最后提到了一些特别的东西: 哈密顿量的本征值只依赖于 n n n l l l
动力学对称性
当我们看到一些能量的简并的情形, 我们期待看到一些对称性应该存在, 他们可以把一个简并态变到另一个简并态而不改变哈密顿的本征值
在这里面的一种对称性是空间旋转对称性 S O ( 3 ) SO(3) S O ( 3 ) m m m
开普勒定律告诉我们平方反比力下的粒子的轨道是封闭的椭圆, 但是椭圆需要的参数比圆多, 这在空间中选出了一个特殊的方向
在这种情形我们知道有一个向量是守恒量, 从焦点指向近日点
R ⃗ = e 2 ε \vec{\mathcal{R}}=e^2\varepsilon R = e 2 ε 这个矢量是守恒量源于更大的对称性, 在经典系统的表达为
R ⃗ = p ⃗ × L ⃗ μ − e 2 r ⃗ r \vec{\mathcal{R}}=\frac{\vec{p}\times\vec{L}}{\mu}-e^2\frac{\vec{r}}{r} R = μ p × L − e 2 r r 为了做把他变成量子系统的算符, 我们需要做量子化, 直接的方法是正则量子化
R ^ = p ^ × L ^ − L ^ × p ^ 2 μ − e 2 r ^ ∣ r ^ ∣ \hat{\mathcal{R}}=\frac{\hat{p}\times\hat{L}-\hat{L}\times \hat{p}}{2\mu}-e^2\frac{\hat{r}}{|\hat{r}|} R ^ = 2 μ p ^ × L ^ − L ^ × p ^ − e 2 ∣ r ^ ∣ r ^ 在这里需要提前做对称化, 因为这两个算符是不对易的, 因为 p ⃗ \vec{p} p
[ L i , p j ] = i ϵ i j k p k [L_i,p_j]=i\epsilon_{ijk}p_k [ L i , p j ] = i ϵ ij k p k 为了让量子化后的结果是 Hermite 算符, 则需要做对称化
大家自行完成计算验证
有一些对易关系是不言自明的
[ L i , R j ] = i ϵ i j k R k [ H , R i ] = 0 [L_i,\mathcal{R}_j]=i\epsilon_{ijk}\mathcal{R}_k\quad [H,\mathcal{R}_i]=0 [ L i , R j ] = i ϵ ij k R k [ H , R i ] = 0 但是哈密顿与 R i \mathcal{R}_i R i L L L L L L L L L L L L n n n l l l n n n n n n l l l R \mathcal{R} R l l l
如果我们进一步去问, 这个对称性对应什么群
我们知道: 当我们写下对易括号后, 就基本确定了这个群的局部性质
这又是一个练习: 对这个线性组合
A ⃗ ± = 1 2 ( L ⃗ ± μ − 2 H R ⃗ ) \vec{A}_{\pm}=\frac{1}{2}(\vec{L}\pm \sqrt{\frac{\mu}{-2H}}\vec{\mathcal{R}}) A ± = 2 1 ( L ± − 2 H μ R ) 这个矢量的对易关系十分简单
[ A ± i , A ± j ] = i ϵ i j k A ± k [ A + i , A − j ] = 0 [{A_{\pm}}_{i},{A_{\pm}}_{j}]=i\epsilon_{ijk}{A_{\pm}}_{k}\quad [{A_{+}}_i,{A_{-}}_{j}]=0 [ A ± i , A ± j ] = i ϵ ij k A ± k [ A + i , A − j ] = 0 这构成了一个 S O ( 3 ) SO(3) S O ( 3 )
即氢原子的对称性为
S O ( 3 ) ⊗ S O ( 3 ) SO(3)\otimes SO(3) S O ( 3 ) ⊗ S O ( 3 ) 生成元为 A ⃗ ± \vec{A}_{\pm} A ±
这个对称性和我们如何选取相互作用的势能密切相关, 这必须是 1 / r 1/r 1/ r
在一个完全相对论性的系统里, 如果我们想对系统的所有对称性分类, 有一个非常简单的结果
Coleman - Mandula 定理
在一些非常简单的假设下: 系统是相对论协变的, 这是一个非平庸的系统
可以证明: 相对论协变性允许的所有对称性分为两类
时空对称性:
平移
旋转
boost
内部对称性 internal symmetry
电荷守恒
重子数守恒, 轻子数守恒
等
区分的标准是: 如果把内部对称性的生成元叫 Q Q Q Q Q Q H , P , J H,P,J H , P , J
当然, 上面的动力学对称性的结果是 Coleman - Mandula 定理的 “反例”, 当然这不是一个相对论性的系统
在一个相对论性的系统不存在势能这个东西, 如果有势能意味着相对论协变性必须被破坏掉
有一个简单的推论
这些内部对称性的生成元不能携带时空指标, 携带空间指标就不能和 L L L
宇称
在氢原子系统里看宇称的后果: 一个方便的定义是 r ⃗ → − r ⃗ \vec{r}\to-\vec{r} r → − r
F n l ( ∣ r ∣ ) Y l m ( r ^ ) F_{nl}(|r|)Y_{lm}(\hat{r}) F n l ( ∣ r ∣ ) Y l m ( r ^ ) 故宇称性质完全由球谐函数决定
⟨ x ⃗ ∣ l , m ⟩ \braket{\vec{x}|l,m} ⟨ x ∣ l , m ⟩ 则在宇称变换下
Y l m → ( − 1 ) l Y l m Y_{lm}\to (-1)^l Y_{lm} Y l m → ( − 1 ) l Y l m 这告诉我们宇称变换的性质通常与一些选择定则联系
选择定则 Selection Rule
只举一个例子: 在宇称变换下, 电磁相互作用控制的偶极跃迁必须满足
( − 1 ) l 1 − l 2 = − 1 (-1)^{l_1-l_2}=-1 ( − 1 ) l 1 − l 2 = − 1
偶极跃迁的意思是辐射的最低阶, 因为光子携带一个单位的角动量
考虑跃迁
l 1 → l 2 l_1\to l_2 l 1 → l 2 这个过程的概率幅为
⟨ n ′ l ′ m ′ ∣ r ⃗ ∣ n l m ⟩ \braket{n'l'm'|\vec{r}|nlm} ⟨ n ′ l ′ m ′ ∣ r ∣ n l m ⟩ 在坐标表象下容易检查: 这个积分不等于 0 0 0 r ⃗ \vec{r} r
为什么这个振幅形式是这样的?
实际上是振幅
⟨ n ′ l ′ m ′ ∣ e − i H t ∣ n l m ⟩ ∼ ⟨ n ′ l ′ m ′ ∣ 1 − i H Δ t ∣ n l m ⟩ \braket{n'l'm'|e^{-iHt}|nlm}\sim\braket{n'l'm'|1-iH\Delta t|nlm} ⟨ n ′ l ′ m ′ ∣ e − i H t ∣ n l m ⟩ ∼ ⟨ n ′ l ′ m ′ ∣1 − i H Δ t ∣ n l m ⟩ 这个哈密顿量必须含有电磁场的真空涨落, 这意味着哈密顿里面存在一个偶极项, 就会出来一个位置矢量
元素周期表
首先提几点
在氢原子中的电子的典型速度 v / c ∼ α ∼ 1 / 137 v/c\sim \alpha\sim1/137 v / c ∼ α ∼ 1/137 α \alpha α
对于原子序数为 Z Z Z Z α Z\alpha Z α Z ∼ 100 Z\sim 100 Z ∼ 100
相对论性的修正: “动质量”
m → γ m m\to\gamma m m → γ m 则 bohr 半径会减小
ℏ 2 m e 2 → 1 − v 2 / c 2 ℏ 2 m e 2 \frac{\hbar^2}{me^2}\to \sqrt{1-v^2/c^2}\frac{\hbar^2}{me^2} m e 2 ℏ 2 → 1 − v 2 / c 2 m e 2 ℏ 2
这个结果可以解释为什么水银是液态的(?)
和 Hg 同一列的元素: Zn , Cd , Hg
为什么 Hg 的熔点很低, 这是一个典型的相对论效应: 为什么金属能形成晶体, 实际上来自于金属中的金属键
容易液化意味着金属中的金属键不够强
诚实地讲有两个原因, 不过其中一个原因是 Hg 的最外层电子的 Bhor 半径由于相对论效应会变得更小, 更不容易电离, 从而使得金属键更弱
第二个原因叫 镧系收缩: Hg 中的一些电子对中心核的屏蔽作用很差, 导致电子的能级进一步下降
同样, 这列元素左边的元素: Cu, Ag , Au 他们的颜色也是相对论效应
另外元素周期表是有长度的, 实际上当周期表足够长, 就应该考虑完整的相对论效应了
这时候发生的事叫 Schwinger 效应, 比如对原子序数为 137 的元素, 在核内电场的大小已经足以产生 Schwinger 效应了
则至此以上的元素不可能稳定存在
现在已知原子序数最大为 118
实际上另外一点是: 这些重元素都是放射性的, 都有有限长的半衰期
也许你会反驳, 超过 137 的元素只是半衰期短一些
但是这里的本质差别在于控制衰变的相互作用:
对前面的衰变由 α \alpha α
Chapter 20 算符
实际上这章的内容已经被之前覆盖了
现在给之前用到的算符给一个良好定义
位置算符:
去用经典的概率分布去刻画粒子的位置 P ( x ) \mathcal{P}(x) P ( x )
⟨ x ⟩ = ∫ d x P ( x ) x \braket{x}=\int \mathrm{d}x \mathcal{P}(x)x ⟨ x ⟩ = ∫ d x P ( x ) x 在量子力学里, 知道
P ( x ) = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 \mathcal{P}(x)=|\psi(x)|^2 P ( x ) = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 则立即知道
⟨ x ⟩ = ∫ d x ⟨ ψ ∣ x ∣ ψ ⟩ \braket{x}=\int \mathrm{d}x\braket{\psi|x|\psi} ⟨ x ⟩ = ∫ d x ⟨ ψ ∣ x ∣ ψ ⟩ 这告诉我们算符在态上的期望值
⟨ x ^ ⟩ = ⟨ ψ ∣ x ^ ∣ ψ ⟩ \braket{\hat{x}}=\braket{\psi|\hat{x}|\psi} ⟨ x ^ ⟩ = ⟨ ψ ∣ x ^ ∣ ψ ⟩ 即算符的定义为
x ^ ∣ ψ ⟩ = x ∣ ψ ⟩ \hat{x}\ket{\psi}=x\ket{\psi} x ^ ∣ ψ ⟩ = x ∣ ψ ⟩ 即在位置基础态下对角的一个算符, 则
⟨ y ∣ x ^ ∣ x ⟩ = x δ ( y − x ) \braket{y|\hat{x}|x}=x\delta(y-x) ⟨ y ∣ x ^ ∣ x ⟩ = x δ ( y − x ) 这是一个不平庸的结果: ∣ x ⟩ \ket{x} ∣ x ⟩
如果去问这里到底有什么问题: 就去把时空离散化为格子
对动量也有相同的结果, 这样就可以计算动量和位置的对易括号
[ x ^ , p ^ ] = i ℏ [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ 最后一节课讲一些别的东西:
Chapter 21 为什么两个铁球同时落地
一次特殊的报告会
为什么引力质量和惯性质量是成正比的?
这件事已经被牛顿讨论过了
为什么等效原理是对的?
Einstein 从等效原理出发得到的广义相对论
如果做一些简单的基础假设, 可以证明等效原理是可以被导出的事实
引力子: m = 0 , s = 2 m=0 ,s=2 m = 0 , s = 2
散射振幅: 需要相对论协变性的量子力学
而散射振幅应该是 Lorentz 不变的
大概路径
Green 函数方法
双缝干涉 —> Feynman 图
能动量守恒和质壳条件
引力子的极化
Weinberg soft theorem (1964)
Green 函数方法 (经典)
Maxwell 方程
□ A μ = 0 ⟹ ( − ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) A μ \Box A_{\mu}=0\implies (-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2)A_\mu □ A μ = 0 ⟹ ( − ∂ t 2 ∂ 2 + ∇ 2 ) A μ 先忽略极化, 即考虑标量场, 给场加一个源 f ( t , x ⃗ ) f(t,\vec{x}) f ( t , x )
□ ϕ = f ( t , x ⃗ ) \Box \phi =f(t,\vec{x}) □ ϕ = f ( t , x ) 知道 ϕ \phi ϕ
Grenn 函数方法的基本想法是先去解点源
δ ( 3 ) ( x ⃗ ) \delta^{(3)}(\vec{x}) δ ( 3 ) ( x ) 取点源的场方程的解叫 Green 函数
□ x G ( x , y ) = δ ( x − y ) \Box_xG(x,y)=\delta(x-y) □ x G ( x , y ) = δ ( x − y ) 这任意点源的解可以用 Green 函数叠加得到
ϕ = ∫ d y G ( x , y ) f ( y ) \phi=\int \mathrm{d}y G(x,y)f(y) ϕ = ∫ d y G ( x , y ) f ( y ) 如何解, 意思是取算符的逆
G ( x , y ) = 1 □ x δ ( x − y ) G(x,y) =\frac{1}{\Box_x}\delta(x-y) G ( x , y ) = □ x 1 δ ( x − y ) 得到逆的方法是进入算符的对角基, 所以先用 Fourier 变换
G ( x , y ) → G ( k μ ) δ ( x , y ) → 1 □ x → − k μ k μ = E 2 − k ⃗ 2 G(x,y)\to G(k^\mu)\quad\delta(x,y)\to1\quad\Box_x\to-k_\mu k^\mu=E^2-\vec{k}^2 G ( x , y ) → G ( k μ ) δ ( x , y ) → 1 □ x → − k μ k μ = E 2 − k 2 则 Green 函数为
G ( k μ ) = 1 E 2 − k ⃗ 2 G(k^\mu)=\frac{1}{E^2-\vec{k}^2} G ( k μ ) = E 2 − k 2 1 实际上如果满足质壳条件, Green 函数已经炸了
当然, 一些正确的处理是在分母加上别的东西
G ( k μ ) = 1 E 2 − k ⃗ 2 ± i ϵ G(k^\mu)=\frac{1}{E^2-\vec{k}^2\pm i\epsilon} G ( k μ ) = E 2 − k 2 ± i ϵ 1 实际上这就是取了某种边界条件
确定物理意义的办法是去看不含时的解, 即
□ G → ∇ 2 G = δ ( 3 ) ( 0 ) \Box G\to\nabla^2 G=\delta^{(3)}(0) □ G → ∇ 2 G = δ ( 3 ) ( 0 ) 解是简单的
G ∝ 1 / r G\propto 1/r G ∝ 1/ r 推广到有质量场 m ≠ 0 m\neq 0 m = 0
( □ + m 2 ) ϕ = 0 (\Box +m^2)\phi=0 ( □ + m 2 ) ϕ = 0 同样, Green 函数也是质壳条件
G ( k μ ) = 1 E 2 − m 2 − k ⃗ 2 G(k^\mu)=\frac{1}{E^2-m^2-\vec{k}^2} G ( k μ ) = E 2 − m 2 − k 2 1 双缝干涉
这个课一开始就是从双缝干涉得到量子力学的基本原理
双缝干涉的例子告诉了我们如何构造概率幅:
对所有可能的路径求和
每条路径的幅为传播幅 × \times × ⟨ S ∣ 1 ⟩ a ⟨ 1 ∣ A ⟩ \braket{S|1}a\braket{1|A} ⟨ S ∣1 ⟩ a ⟨ 1∣ A ⟩
比如说两个电子通过光子发生了散射, 由于相互作用的时间极短, 可以想象四个粒子都有相同的能量
两个过程为 1 粒子发生光子 或者 2 粒子发射光子
可以想象在每次相互作用时, 在相互作用的顶点上能量, 动量是不是守恒的
如果能动量守恒, 有
E γ = E 1 − E 3 p ⃗ γ = p ⃗ 1 − p ⃗ 3 E_{\gamma} = E_1-E_3\quad \vec{p}_{\gamma} =\vec{p}_1-\vec{p}_3 E γ = E 1 − E 3 p γ = p 1 − p 3 质壳条件
E 1 2 = p 1 2 + m 1 2 E 2 2 = p 2 2 + m 2 2 E_1^2=p_1^2+m_1^2\quad E_2^2=p_2^2+m_2^2 E 1 2 = p 1 2 + m 1 2 E 2 2 = p 2 2 + m 2 2 现在来检查光子的质壳条件
( E 1 − E 3 ) 2 = ( p 1 ⃗ − p 3 ⃗ ) 2 = ∣ p 1 ∣ 2 + ∣ p 3 ∣ 2 − 2 p 1 p 3 cos θ (E_1-E_3)^2=(\vec{p_1}-\vec{p_3})^2=|p_1|^2+|p_3|^2-2p_1p_3\cos\theta ( E 1 − E 3 ) 2 = ( p 1 − p 3 ) 2 = ∣ p 1 ∣ 2 + ∣ p 3 ∣ 2 − 2 p 1 p 3 cos θ 如果 θ \theta θ
于是我们有两种选择
放弃能动量守恒, 但保证在壳条件. 这就是量子力学的微扰论
放弃在壳条件, 坚持顶点上的能动量守恒
Feynman 选择第二条路: 如果将两种路径相加, 可以得到一个 Lorentz 不变的表达式
A 1 + A 2 ∝ 1 E γ 2 − ∣ k ⃗ γ ∣ 2 A_1+A_2\propto\frac{1}{E_{\gamma}^2-|\vec{k}_\gamma|^2} A 1 + A 2 ∝ E γ 2 − ∣ k γ ∣ 2 1 只要两个点的距离是类空的, 讨论哪个过程谁先谁后就是有歧义的, 应该做的是把两个过程加在一起
并且这个结果正比于光子的 Green 函数, 正比的原因是我们忽略了发射和吸收的幅, 只有传播幅
即 Green 函数的另一个物理意义是刻画了场所对应的粒子的传播
完整的写法是
A 1 + A 2 = Q 1 Q 2 E γ 2 − ∣ k γ ∣ 2 A_1+A_2=\frac{Q_1Q_2}{E_\gamma^2-|k_{\gamma}|^2} A 1 + A 2 = E γ 2 − ∣ k γ ∣ 2 Q 1 Q 2
对这个结果做 Fourier 变换就得到了所熟知的 Coulomb 力
Feynman 的洞见是, 这个振幅中的传播幅恰好是 Green 函数, 并且这三部分幅都是 Lorentz 不变的
我们有一个自始至终都协变的理论
为什么发射, 吸收的幅的强度正比于电荷? 这是我们对电荷的定义
这就是 Feynman 规则
即这种方式的构造可以给我们不在壳的粒子, 如果在壳, 振幅是发散的
这个发散是有明确的物理意义的, 如果有在壳条件, 计算散射的结果应该是所有过程做时间的积分, 如果是一个有限长的时间, 光子是可以不在壳的, 而如果光子在壳, 则表明光子可以传播非常长的时间, 这个积分往往是发散的
并且这个发散的留数是两种情况振幅的乘积, 这叫在壳因子化 ?
你能看到的光子都不可能是在壳的, 这个世界不存在在壳的光子
你看到的光子总是传播了有限长的时间, 在壳只是一种理论近似
世界上最在壳的光子是 CMB 光子
引力子的极化
不再仔细提光子的极化
光子的极化矢量
ϵ i + = ( 1 i 0 ) ϵ i − = ( 1 − i 0 ) \epsilon^{+}_i =\begin{pmatrix}1\\i\\0\end{pmatrix}\quad \epsilon^{-}_i =\begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix} ϵ i + = 1 i 0 ϵ i − = 1 − i 0 前面已经提到过, 如果想去构造一种 Lorentz 不变的极化四矢量, 这是不可能的
ϵ μ → Λ μ ν ϵ ν + α p μ \epsilon_{\mu}\to \Lambda_{\mu}^\nu\epsilon_\nu +\alpha p_{\mu} ϵ μ → Λ μ ν ϵ ν + α p μ 引力子的极化是类似的 ϵ μ ν ( p ) \epsilon_{\mu\nu}(p) ϵ μν ( p )
ξ μ p ν + ξ ν p μ \xi_{\mu}p_\nu+\xi_{\nu}p_{\mu} ξ μ p ν + ξ ν p μ
极化矢量的指标是对称的, 自旋 2 是两个自旋 1 的全对称化
我们可以推广, 比如自旋 3 的无质量粒子: ϵ μ ν ρ \epsilon_{\mu\nu\rho} ϵ μν ρ
ξ μ ν p ρ + 全对称项 \xi_{\mu\nu}p_{\rho} +\text{全对称项} ξ μν p ρ + 全对称项
对于光子的情形, 一个简单的回答是: 光子的极化矢量总是和动量垂直
Weinberg (1964) 任意散射过程 (N → N ′ N\to N' N → N ′
即粒子在散射过程中发射一个光子
这个过程在光子动量 q → 0 q\to 0 q → 0
如果让光子的动量趋于 0 , 则发射过程线上的光子是在壳的
则可以想象
lim q → 0 M ( q ) → 1 q \underset{q\to 0}{\lim} \mathcal{M}(q)\to\frac{1}{q} q → 0 lim M ( q ) → q 1 我们应该把每种过程的幅加在一起
有三种可能
光子从初态发射
光子从末态发射
光子从中间态发射
那么前两种的振幅在 q → 0 q\to 0 q → 0 1 / q 1/q 1/ q q → 0 q\to0 q → 0 O ( q 0 ) \mathcal{O}(q^0) O ( q 0 )
在 q → 0 q\to 0 q → 0
第一种情况: 第 i i i
Q i ϵ μ ( p i ) μ ( p i − q ) 2 − m i 2 → Q i ϵ μ ( p i ) μ − 2 p i ⋅ q \frac{Q_i\epsilon^\mu(p_i)_{\mu}}{(p_i-q)^2-m_i^2}\to\frac{Q_i\epsilon^\mu(p_i)_\mu}{-2p_i\cdot q} ( p i − q ) 2 − m i 2 Q i ϵ μ ( p i ) μ → − 2 p i ⋅ q Q i ϵ μ ( p i ) μ
收缩光子极化矢量的指标只能是 p i p_i p i
第二种情况是类似的, 在 q → 0 q\to 0 q → 0
→ Q j ( ϵ p j ) 2 p j ⋅ q \to \frac{Q_j(\epsilon p_j)}{2p_j\cdot q} → 2 p j ⋅ q Q j ( ϵ p j ) 总的幅为
lim q → 0 M = M 0 { ∑ i ∈ 入射 − Q i ( p i ⋅ ϵ ) 2 p i ⋅ q + ∑ j ∈ 出射 Q j ( p j ⋅ ϵ ) 2 p j ⋅ q } \underset{q\to 0}{\lim}\mathcal{M}=\mathcal{M}_0\left\{\sum_{i\in\text{入射}}\frac{-Q_i (p_i\cdot\epsilon)}{2p_i\cdot q}+\sum_{j\in\text{出射}}\frac{Q_j(p_j\cdot\epsilon)}{2 p_j\cdot q}\right\} q → 0 lim M = M 0 ⎩ ⎨ ⎧ i ∈ 入射 ∑ 2 p i ⋅ q − Q i ( p i ⋅ ϵ ) + j ∈ 出射 ∑ 2 p j ⋅ q Q j ( p j ⋅ ϵ ) ⎭ ⎬ ⎫ 问题是 p ⋅ ϵ p\cdot \epsilon p ⋅ ϵ
∑ i ∈ 入射 − Q i + ∑ j ∈ 出射 Q j = 0 \sum_{i\in\text{入射}}-Q_{i} +\sum_{j\in\text{出射}}Q_j=0 i ∈ 入射 ∑ − Q i + j ∈ 出射 ∑ Q j = 0 这就是电荷守恒
现在再来看一个通过引力子的散射过程, 做完全相同的分析
同样, 对结果做 Lorentz 变换, 仍然应该得到一个等式
如果每个粒子参与引力相互作用的强度为 κ i \kappa_i κ i
同样的结果为
∑ i ∈ 入射 − κ i p i + ∑ j ∈ 出射 κ j p j = 0 \sum_{i\in\text{入射}}-\kappa_i p_i+\sum_{j\in\text{出射}}\kappa_jp_j=0 i ∈ 入射 ∑ − κ i p i + j ∈ 出射 ∑ κ j p j = 0 不同的在于需要动量去做一个指标收缩
而动量守恒要求
∑ i ∈ 入射 p i + ∑ j ∈ 出射 p j = 0 \sum_{i\in\text{入射}} p_i+\sum_{j\in\text{出射}}p_j=0 i ∈ 入射 ∑ p i + j ∈ 出射 ∑ p j = 0 这几乎就要求所有的 κ \kappa κ
为什么 κ \kappa κ
