Ayaya Notes

lecture 1

每次课后有小测 (vibe coding 即可)

分数组成: 80% 作业, 20% 大作业, 10% 参与度(bonus)

给 ai 一个定义好的问题, 问题很好被解决, 但是对于一个没有定义好的问题, ai 可能无法解决, 物理还能存活一段时间. Ref 在网络学堂上

Strongly correlated quantum many - body system

Strongly correlated 的含义即电子的相互作用极强, 历史上通常使用单粒子近似处理相互作用, 但当在相互作用极强时通常失效了

一些例子: 高温超导, 分数量子 hall 效应, 超冷原子…

主要的挑战: 没有精确解, Hilbert 空间巨大(计算量指数增长), 二维 & 三维问题, 符号问题, 违反面积律

如何解决问题: 理论上: 平均场近似, 投影波函数, functional RG 数值上: DFT + U, ED, DMRG, QMC, NRG, DMFT, Tensor networks, ML

多体计算的特点: 大量的话题, 快速发展, 理论与实验的紧密结合

大纲:

Basic of quantum mechanics

quantum mechanics is nothing but simple linear algebra

波函数 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 以及标量积 ⟨Φ∣Ψ⟩\braket{\Phi|\Psi} 例如, 对 spin - 1/2 系统, 可以选取基底 “向上” 或者 “向下” , 则一般的态

∣Ψ⟩=α∣↑⟩+β∣↓⟩∣α∣2+∣β∣2=1\ket{\Psi}=\alpha\ket{\uparrow}+\beta\ket{\downarrow}\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1

Mixed states & density matrices

对于混合态, 必须使用密度矩阵来表示, 满足

Trρ=1\mathrm{Tr}\rho =1

对于纯态, 有

ρ=∣Ψ⟩⟨Ψ∣\rho =\ket{\Psi}\bra{\Psi}

而混态, 为带权版本

ρ=∑ipi∣Ψi⟩⟨Ψi∣\rho=\sum_{i}p_i \ket{\Psi_i}\bra{\Psi_i}

例子: 自旋 ∣+⟩\ket{+} 的密度矩阵 (纯态)

∣+⟩=12(∣↑⟩+∣↓⟩)  ⟹  ρ=(1/21/21/21/2)\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow})\implies \rho=\begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\1/2 & 1/2\end{pmatrix}

经典一半概率处于 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 的密度矩阵 (混态) 按照概率混合密度矩阵

ρ=(1/2001/2)\rho = \begin{pmatrix}1/2 & 0\\0 & 1/2\end{pmatrix}

The measurement process

对于一个量子系统的测量过程通常是破坏性的, 且不是确定性的 对于一个可观测量 AA , 测量后的新的波函数会变为 AA 的某个本征态, 测量的结果是对应的本征值

例子: 对于态 ∣↑⟩\ket{\uparrow} , 用 SxS^x 进行测量

Sx=12(0110)  ⟹  Sx∣±⟩=±12∣±⟩S^x = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 &1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\implies S^x\ket{\pm}=\pm\frac{1}{2}\ket{\pm}
resultstate
+1/2+1/2∣+⟩\ket{+}
−1/2-1/2∣−⟩\ket{-}

初态的密度矩阵

ρ=(1000)\rho =\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 &0\end{pmatrix}

以及最终测量后的密度矩阵

ρ=12(1111)or12(1−1−11)\rho =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 &1\end{pmatrix}\quad \text{or}\quad \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 &1\end{pmatrix}

取决于测量结果, 测后分别处于 ∣+⟩\ket{+} 或 ∣−⟩\ket{-}, 仍然是纯态。如果不区分测量结果, 则测后的密度矩阵为两种结果的概率平均, 此例中为 ρ=I/2\rho=I/2, 是混态。

对于测量的期望值可以表示为

⟨A⟩=⟨Ψ∣A∣Ψ⟩\braket{A}=\braket{\Psi|A|\Psi}

或者表示为密度矩阵

⟨A⟩=Tr(ρA)\braket{A}=\mathrm{Tr}(\rho A)

如果系统处于温度为 TT 的热平衡态, 定义逆温度 β=1/(kBT)\beta=1/(k_B T)

对于经典系统, 按照 Boltzmann 分布, 推广到量子系统

ρβ=1Zexp⁡(−βH)Z=Trexp⁡(−βH)\rho_{\beta}=\frac{1}{Z}\exp(-\beta H)\quad Z=\mathrm{Tr}\exp(-\beta H)

则热平均值为

⟨A⟩=Tr(Aρβ)\braket{A}=\mathrm{Tr}(A\rho_\beta)

证明是直接的

⟨A⟩=∑Ψexp⁡(−βEΨ)Z⟨Ψ∣A∣Ψ⟩=Tr(Aρβ)\braket{A}=\sum_{\Psi} \frac{\exp(-\beta E_{\Psi})}{Z}\braket{\Psi|A|\Psi}=\mathrm{Tr}(A\rho_{\beta})

Schrodinger equation

一般形式

iℏ∂∂t∣Ψ⟩=H∣Ψ⟩i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\Psi}= H\ket{\Psi}

对于不含时问题, 给出定态 Schrodinger 方程

H∣Ψ⟩=E∣Ψ⟩H\ket{\Psi}=E\ket{\Psi}\quad

一般地, 有密度矩阵版本

iℏ∂∂tρ(t)=[H,ρ(t)]i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho(t)=[H,\rho(t)]

Second quantization

对于全同粒子, 采用占据数表象, 设有 nin_i 个粒子处于态 ii , 则态为

∣n1,n2,⋯⟩\ket{n_1,n_2,\cdots}

玻色子

产生算符

aα†∣⋯ ,nα,⋯⟩=nα+1∣⋯ ,nα+1,⋯⟩a_{\alpha}^\dagger\ket{\cdots,n_{\alpha},\cdots}=\sqrt{n_{\alpha}+1}\ket{\cdots,n_{\alpha}+1,\cdots}

湮灭算符

aα∣⋯ ,nα,⋯⟩=nα∣⋯ ,nα−1,⋯⟩a_{\alpha}\ket{\cdots,n_{\alpha},\cdots}=\sqrt{n_{\alpha}}\ket{\cdots,n_{\alpha}-1,\cdots}

对易关系

[aα†,aβ†]=[aα,aβ]=0[aα,aβ†]=δα,β[a_{\alpha}^\dagger,a_\beta^\dagger]=[a_\alpha,a_\beta]=0\quad [a_{\alpha},a_{\beta}^{\dagger}]=\delta_{\alpha,\beta}

费米子

产生算符

cα†∣⋯ ,0α,⋯⟩=(−1)να∣⋯ ,1α,⋯⟩να=∑β<αcβ†cβ=∑β<αnβc_{\alpha}^\dagger\ket{\cdots,0_{\alpha},\cdots}=(-1)^{\nu_{\alpha}}\ket{\cdots,1_{\alpha},\cdots}\quad \nu_{\alpha}=\sum_{\beta<\alpha}c^\dagger_{\beta}c_{\beta}=\sum_{\beta<\alpha}n_{\beta}

并且

cα†∣⋯ ,1α,⋯⟩=0c_{\alpha}^\dagger\ket{\cdots,1_{\alpha},\cdots}=0

湮灭算符是类似的

必须约定好计数的 convention

反对易关系

{cα†,cβ†}={cα,cβ}=0{cα,cβ†}=δα,β\{c_{\alpha}^\dagger,c_\beta^\dagger\}=\{c_\alpha,c_\beta\}=0\quad \{c_{\alpha},c_{\beta}^{\dagger}\}=\delta_{\alpha,\beta}

例如

∣n1,n2,n3,⋯⟩=(c1†)n1(c2†)n2(c3†)n3⋯∣0⟩\ket{n_1,n_2,n_3,\cdots}= (c_1^\dagger)^{n_1}(c_2^{\dagger})^{n_2}(c_3^\dagger)^{n_3}\cdots\ket{0}

Tensor product of quantum system

将两个系统组合在一起, 新的基是原先基的张量积 (Kronecker product)

例子 考虑系统 AA 有基 ∣A0⟩,∣A1⟩\ket{A_0},\ket{A_1} , BB 有 ∣B0⟩,∣B1⟩\ket{B_0},\ket{B_1} 则组合系统 CC 有基 ∣Cij⟩=∣Ai⟩⊗∣Bj⟩\ket{C_{ij}}=\ket{A_i}\otimes\ket{B_j}

我们对于矩阵的张量积更好地写出

[a1,1a1,2a2,1a2,2]⊗[b1,1b1,2b2,1b2,2]=[a1,1[b1,1b1,2b2,1b2,2]a1,2[b1,1b1,2b2,1b2,2]a2,1[b1,1b1,2b2,1b2,2]a2,2[b1,1b1,2b2,1b2,2]]\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1}\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}&a_{1,2}\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}\\\\a_{2,1}\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}&a_{2,2}\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}\end{bmatrix}

即

[a1,1b1,1a1,1b1,2a1,2b1,1a1,2b1,2a1,1b2,1a1,1b2,2a1,2b2,1a1,2b2,2a2,1b1,1a2,1b1,2a2,2b1,1a2,2b1,2a2,1b2,1a2,1b2,2a2,2b2,1a2,2b2,2]\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\end{bmatrix}

这实际上是

Cijkl=AijBklC_{ijkl}= A_{ij}B_{kl}

这是 2+2=2×22+2=2\times 2 的巧合, 最终矩阵做过 flatten

一般地, 我们有 (对于有限维)

dim⁡(V⊗W)=dim⁡V×dim⁡W\dim(V\otimes W)=\dim V \times \dim W

事实上, 这就是 curse of dimension 的来源: 一个 NN 粒子的 spin - 1/2 的 Hilbert 空间维数为 2N2^N

格点模型

Hubbard model

H=−t∑⟨i,j⟩,σciσ†cjσ+U∑ini↑ni↓H=-t\sum_{\braket{i,j},\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}+ U\sum_{i} n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}

Heisenberg model

H=J∑⟨i,j⟩Si⋅SjH = J \sum_{\braket{i,j}}\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j

对于阻挫结构, 极难

横场 Ising model

H=−J∑i=1N(gσix+σizσi+1z)H=-J \sum_{i=1}^N(g\sigma_i^x+\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z)

Hubbard model

来自于固体物理的紧束缚图像

H=−t∑⟨i,j⟩,σciσ†cjσ+U∑ini↑ni↓H=-t\sum_{\braket{i,j},\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}+ U\sum_{i} n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}

第一项为动能项, 第二项为势能项(只考虑 on - site 相互作用, 正号表示排斥)

hopping term: 即描述粒子从格点 jj 跳到格点 ii

除了一维情形, 没有严格解, 并且只有极限情形被理解

Band Structure

在 U=0U=0 时, 是 cos⁡\cos 的形式, 即退回到紧束缚模型 带宽 W∼2zt≫UW\sim 2zt\gg U , 半填充带, 为金属基态

而在 U>WU>W 时, 类似一个满填充态, 分上下两带, 低带满填充, 高带为空的, 基态为 Mott 半导体

Heisenberg model

当 U≫tU\gg t 时, Hubbard model 退化为 Heisenberg model , 只关心 spin 相互作用

H=J∑⟨i,j⟩Si⋅Sj=J∑⟨i,j⟩[(Si+Sj−+Si−Sj+)/2+SizSjz]H = J \sum_{\braket{i,j}}\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j=J\sum_{\braket{i,j}}\left[(S_i^+S_j^-+S_i^-S_j^+)/2 +S_i^zS_j^z\right]

HH 满足粒子数守恒, 即不改变上/下的粒子数

对于 J<0J<0 , 基态是简单的, full polarized ferromagnetic ordering

但对于 J>0J>0 , 经典的猜测是 ∣ψNeel⟩=∣↑↓↑↓⋯⟩\ket{\psi_{\mathrm{Neel}}}=\ket{\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\cdots} 但这不是 Hamiltonian 的本征态 - very rich but not get fully understood

More general Heisenberg model

包含更多长程项 例如: spin spirals, no - collinear structures

Transverse field Ising model

H=−J∑i=1N(gσix+σizσi+1z)J,g≥0H=-J \sum_{i=1}^N(g\sigma_i^x+\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z)\quad J,g\geq 0

是量子相变最简单的 solvable model

量子相变: 在零温下, 由 Hamiltonian 的参数改变驱动的相变 例如, 我们可以看到在 gg 不同的变化区上, 系统的基态会被改变, 相变点为 gc=1g_c =1 “quantum critical”

Introduction to Python

Useful matrix decompositions

Eigen - decomposition
A=VΛV−1A=V\Lambda V^{-1}

如 numpy 库中的 eig , eigh 等

通过求解本征值问题实现 同样有广义本征值问题

Av=λBvAv=\lambda Bv
SVD
A=USVA = USV

如 numpy.linalg.svd , scipy.sparse.linalg.svds

QR / LQ decompositon
A=QRA=LQA = QR \quad A =LQ