1x$ , 则 $x\sim_G x$
• 对称性: $y=gx\implies x= g^{-1}y$ , 即 $y\sim_G x$
• 传递性: 若 $x\sim_G y,y\sim_G z$ , 那么 $y=g_1x,z=g_2y\implies z=g_2(g_1x)=(g_2g_1)x$ 即 $x\sim_G z$ 然后再说明给出的等价类即为轨道 对于包含代表元 $x$ 的等价类 $C$ , $y\in C\implies y\sim_G x\implies y=gx\implies y\in Gx$ 相反的方向是相同的

推论 轨道分解

设群 $G$ 作用在非空集 $X$ 上, 则 $X$ 是所有 $G$ - 轨道的无交并

这是因为轨道是等价类, 于是有自然的等价类分解

定义

设群 $G$ 作用在非空集 $X$ 上

• 若 $\bigcap_{x\in X} \mathrm{Stab}_G(x)=\{1_G\}$ , 则称此作用忠实
• 若对所有的 $x$ 皆有 $\mathrm{Stab}_G(x)=\{1_G\}$ , 则称此作用自由
• 若 $X$ 仅有一个轨道, 即对所有 $x,y\in X$ 皆有 $g\in G$ 合于 $y=gx$ , 则称此作用传递

引理

设群 $G$ 左作用于 $X$ 上, 对 $x\in X$ , 记 $H\coloneqq \mathrm{Stab}_G(x)$ , 则有双射

证: 同样先证明这是良定义的: 若 $g'=gh$ 那么 $g'x=ghx=g(hx)=gx$ , 即像只与陪集本身有关 轨道的定义导致这个映射是满的, 对于单性, 若 $gx=g'x$ , 则 $g'^{-1}g\in H$ , 这表明两者同属同一等价类

若 $X$ 是有限非空集, 则它有且仅有有限多个 $G$ - 轨道, 记作 $Gx_1,\cdots ,Gx_n$ , 记 $H_i\coloneqq \mathrm{Stab}_{G}(x_i)$ , 于是有轨道分解 $X=\bigsqcup_{i=1}^nGx_i$ , 则于上面的引理一同导致

同样有一个基于轨道分解给出的关于群的计数的结果

命题 Burnside 引理

设有限群 $G$ 作用于有限非空集 $X$ , 对于所有 $g\in G$ , 定义 $X^g\coloneqq \{x\in X: gx=x\}$ , 则

证: 证明基于轨道分解 首先需要使用一个引理: 取 $x_0\in X$ , 则 $\mathrm{Stab}_G(gx_0)=g\mathrm{Stab}_G(x_0)g^{-1}$ , 那么 $|\mathrm{Stab}_G(gx_0)|=|\mathrm{Stab}_G(x_0)|$ 先考虑传递作用, 即只有一条轨道 $|G\backslash X| =1$ , 那么轨道分解给出

第一步是因为考虑固定 $g$ 去问 $g$ 作用下不变的 $x$ 和固定 $x$ , 去问作用使 $x$ 不变的 $g$ 是一样的 第二步是因为作用传递导致稳定化子大小相同, 而 $\sum_{x\in X}1=|X|=|Gx_0|=(G:\mathrm{Stab}_G(x_0))$

对于一般的作用, 可以做轨道分解 $Gx_i$ (注意 $G$ 有限故轨道也有限)

从而对 $X_i=Gx_i$

而 $n=\sum_{i}1$ 即为轨道的数量, 即为 $|G\backslash X|$

引理

群 $G$ 在 $X$ 上的作用忠实, 当且仅当对应的同态 $A:G\to\mathfrak{S}_X$ 为单

证: 若作用忠实, 即 $\bigcap_{x\in X}\mathrm{Stab}_G(x)=\{1\}$ , 那么考虑同态 $A(g)=A(g')$ , 则 $A(gg'^{-1})=1$ 即 $gg'^{-1}\in\bigcap_{x\in X}\mathrm{Stab}_G(x)$ 从而 $gg'^{-1}=1\implies g=g'$ 反之若 $A$ 单, 即任意 $g\in \bigcap_{x\in X}\mathrm{Stab}_G(x)$ , $A(g)=1\implies g=1$

定理 A.Cayley

任何群 $G$ 都能嵌入为 $\mathfrak{S}_G$ 的子群

证: 考虑 $G$ 以群乘法作用在 $G$ 自身上, 则 $g_1x=g_2x\leftrightarrow g_1=g_2$ , 即对任意 $x$ , $\mathrm{Stab}_G(x)=\{1\}$ 即作用自由, 从而作用忠实, 即对应的同态是单射, 且 $G\subset \mathfrak{S}_G$ 可以作为子群嵌入

轨道分解的应用

定义 不动点

设 $G$ 作用在 $X$ 上, 记 $X^G := \{x\in X:\forall g,gx=x\}$ , 其元素称为 $X$ 在 $G$ 作用下的不动点 不动点也等于只有一个元素的轨道

定义 p - 群

设 $p$ 为素数, 若 $|G|=p^m$ , 其中 $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$, 则称 $G$ 为 p - 群

命题

设 p - 群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上, 则

证: 同样证明依赖轨道分解, 先将有限集做轨道分解 $Gx_1,\cdots Gx_n$ , 而不动点对应只有自己的轨道, 总数为 $|X^G|$

而 Lagrange 定理给出 $(G:\mathrm{Stab}_G(x_i))|\mathrm{Stab}_G(x_i)|=|G|$ , 而 $\mathrm{Stab}_G(x_i)\neq G$ 因为不是不动点, 故 $(G:\mathrm{Stab}_G(x_i))$ 是 $p$ 的倍数, 于是

命题

设 $G$ 为非平凡的 p - 群, 则 $Z_G\neq \{1\}$ 证: 考虑 $G$ 到自身的群作用, 那么有 $|G|=|G^G|\quad (\mathrm{mod}p)$ 这里 $G^G=\{h\in G:\forall g\in G,g\cdot h=h\}$ 若是共轭作用 $g\cdot h=ghg^{-1}$ , 那么 $ghg^{-1}=h\implies gh=hg$ , 故 $G^G$ 为 $G$ 的中心, 则 $|G|=|Z_G|=0\quad (\mathrm{mod}p)$ 从而 $Z_G\neq\{1\}$

定理 A. - L. Cauchy

设 $G$ 为有限群, $p$ 为 $|G|$ 的素因数, 则存在 $g\in G$ 使得 $\mathrm{ord}(g)=p$ 证:

证明的方式是一个构造性的证明, 直觉较少, 但可以如下理解: 实际上在寻找 $g\in G$ 合于 $g^p=1$ , 直接找是困难的, 但是可以找 $g_1\cdots g_p=1$ 的所有元素, 注意到轮换作用在其上的不动点就是要找的 $p$ . 现在来具体写这一点

考虑 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 在集合 $X=\{(g_1,\cdots,g_p):g_1\cdots g_p=1\}$ 上的轮换作用, 具体地说, 将集合的下标视作 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的元素, 作用为

那么若 $(g_i)_i\in X$ , 则

即集合对群作用封闭, 考虑该作用的不动点, 得到

不动点集为 $X^{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$ , 由于 $(1)_i=\in X^{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$ , 故非空, 只需要证它有 $(1)_i$ 之外的其他元素, 由于确定了 $p-1$ 个元素后, 总可以唯一得到剩下一个元素, 所以 $X$ 的大小等价于 $G^{p-1}$ 的大小, 由前一定理得到, 对 p - 群 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 作用, 有

于是 $X^{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$ 有 $(1)_i$ 之外其他元素

定义 Sylow p - 子群

设 $G$ 为有限群, $p$ 为素数. 满足 $|P|=p^a$ 的子群 $P$ 称为 $G$ 的 p - 子群, 其中 $a\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$; 若进一步有 $p^{a}\parallel|G|$ , 则称 $P$ 为 $G$ 的 Sylow p - 子群

定理 Sylow 定理

一共有三个定理

待写

置换的循环分解的应用

定义 轮换

设 $X$ 为非空集, $a_1,\cdots,a_m$ 是 $X$ 中相异的元素 ($m\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$) , 下面取同余类将 $i$ 等同于 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 的元素, 则具有下面形式的置换

称为 $X$ 上的 m - 循环或轮换, 也记为 $\sigma=(a_1\,\cdots\,a_m)\in\mathfrak{S}_X$ , 对于 $m=2$ 时, 也称为对换

定义

给定集合 $X$ 的循环 $(a_1\cdots a_n)$ 和 $(b_1\cdots b_m)$ , 若 $\{a_1,\cdots,a_n\}\cap\{b_1,\cdots,b_m\}=\emptyset$ , 则称这两个循环不交

引理

设循环 $\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_X$ 不交, 则 $\sigma\tau=\tau\sigma$ 证: 两个各自保持轮换对象之外的元素不变, 故交换性是显然的

命题 循环分解

设 $n\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ , 而 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ , 则 $\sigma$ 分解为两两不交的循环的积

且满足 $\sum_{i=1}^m\ell_i=n$ , 而且这些循环是唯一的, 至多差一个重排 证: 让 $\sigma$ 生成的有限群 $\braket{\sigma}$ 作用在 $\{1,2,\cdots,n\}$ 上, 于是有轨道分解 (这是有限集故分解有限)

对每个轨道, 取代表元 $a_i\quad 1\leq i\leq m$ , 然后取最小的 $l_i\in \mathbb{Z}_{\geq 1}$ 合于 $\sigma^{l_i}(a_i)=a_i$ , 于是定义

则 $\sigma$ 在其上的作用是

限制到这个集合上变为循环作用, 且若 $1<m<n<l_i$ 有 $a_{i,m}=a_{i,n}$ , 则 $\sigma^{m-n}(a_{i,1})=a_{i,1}$ 与 $l_i$ 的最小性矛盾 并且轨道的定义使这个集合就是轨道, 于是 $|C_i|=l_i$ 即 $\sigma$ 在子集 $C_i$ 上的作用可以看作作用在

上的轮换作用, 并且轨道不交, 于是轮换也无交 对于唯一性, 因为轨道分解是唯一的, 至多相差我们对代表元的选取, 即相差一个重排

命题

设 $\sigma$ 有如上述命题的循环分解, 则

证:由于符号是同态, 所做问题即为计算上面的轮换作用的符号, 考察 $\xi_i:=(a_{i,1} a_{i,2}\cdots a_{i,l_i})$ , 只需要计算该轮换的符号, 注意到轮换有分解

该分解可以递归地做下去, 那么 $\mathrm{sgn}\,\xi_i=(-1)^{l_i -1}$ 而对于 $\mathrm{ord}\,\sigma$ , 按照上面的分解, 有

这立即导致 $\mathrm{ord}(\sigma)=\mathrm{lcm}(\ell_1,\ldots,\ell_m)$

正规子群与商群

定义 正规子群

若 $G$ 的子群满足以下条件

则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群, 也记为 $H\lhd G$ 注:

• 正规性要求 $gHg^{-1}\subset H$ 对所有 $g$ 成立, 用 $g^{-1}$ 替代 $g$ 则可以得到反向包含关系
• 同样, 等价的要求是 $gH=Hg$ , 或者放宽为 $gH\subset Hg$ , 因此正规子群的陪集不必分左右

定义 单群

若 $G$ 不是平凡群, 且没有 $\{1\},G$ 之外的正规子群, 则称 $G$ 为单群

引理

设 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的子群, 则 $HK=KH$ 当且仅当 $HK$ 为 $G$ 的子群 证: 直接证明即可 若 $HK=KH$ , 考虑任意 $h_1k_1,h_2k_2$ , 则 $h_1k_1(h_2k_2)^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}$ 利用 $HK=KH$ 移动 $h_2$ 到最左边, 表明这是 $HK$ 的元素, 故 $HK$ 为 $G$ 的子群 反之, 对任意 $h_1k_1$ , 存在$h_2k_2$ 合于 $h_1k_1h_2k_2=1$ 那么 $h_1k_1=k_2^{-1}h_2^{-1}\in KH$ 表明 $HK\subset KH$ , 反过来的包含关系也是显然的, 于是 $HK=KH$

命题

设 $H$ 是 $G$ 的子群, $K$ 为 $G$ 的正规子群, 则 $HK=KH$ , 而且有 $HK$ 是 $G$ 的子群 证: 只需要证 $HK=KH$ 即可, 由于 $gKg^{-1}=K$ 对所有 $g$ 成立, 那么考虑任意 $hk$ 存在 $k'$ 合于 $hkh^{-1}=k'\implies hk=k'h\in KH$ 从而 $HK\subset KH$ ,反过来的包含关系也是显然的, 由前者也知 $HK$ 是 $G$ 的子群

定义 中心化与正规化

对任意子群 $K\subset G$ , 可以其中心化子和正规化子, 为 $G$ 的子群

和正规化子

定义 - 命题 群同态的核

设 $f\colon G\to G'$ 为群同态, 记

则 $\ker(f)\lhd G$ , 称之为群同态 $f$ 的核 证: 只需要证明核正规, 考虑任意 $g\in G$ , 若 $a\in \ker(f)$ , 则 $f(gag^{-1})=f(g)f(a)f(g^{-1})=f(g)f(g)^{-1}=1_{G'}$ 从而 $g\ker(f)g^{-1}\subset \ker{f}$ 对任意 $a\in\ker(f)$ , 则 $a=g(g^{-1}ag)g^{-1}\in g\ker(f)g^{-1}$ 得到反向包含关系